基本初等函数讲义(超级全)

一、一次函数—次函数k=kx+b(k丰0)k,b符号k>0k<0b>0b<0b=0b>0b<0b=0图象八iLykJ/oxO/xO\x1性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式一般式：f（x）=ax2+bx+c（a丰0）顶点式：f（x）=a（x-h）2+k（a丰0）两根式：f（x）=a（x-xi）（x-x2）（a丰0）（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f（x）更方便.3）二次函数图象的性质f(x)=ax2+bx+c(a丰0)a>0a<0图像定义域(-8,+对称轴bx—2a顶点坐标(b4ac-b2](2a'4a丿值域(4ac-b2)'4ac-b2)?1eI4a丿I4a丿

单调区间(b)g，c递减I2a丿(b)，+g递增I2a丿(b)—g，一〒递增I2a丿(b)一亍，+g递减I2a丿b二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰°)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x二-，顶点2azb4ac一b2、坐标是(一2a，4a)bb当a>0时，抛物线开口向上，函数在(—〜—］上递减，在［-,+8)上递增，当TOC\o"1-5"\h\z2a2ab4ac一b2bx二―时，f(x)二；当a<0时，抛物线开口向下，函数在(一。一］上递2amin4a2abb4ac一b2增，在［―,+8)上递减，当x二―时，f(x)二•2a2amax4a三、幂函数幂函数的定义—般地，函数y=x«叫做幂函数，其中x为自变量，«是常数.幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,+8)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数(1)根式的概念：如果xn=a，awR，xwR，n>1，且nwN，那么x叫做a的n次方根.+

（2）分数指数幂的概念m正数的正分数指数幂的意义是：an二nam（a>0,m,neN,且n>1）.0的正分数指数幂等于0．m1m1正数的负分数指数幂的意义是：a■n二（一）n二n：（一）m（a>0,叫neN，且n>1）.0a耳a+的负分数指数幂没有意义.（3）运算性质①ar-as=ar+s（a>0,r,seR）②（ar）s=ar（a>0,r,seR）（ab）r=arbr（a>0,b>0,reR）（4）指数函数五、对数函数（1）对数的定义①若ax=N（a>0,且。丰1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=logN，其中aa叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x=logNoax=N(a>0,a丰1,N>0).a几个重要的对数恒等式log1=0,loga=1,logab=b.

aaa常用对数与自然对数常用对数：lgN，即logN;自然对数:lnN，即logN(其中e=2.71828…).10e(4)对数的运算性质如果a>0,a丰1,M>0,N>0，那么M①加法：logM+logN=log(MN)②减法：logM-logN=log-aaaaaaN③数乘：nlogM=logMn(neR)④a嗨a=NaanlogMn=logM(b丰0,neR)abbalogN换底公式:logN=b(b>0,且b丰1)alogab5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=logx(a>0且a丰1)叫做对数函数a图象a>1_0<a<1A7A—*定义域(0,+8)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当X=1时，y=0.奇偶性非奇-非偶单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数函数值的变化情况logx>0(x>1)alogx=0(x=1)alogx<0(0<x<1)alogx<0(x>1)alogx=0(x=1)alogx>0(0<x<1)aa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高•(6)反函数的概念设函数y二f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y二f(x)中解出x,得式子X=9(y)•如果对于y在C中的任何一个值，通过式子X=9(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=9(y)表示x是y的函数，函数x=9(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=/t(y)，习惯上改写成y=/t(x)•(7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=/T(y);③将x=/-1(y)改写成y=/-1(x)，并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数y=f(x)与反函数y=/-1(x)的图象关于直线y=x对称.函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/t(x)的值域、定义域.若P(a,b)在原函数y=f(x)的图象上，则P'(b，a)在反函数y=fT(x)的图象上.一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例1■抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标是()A•(2,0)B•(2,-2)C•(2,-8)D•(-2,-8)例2已知抛物线的顶点为(-1，-2)，且通过(1，10)，则这条抛物线的表达式为()A•y=3(x-1)2-2B•y=3(x-1)2+2C.y=3(x+1)2-2D.y=-3(x+1)2-2例3■抛物线y二x2-2mx+m+2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是()A•m<—1或m>2B•m<0或m>—1C•—1<m<0D•m<—1例4•已知二次函数f(x)同时满足条件:⑴f(1+x)=f(1-x)；⑵f(x)的最大值为15；(3)f(x)=0的两根立方和等于17求f(x)的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当—2<x<2时，求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.例6•当x'0时，求函数y=—X（2-x）的取值范围.例7•当'<x<t+1时，求函数y二2x2-x—2的最小值（其中t为常数）.三、幂函数例8.下列函数在（-8,0）上为减函数的是（）1A.y=x3B.y=x2c.y=x3D.y=x-2例9•下列幂函数中定义域为仁卜＞0｝的是（）2A.y=x2A.y=x3_3D.y=x_2B.y=x2c.y=x_32例10.讨论函数y二x5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.例10.已知函数y二4：15~2x~x2（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间.四、指数函数的运算例11.计算[（_2）_2]:的结果是（）A、2B、一C、—、2D、——22

八4丿等于（）D、a2八4丿等于（）D、a2则3；—2b二A、a16B、a8C、a4例13.若3a=8,3b=5,五、指数函数的性质例14.M={y|y=2x},P={y1y八x—1}，则MCP（）A.{yIy>1}B.{yiy>1}C.{yIy>0}D.{yIy>0}例15.求下列函数的定义域与值域：⑴y=2x-4（2）y二（3>例16.函数y=ax—2+3（a>0且a丰1）的图像必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，3）D．（2，4）例17求函数y二2l—1的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性2x+1

五、对数函数的运算例18.已知3a=2，那么log38-2log36用a表示是（）c3a—(1c3a—(1+a)2C、M例19.2log(M—2N)=logM+logN，则=的值为(aaaNA、a-2B、5a-2D、3a-a21A、4B、4C、1D、4或1例20.已知log7[log3(log2x)]=0，那么x-2等于1111A、3B、帀C、矛D、近0,2[u(l,+8)B、f2\-,+8C、:2,1【D、:0,2【Uf2)-,+8k3丿k3丿k3丿k3丿k3丿A、例21.log3<1，则a的取值范围是（）a3五、对数函数的性质例22.下列函数中，在（0,2）上为增函数的是（=logX2-12A、y=log丄=logX2-122y=y=log(x2-4x+5)c、y=log2D、2x例23•函数y=igA、x轴对称B、y轴对称例23.求证函数f（x）二lg寸称D、直线y=x对称x是（奇、偶）函数。课下作业1■已知二次函数y二ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=O,则它的图象可能是图所示的（）2■对抛物线y=2。2"-3与y二-A•抛物线的形状相同C•抛物线对称轴相同”）+4的说法不正确的是（）抛物线的顶点相同抛物线的开口方向相反3.二次函数y二-x2-2x+1图像的顶点在A•第一象限B•第二象限()C•第三象限D•第四象限4.如图所示，满足a>O,b<0的函数y二ax2+bx的图像是（）5•如果抛物线y二x2+6x+c的顶点在x轴上，那么c的值为（）7.在下列图象中，二次函数y二ax2+bx+c与函数7.在下列图象中，二次函数y二ax2+bx+c与函数y=（a）x的图象可能是A•0B•6C•3D.96■—次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（()8•若函数f(x)=(a—1)X2+(a2—i)x+l8•若函数f(x)=(a—1)X2+(a2—i)x+l是偶函数,A•减函数B•增函数C•常函数D•可能是减函数，也可能是常函数则在区间［0,+8)上血)是(0<x<1x<1=Xd在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、c、11、若四个幂函数yd的大小关系是()A、d>c>b>aB、a>b>c>dC、d>c>a>bD、a>b>d>c()A•m>1B•m<1C•m=lD•不能确定9•已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是()A.[1,+8)B.[0,2]C.[1,2]D.(—d2]TOC\o"1-5"\h\z10、使x2>x3成立的x的取值范围是()A、x<1且x#0B、C、x>1D、XaXbXc=.y=.y=,y12f(X)=Xm-112.若幂函数在(0,+8)上是减函数，则b>0b>0B.b<0C.b<0D.13A(a,b)y=xn(ngQ)13•若点在幂函数的图象上，那么下列结论中不能成立的是14•若函数f(x)=log士(x2—6x+5)在(a,+8)上是减函数，则a的取值范围是()142A.(-8,1]B.(3,+8)C.(—8,3)D.[5,+8)15、设集合S={y1y=3x，X&R}，T={y1y=X2-l'X&R}，则S"T是()A、©BA、©B、TC、SD、有限集y=2y=2+logx(x>i)“16、函数2的值域为()(2,+a)(s,2)A、B、C、[2,17、y=4o.9,y=8o.48,y=—设13"A、y3>y1>y2B、y217、y=4o.9,y=8o.48,y=—设13"A、y3>y1>y2B、y2>y1>y3C、y1>y>y32D、y1>y2>y318、在b=lOg(a-2)(5a)中，实数a的取值范围是A、C、2<a<5D、3<a<419、计算趣2)2+趣5)2+21g2•lg5等于()A、0B、120、已知a=lOg32,那么lOg38一2lOg-6C、2D、3用a表示是A5a—2B、a-2C、3a—(1+a)2C、D、3a—a2—121、已知幂函数f(x)过点(2，耳)2则f(4)的值为()A1、2二、填空题1•抛物线y=8x2-(m-1)x+m-7的顶点在x轴上，则m二.—32•函数y=X2的定义域为.3•设f°)="m-2)Xm+1，如果f(x)是正比例函数，则m二—如果f(x)是反比例函数,B、1C、2D、则m=如果f(x)是幂函数，则m二4•若(|x|—1)—4有意义，则x5•当3x<5y时，、:25y2-30xy+9x2=6.若5x2-5x=25y，则y的最小值为.7、若log2=m,log3=n,a2m+n=。aa8、函数y=log(3-x)的定义域是。(x-1)9、lg25+lg2・lg50+(lg2)2=。不等式6x2+x—2<1的解集是.不等式1<3-2x的解集是,V3丿12若10x=3'i°y=4，则i°x-y二.logx,x>0)…113、已知函数f(x)=]2；,(x<0)，则f[