插值法与数值微分

关于插值法与数值微分第1页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五引言

插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。

实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。这个过程就是曲线拟合。第2页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法

自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)本章学习插值法曲线拟合的几何意义第3页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第4页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五插值函数的几何意义yx第5页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五§2-1线性插值和抛物插值一、线性插值yxy=𝒇（𝒙）图2-1第6页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五优点：计算简单，以直线代替曲线。缺点：精度低，误差大。改进：多用一些点。第7页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五【例】已知某多叶调节风阀。当叶片数为n=3时，叶片与气流方向呈各种角度α时。某局部阻力系数β值如下表表示：求当α等于30°时，多叶调节风阀的局部阻力系数β的线形插值。并将其代入线性插值公式，有第8页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线其中为待定常数。若将A，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而即可确定，但求起来比较麻烦。第9页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五简便算法：见下一页第10页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五抛物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得抛物插值公式。第11页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五【例3】分别计算下列各题：

1）利用100和121求平方根115；

2）利用100，121和144求平方根115。

解:用线形插值求解问题1）与所求平方根的实际值10.72387比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428。第12页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五用抛物插值求解问题2）与平方根实际值10.7238比较，10.72275551具有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。第13页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五一、拉格朗日插值公式：问题提出：这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数在n+1个点上的函数值求一个n次多项式，并满足条件，）来讨论如何构造其插值多项式。§2-2拉格朗日插值多项式第14页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第15页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第16页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五这就是所要求的插值多项式，称为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。当n=1时，就得出线形插值多项式，

n=2时，就得出抛物插值多项式。第17页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五二、拉格朗日插值余项：插值余项：定理：第18页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五证明：当X为节点时，两边皆为0，显然成立。下设X不为节点。作辅助函数第19页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五即问题得证。这个定理所讲的余项用起来有一定的困难

，因为实际计算时，只是给出的一张数据表，并未给出具体的解析式子，故并不知道，所以也就无法得到。第20页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第21页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五【例4】在例3中分别用线性插值和抛物插值计算了的近似值，试估计它们的截断误差。第22页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第23页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第24页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五解：记由插值多项式有故根据余项公式，若能估计出的上界，那么将有第25页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五三、插值误差的事后估计法第26页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五利用余项公式知：第27页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五稍加整理得：这种用计算的结果来估计误差的办法，通常称为事后估计，在计算中是常用的，这种估计误差的方法，将贯穿我们计算方法这门课程的始终。

第28页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五四、拉格朗日插值多项式的优缺点：优点：拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便

缺点：a.不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算；b.龙格（Runge）现象:高次拉格朗日插值多项式稳定性差，对于计算过程的舍入误差十分敏感，当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。龙格就给出了一个例子：设被插值函数第29页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五取等矩节点，作拉格朗日插值多项式。当n=10时，函数及插值多项式的图形如下所示。由图可见，在区间[-0.2，0.2]上比较接近,但在区间[-1，1]两端则误差很大。当n增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象。-11x0.51.01.5y0龙格现象＊为避免龙格现象和不稳定，通常限定n≤7，不采用高次插值多项式。第30页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五§2-3分段插值法问题提出：适当提高插值多项式的次数，可以提高计算的精确度，但次数太高又会产生不好的效果。因为次数越高，计算越繁，积累误差就越大；曲线就会出现过多的扭摆。当局部插值点有微小变动时，就可能引起曲线大幅度的变化，使计算很不稳定。因此，插值多项式次数越高，其所求得的插值越显得不可靠，从而也大大降低了它的工程应用价值。这也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程应用中，多采用分段插值法。即将插值区间分为若干个小段，在每一小段上使用低阶插值——如线形插值或抛物插值。

设已给出一系列离散结点：应用低阶插值的关键是恰当地挑选插值结点。余项公式说明，选取的结点离插值点越近，误差就越小，因而插值效果也就越好。因此应当尽量在插值点的邻近选取插值结点。第31页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五一、分段线性插值这种分段低次插值叫做分段线性插值。在几何上就是用折线代替曲线，故分段线性插值又称折线插值。第32页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五000（i=1,2，···，n-1）第33页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五二、分段抛物插值以三个节点为例，公式为：第34页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五其节点的选取方法为：-----------式（2.13）式（2.13）称为分段抛物插值公式。第35页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五解：在各节点的函数值为由此求出分段线性插值基函数:第36页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五故有第37页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五§2-4牛顿插值多项式对于n+1个节点的插值问题,将n次插值多项式写成如下形式多项式称为牛顿(Newton)插值多项式.形如上式的插值为待定系数.第38页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第39页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五一、向前差分与牛顿向前插值公式第40页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五差分表第41页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五将其代入牛顿插值公式，得牛顿向前插值公式，简称前插公式。第42页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五----------表2.3第43页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第44页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五用二次插值得用三次插值得第45页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第46页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五二、向后差分与牛顿向前后插值公式第47页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五【例10】已知函数表同例9，计算sin(0.58)，并估计截断误差.因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算,且于是由后插公式得第48页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五第49页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五定义1记称为关于xi

的零阶均差.称为关于xi

,xi+1的一阶均差.称为二阶均差.三、差商与牛顿基本插值多项式第50页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五一般地,k阶均差为均差有如下基本性质：定理1:(1)均差与函数值的关系为(2)均差与节点的排列顺序无关,即第51页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五(4)若函数在上存在n阶导数,且节点则使得第52页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五53三、均差的计算方法(表格法):规定函数值为零阶均差均差表第53页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五解：先构造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛顿基本插值多项式中各系数为表2.5第54页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五故用线性插值所得的近似值为用抛物插值所得的近似值为第55页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五§2-5三次样条插值

样条这一名词来源于工程中的样条曲线，绘图员为了将一些指定点（称作样点）链接成一条光滑曲线，往往用细长的木条（称作绘图员的样条）把相近的几点连接在一起，再逐步延伸连接起全部指定点，使形成一条光滑的样条曲线，它在连接点处具有连续曲率，我们对绘图员的样条曲线进行数学模拟，得出的函数叫做样条函数，它在连接处具有一阶和二阶连续微商。第56页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五一、三次样条插值函数的定义定义：------(1)第57页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五二、边界条件问题的提出与类型------(2)第58页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五------(3)------(4)第59页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(一阶)边界条件：第二类(二阶)边界条件：第三类(周期)边界条件：少两个条件------(6)------(5)------(7)第60页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即------(8)或常用第二类边界条件第61页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五------(9)第62页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五加以整理后可得------(10)------(11)第63页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五由条件由于以上两式相等,得第64页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五------(12)第65页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:------(5)基本方程组(12)化为n-1阶方程组------(13)即将(13)式化为矩阵形式第66页，共78页，2022年，5月20日，2点39分，星期五------(14)这是一个三对角方程组如果问题要求满足第二类(二