新教材人教A版选择性必修第三册-7.4.2-超几何分布-作业

PAGEPAGE10课时作业(十二)超几何分布[练基础]1．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率等于eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)2．一批产品共有50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，其中出现次品的概率是()A．eq\f(44,245)B．eq\f(9,49)C．eq\f(46,245)D．eq\f(47,245)3．有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望E(X)＝()A．2B．2.5C．3D．3.54．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，其中有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个号码球，其中恰有1个中奖号码的概率为eq\f(8,21)，则这10个小球中，中奖号码球的个数为()A．2B．3C．4D．55．已知一盒子中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子．任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的均值E(X)＝________．6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)＝________．7．现有10张奖券，其中8张2元的、2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．8．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布．(2)他能及格的概率．9．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[提能力]10．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国的PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2020年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这15天的数据中任取三天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望．11．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40名，不超过100km/h的有15名；在45名女驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20名，不超过100km/h的有25名．(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的驾驶员中随机抽取2名，求这2名驾驶员中恰好有1名男驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中平均车速超过100km/h且为男驾驶员的车辆数为X，求X的分布列．[战疑难]12．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n(n∈N*)件，用X表示所抽取的n件产品中不合格品的件数．(1)若n＝2，求X的分布列；(2)求使X＝1的概率取得最大值时的n的值．(参考数据：eq\r(9901)≈99.50)课时作业(十二)1．解析：X服从超几何分布，则P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(10),\s\do1(15)))，故选C.答案：C2．解析：方法一任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(9,49)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(2,245)，因此出现次品的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(47,245).方法二任意抽取的2件产品中次品数X服从超几何分布，其中P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))，故所求概率为P＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(45)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)))＝eq\f(47,245).故选D.答案：D3．解析：随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4－k),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)))(k＝1，2，3，4).所以，随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)随机变量X的数学期望E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)，故选B.答案：B4．解析：由题意，可得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10－n)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(8,21)，∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.答案：C5．解析：方法一随机变量X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15).∴E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).方法二由题意知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2，则由超几何分布的均值公式和方差公式知E(X)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)6．解析：由题意可知X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布，即P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))，k＝0，1，2，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)7．解析：设所得金额为X，则X的所有可能取值为6，9，12.P(X＝6)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝9)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(7,15)，P(X＝12)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(8))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,15).故X的分布列为X6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)8.解析：(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(r),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3－r),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(r＝0，1，2，3).所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6).所以X的概率分布为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)(2)能及格的概率为：P(ξ≥2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).9．解析：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(49,60).故选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为eq\f(49,60).(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(4))·Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2，3).随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).10．解析：(1)由题意知，这15天中达到一级标准的有5天，未达到一级标准的有10天．记“从这15天的PM2.5日均监测数据中随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(45,91).(2)由题意知，这15天中，超标的有5天，未超标的有10天．根据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝5，n＝3，ξ所有可能的取值为0，1，2，3，P(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(10)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))(k＝0，1，2，3).ξ的分布列为ξ0123Peq\f(24,91)eq\f(45,91)eq\f(20,91)eq\f(2,91)E(ξ)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(3×5,15)＝1.11．解析：(1)平均车速不超过100km/h的驾驶员有40名，从中随机抽取2名的方法总数为Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)).记“这2名驾驶员中恰好有1名男驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(25))，所以所求的概率P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(15))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(25)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))＝eq\f(15×25,20×39)＝eq\f(25,52).(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h且为男驾驶员的概率为eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(27,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(54,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))＝eq\f(36,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,125)，所以X的分布列为X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)12.解析：(1)当n＝2时，X的所有可能取值为