概率论与数理统计浙大四版节

第二章随机变量及其分布

随机变量离散性随机变量及其分布随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布

一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.随机试验的结果数量化1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份北京的最高温度；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

例1在一个袋子中有编号为1，2，3的3只球，作放回抽样，抽球两次，观察两只球的号码和

X—两只球的号码和

;e—样本点

X=X(e)例2抛一枚硬币3次，观察出现正面的次数X—出现正面的次数

;e—样本点

X=X(e)—定义在样本空间S的函数样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110定义：随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X=X(e)为随机变量e.X(e)R注意：有时随机试验的结果就是一个数，可令X(e)=e，则X=X(e)为随机变量这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值也有一定的概率.随量机变简记为r.v.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示

例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.我们可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.

如

P{X>1.7}=？P{X≤1.5}=?P{1.5<X<1.7}=?

这时,要么x≥1.7米，要么x<1.7米，再去求P{x≥1.7米}就没有什么意义了.一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到X的一个具体的值，记作x.有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.

二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{没有收到呼叫}{X=0}随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律例2抛一枚硬币3次，观察出现正面的次数X—出现正面的次数

;e—样本点

样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110A—出现正面2次

;P(A)=3/8

A—{X=2}，P{X=2}=3/8

P{X≤1}=?三、随机变量的分类

通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.第二章随机变量及其分布随机变量

离散性随机变量及其分布随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布

设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,….为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还想知道X取每个值的概率.

这样就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）定义：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为离散型随机变量X的概率分布或分布律用这两条性质判断一个函数是否是分布律一、离散型随机变量概率分布的定义二、表示方法（1）列表法：（2）公式法X~再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,2Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）用这两条性质判断一个函数是否是分布律解:依据概率函数的性质:P{X=k}≥0,

a≥0从中解得欲使上述函数为概率函数应有这里用到了常见的幂级数展开式例1.设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.三、举例解：X可取0、1、2、3、4例2.

一汽车沿一街道行驶，需要通过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示该汽车首次停下时，已通过的信号灯的组数（各信号灯工作时相互独立的），求X的分布律.X02143pk0.50.250.1250.06250.0625例3.某篮球运动员投篮投中的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解：X可取0、1、2为值

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81

且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1练习：P55Ex2（2）X可取1,…,6或X13254pk11/369/367/365/363/3661/36四、三种常见的离散型随机变量(一)（0-1）分布，也称为两点分布随机变量X只可能取0与1两个值，分布律为则称X服从（0-1）分布或两点分布，分布律也可写成X10pk1-ppE是一个只有两种可能结果的随机试验,用S={e1,e2}表示其样本空间.

P({e1})=p,P({e2})=1-p

来源

200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定例4则P{X=1}=196/200=0.98,P{X=0}=4/200=0.02

X01pk0.020.98(二)伯努利试验、二项分布伯努利试验：试验E只有两个可能结果A及1重伯努利试验就是（0-1）分布的试验来源。n重伯努利试验：将E独立重复进行n次，这样 的一串重复的独立试验注意试验重复性和独立性例如：设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，随机抽查出生的4个婴儿令X——4个婴儿中“男孩”的个数.X的分布律是：X可取值0,1,2,3,4.

用X表示n重伯努利试验中事件A出现的次数，则X是离散型随机变量，分布律：称X服从参数为n和p的二项分布，记作X~b(n,p)显然n=1时，X服从两点分布。例5将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率分布是：不难求得，注:伯努利试验（伯努利概型）试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果（3）各次试验相互独立.两个互逆结果可以是成功-失败，合格-不合格等例6某类灯泡使用时数在1500小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.解:设X为20只灯泡中次品的个数,则.X~b(20,0.2)，对于固定n及p，当k增加时,概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点：X~b(n,p)n=10,p=0.7nPkn=13,p=0.5Pkn0例7某人进行射击，设每次射击的命中率为0.2，独立射击400次，试求至少击中两次的概率解:设X为击中的次数,则.X~b(400,0.2)，例880台同类型设备，各台工作独立，发生故障的概率都是0.01，且一台设备故障只能由一人处理，考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维修，每人负责20台；其二是由3人共同维修80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。解:设X为第一种方法某个人负责的机器同一时间故障的台数

X~b(20,0.01)，Y为第二种方法所有机器中同一时间故障的台数Y~b(80,0.01)，(三)泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且分布律为：其中λ>0是常数,则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X~π(λ).例9某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布.求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率.(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.解:

(1)P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169泊松定理（泊松分布逼近二项分布）求二项分布的概率的近似计算例：某批产品次品率为0.1%，各产品为次品相互独立，求1000件产品中至少2件次品的概率。解：X为次品数，X~b(1000,0.001)第二章随机变量及其分布随机变量离散性随机变量及其分布

随机变量的分布函数连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布对于非离散型随机变量X，往往考虑以下事件发生的概率只需研究

———|——>x一、定义：设

X

是一个r.v.，x是一任意实数，称为X

的分布函数.记作F

(x).

如果将X

看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.

由定义，对任意实数x1<x2，X落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<X≤x2

}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.分布函数的性质（1）x1<x2,总有F(x1)≤F(x2)(单调非减性)（2）F(x)是一个右连续的函数（3）xR,总有0≤F(x)≤1(有界性),且重要公式离散型随机变量分布函数的计算举例例1随机变量X的分布律为X-132pk1/41/21/4求X的分布函数，并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}，P{2≤X≤3}X-132pk1/41/21/4求X的分布函数，并求P{X≤1/2},当x<-1时，F(x)=0F(x)=P(X≤

x)解:当-1≤x<2时，F(x)=P{X=-1}=1/4当2≤x<3时，F(x)=P{X=