§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形

§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形

基础知识・自主学习

知识回顾理洽教材

I要点梳理

1.

正弦、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为厶居。外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

abc

==RsinAsinBsinC_

a2=b2+c2—2bccosA：b2=c2+a2—ZcacosB；c2=a2+b2—2abcosC

变形

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC：

abc

sinA—衣sinB—衣sinC—浪

⑶a:b:c=sinA：sinB：sinC；

(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB>asmC

=csinA

b2+c2-a2cosA—2bc；

c2+a2-b2cosB-2ca；

a3+b2-c2cosC—Mb

S\ABC=£absinC=gbcsinA=〔acsinB=^=|(a+b+c)-r(r是三角形内切圆的半径)，并

可由此计算R、r.

3・在AABC中，已知a、b和A时，解的情况如下:

A为锐角

A为钝角或直角

图形

c

A-

c

盈'

、一

Cd

AB

关系式

a=bsinA

bsinA<a<b

aMb

a>b

解的个数

一解

两解

一解

一解

4.实际问题中的常用角

仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫

仰角，目标视线在水平视线上方叫俯角(如图①)・

C）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。等.

（3）方位角

指从正北方向顺时针•转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为a（如图②）.

‘71

B6

解析

在AABC中，利用正弦定理得

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

2sinAsmB=羽sinB,/.sinA=溟

IT

又A为锐角•A=g3・（2013-陕西）设ZkABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asin

A,则AABC的形状为（）

A•锐角三角形B・直角三角形

D・不确定

C・钝角三角形

答案B

解析由bcosC+ccosB=asinA,得sinBcosC+sinCeosB=sin?A,即sin(B+C)=sin若满足条件C=60°,AB=羽，BC=a的AABC有两个，那么a的取值范围是（也，

2）.（V）

⑶若ZkABC中，acosB=bcosA,则Z\ABC是等腰三角形.（J）

（4）在AABC中，tanA=a*12,tanB=b3,那么ZiABC是等腰三角形.（X）

（5）从A处望E处的仰角为a,从B处望A处的俯角为0,则a,0的关系为a+0=180。

（X）

（2013-湖南）在锐角Z\ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB={5b,贝I」角

A等于（）

r71

D3

A,

IT

所以sinA=b由0<A<7i,得所以ZkABC为直角三角形.

4.在△ABC中，B=60°,AC=JL则AB+2BC的最人值为

答案2^7

解析由正弦定理知器二鶉^羅，

/.AB=2sinC,BC=2sinA

又A+C=120%AAB+2BC=2sinC+4sin(120°一C)

=2(sinC+2sin120°cosC一2cos120°sinC)

=2(sinC+羽cosC+sinC)

=2(2sinC+羽cosC)=2-\/7sin(C+a),其中tana=車,a是第一象限角，

由于0°<C<120%且a是第一象限角，

因此AB+2BC有最大值2羽.

5.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60。方向，行

驶4h后，船到B处厂看到这个灯塔在北偏东15。方向，这时船与灯塔的距离为km

答案3辭

解析如图所示，依题意有

AB=15X4=60,ZNIAB=30°,ZAL1B=45%

在△AMB中，

由正弦定理得吋二

BM

sin30。'

解得BM=30V：(km).

题型分类•深度剖析

题型一正、余弦定理的简单应用

【例1】（1）在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=V3bc,sinC=2羽

sinB,则A.等于

()

A・30。

B・60°C・120。D・150。

(2)在ZYABC中，J

bb,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+

b）sinC,则sinB+sinC的最人值为（）

A・0

B.1C.|D迈

思维启迪（1）由sinC=h/5sinB利用正弦定理得b、c的关系，再利用余弦定理求A

C)要求sinB+sinC的最大值，显然要将角B、C统一成一个角，故需先求角A,而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A答案(1)A(2)B

解析(l)TsinC=2羽sinB,由正弦定理得c=2y[3b,

又A为三角形的内角，・・・A=30。

(2)已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,

根据正弦定理，得2a3=(2b+c)b+(2c+b)c,

即a2=b2+c2+be.

由余弦定理得a2=b2+c3-ZbccosA,

1

故cosA=-r

又A为三角形的内角，.•・A=120。

故sinB+sinC=sinB+sui(60°一B)=車cosB+£sinB=sin(60°+B),

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1.

思维升华(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)解題中注意三角形内角和定理的应用及角的范国限制.

跟踪训练1(1)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=

2B,则cosC等于()

7

C.土亏

(2)已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=l,b=书,A+C

=2B,则角A的人小为.

答案(1)A(2#

解析

8

154

化简得蚯NinBcosB'则COSB=?

°4o7

所以cosC=cos2B=2cos-B一1=2X(-/一1=—,

故选A.

71

(2)VA+C=2B且A+B+C=ji,AB=-

由正弦定理知：sinA.=

_71

又a<b.AA<B,AA=

题型二正弦定理、余弦定理的综合应用

【例勺(2012-课标全国)已知a,b,c分别为AABC三个内角A,B,C的对边，acosC+羽a

sinC—b—c=0

求A；

若a=2,AABC的面积为羽，求b,c.

思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A面积公式和余弦定

理相结合，可求出b,c.

解(1)由acosC+羽asmC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+-\/3sinAsinC-sinB-

sinC=0

因为B=7i-A-C,

所以羽sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.

由于sinCHO,所以sin(A-£)=£

又0vA<7b故A=z.

(2)AABC的面积S=£bcsinA二羽，故be=4.

而a2=b2+c2-ZbccosA,故b3+c2=8.

解得b=c=2.

思维升华有关三角形面积问题的求解方法：

灵活运用正、余弦定理实现边角转化.

合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等.

跟踪训练2在Aabc中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.

(1)若c=2,C=罟,且的面枳为羽，求a,b的值;

(2)若sinC+sin(B—A)=sin2A,试判断Z\ABC的形状.

IT

解(l)Vc=2,C=p

:.由余弦定理c2=a2+b2-ZabcosC得a2+b2-ab=4.

又•/AABC的面积为书，/•^absinC=£、ab=4.

联立方程组

ab=4,

解得a=2,b=2.

(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,

得sin(A+B)+sni(B-A)=2sinAcosA.

即2sinBcosA=2sinAcosA,cosA-(sinA-sinB)=0,

AcosA=0或sinA-sinB=0,

当cosA=0时，0<A<7i,

71

AABC为直角三角形；

当sinA-sinB=0时，得sinB=sinA,

由正弦定理得a=b,即AABC为等腰三角形.

•••△ABC为等腰三角形或直角三角形.

题型三解三角形的实际应用

【例引某漁轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该漁轮在方位角为45。，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105。的方向，以9nmile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

思维启迪本題中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t,找出等量关系，然后解三角形.

解如图所示，根据题意可知AC=10,ZACB=120°,设舰艇靠近渔！北

I轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇，则AB=21t,BC=9t,在'沁[△ABC中，根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cos120°,所以

]°5

Zl2t2=102+92t2+2X10X9tX-,即360t2-90t-100=0,解得t=〒或t=〒(舍去).所

以舰艇靠近渔轮所需的时间为Wh・此时AB=14,BC=6.

所以sinZCAB=

即ZCABa21.8。或ZCAB~158.2。(舍去).

即舰艇航行的方位角为45。+21.8。=66.8°

所以舰艇以66.8。的方位角航行，需扌h才能靠近渔轮.

思维升华求解测量问题的关縫是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长.解題中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.

跟踪训练3在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15。，如图所示，向山顶前进100m后，又从B点测得斜度为45。，设建筑物的高为50m.求此山对于地平面的斜度&的余弦值・

解在ZiABC中，ZBAC=15%ZCBA=180°-45°=135%AB=100m,

所以ZACB=30°

由正弦定理，得

100

sin30°

BC

sin15。'

即BC=

lOOsin15。

sin30°

lOOsin15。

sin30°

ZCBD=45%ZCDB=90°+<9,

1OOsui15°

由正弦定理，得聶V

sin30°

在ABCD中，因为CD=50,BC=

解得cose二羽-1.

因此，山对地面的斜度的余弦值为Vs-1.

易错警示系列4

代数式化简或三角运算不当致误

典例：(12分)在AABC中，若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)-sin(A+B),试判断△ABC的形状.易错分析(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形；

代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解；

结论表述不规范.

规范解答

解I(a2+b2)sin(A-B)=(a3-b2)sin(A+B),

・°・b'【sin(A+B)+sin(A-B)l

=a'【sin(A+B)-sin(A-B)l,

14分I

2sinAcosB・b~=2cosAsinB-即a2cosAsinB=b'sinAcosB・

方法一由正弦定理知a=2RsinA,b=ZRsinB>

/.surAcosAsinB=sin’BsinAcosB,

又sinAsinBHO,/.suiAcosA=sinBcosB,

/.sin2A=sin2B

在△ABC中，0<2A<2ti,0<2B<2ji,

【12分］

【12分］

jr・・・2A=2B或2A=ti-2B,/.A=B或A+B=r

•••△ABC为等腰或直角三角形.

方法二由正弦定理、余弦定理得：

TOC\o"1-5"\h\z

-OOO11-O

入b~+L_a"Ja_+c__b-

a~b兀=b-a,

2bc2ac

:.a方法与技巧

应熟练掌握和运用内角和定理：A+B+C=ti,¥+专+¥=¥中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数.

正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C-2sinB-sinC-cosA,可以进行化简或证明.

(b2+c2-a2)=b2(a2+c合理利用换元法、代入法解决实际问题.

失误与防范

在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论.

利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.

-b2),

:.(a2-b2)(a3+b2-c2)=0,

/.a3-b2=0或a2+b2-c3=0.

即a=b或a2+b?=c?

•••△ABC为等腰或直角三角形.

温馨提醒（1）判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的

式子然后判断：注意不要轻易两边同除以一个式子・

C）在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件・另外，在变形过程中要注意角A,B,C的范闱对三角函数值的影响.

思想方法・感悟提高

练出高分

A组专项基础训练

（时间：40分钟）

一、选择题

在△ABC,己知ZA=45°,

BC=2,则ZC等于

A・30。

B・60°

C.120°

D・30。或150。

答案A

sinCsin45°'

・・・sinC=£又AB<BC,Z.ZC<ZA,故ZC=30°

2.AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若fvcosA,则△ABC为（）

A.钝角三角形

B・直角三角形

C・锐角三角形

D・等边三角形

答案A

sinC

解析依题意得^<cosA,sinC<sinBcosA,

SillD

所以sin（A+B）<sinBcosA,

即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,

所以cosBsinA<0

又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角，ZkABC是钝角三角形・

3・（2012-湖南）AABC中，BC=2,B=60°,则BC边上的高等于（）

答案B

解析设AB二a,则由AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB7=a2+4-2a,即a2-2a-3

=0,Aa=3（负值舍去）.

BC边上的高为AB-sinB=3

（2013-辽宁）在ZkABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asmBcosC+csinBcos

A==b,且a>b,则ZB等于

5

n

A6

71

B3

271

CT

5n

DT

答案

解析

ac]

由条件得衣11】BcosC+^smBcosA=~,

依正弦定理，得sinAcosC+sinCeosA=£,

sin(A+C)=£,从而sinB=7,

71

又a>b,且BG(0,7i),因此B=^.

在ZiABC中，a、b.c分别是角A、B、C的对边，己知b'=c(b+2c),若a=&,cosA

7

=g，则ZkABC的面积等于()

A.0B如C.呼D.3

答案C

解析Vb3=c(b+2c),Ab2一be-2c2=0,

即(b+c)・(b一2c)=0,Ab=2c.

b2+c2-a27

又a二晶cosA=飞，解得c=2,b=4

•:Saabc

csinA=

IX4X2X

二、填空题

(2013-安徽)设ZkABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3smA=

TOC\o"1-5"\h\z

5sinB,则角C=:

答案—

解析由已知条件和正弦定理得：3a=5b,且b+c=2a,

贝!)a=乎,c=2a-b=-y

a-+b2~c21re&271

cosC=猛二一又OcCVji,因此角C=y，

ji

在△ABC中，若b=5,ZB=-,tanA=2,则a=.

答案2y/10

解析由tanA=2得sinA=2cosA

又sin2A+cos2A=1得sinA=

71

Vb=5,ZB=-,

根据正弦定理，有侖r為,

bsinA2-J5/—

2

8・如图，设A,B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河片边选定一点C,测出AC的距离为50m,ZACB=45°,ZCAB=105°,则A,B两点的距离为.

答案50^2m

AnAf1

解析由正弦定理鶯K二丽，

50X迄

AC-sinZACB2厂

所以

smB=50x/2

2

三、解答题

(2013-北京)在ZkABC中，a=3,b=2品ZB=2ZA

求cosA的值；

求c的值.

解(1)在AABC中，由正弦定理

a=b3=2氐=裁

sinAsinBsinAsin2A2sinAcosA1

/.cosA=

(2)由余弦定理，a2=b2+c2-ZbccosA=>32=(2^6)2+c2~2X2乐cX誓则c2-8c+15=0.

•'•c=5或c=3.

当c=3时，a=c>A=C.

7T

由A+B+C=7i,知B=p与a'+c’Hb?矛盾.

Ac=3舍去.故c的值为5.

(2013-江西)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,己知cosC+(cosA—羽

sinA)cosB=0

求角B的大小；

若a+c=l,求b的取值范|韦1・

解(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-也sinAcosB=0即有sinAsinB-羽sinAcosB=0,

因为sinAHO,所以sinB-JcosB=0,

即羽cosB=sinB.

因为0<B5,所以sinB>0,

所以cosB>0,所以tanB=-^3>即B=?.

(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,

因为a+c=1,cosB=£,

所以b2=(a+c)2-3ac$(a+c)2一3^-7—

=f(a+c)T，・・・b詁又a+c>b,/.b<l,.■・£wbvi.

B组专项能力提升

(时间：30分钟)

1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asmAsinB+bcos‘A=£a,贝9号等

A.2y[3

答案D

解析TasmAsinB+bcos2A=,

/.sinAsinAsinB+sinBcos2A=£sinA.

/.sinB=

sinBr；

sinA=^2

2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20。，现高不变，将倾斜角改为10%则斜坡长为（）

A・1

B・2sin10°

C.2cos10°D・cos20°

答案c

解析如图，ZABC=20%

AB=bZADC=10%

/.ZABD=160°

ADAB在△朋D中，由正弦定理得苛丽二品莎

/.AD=AB-Sm1=Sm=2cos10°

若sinZBAM=|,则sinZBAC

sui10°sin10°

(2013-浙江)在ZkABC中，ZC=90%M是BC的中点.

正弦定理’得雀.所以誥3COSZBAC-

解析因为sinZBAM=|,所以cosZBAM=¥^如图,

在RtAACM中，有罟=sinZCAM=sin(ZBAC-ZBANf).由题意知BM=CM,

所以3cJbAC=ss(ZBAC一ZBAM).

化简，得S/5sinZBACcosZBAC-cos2ZBAC=1.