高中数学知识点汇总(高二)

高中数学知识点汇总（高二）高中数学知识点汇总（高二）.....................................................................................................................1七、数列与数学归纳法.................................................................................................................................3八、平面向量的坐标表示...........................................................................................................................10九、矩阵和行列式初步...............................................................................................................................15（一）矩阵...................................................................................................................................................15（二）行列式...............................................................................................................................................17十、算法初步...............................................................................................................................................20十一、直线的方程.......................................................................................................................................21十二、曲线的方程.......................................................................................................................................25（一）曲线的方程概论...............................................................................................................................25（二）圆的方程...........................................................................................................................................26第页（共44页）（三）椭圆...................................................................................................................................................28（四）双曲线...............................................................................................................................................32（五）抛物线...............................................................................................................................................36（六）圆锥曲线的相关知识.......................................................................................................................39（七）参数方程和极坐标...........................................................................................................................40十三、复数...................................................................................................................................................42第页（共44页）七、数列与数学归纳法1、等差数列、等比数列的常用公式：aaqannn1n1n1nmnmaqnnn1nmqnmnS11nSn1n2na1dqq21addnv12221n1MN（等比中项公式）2a)aaa)或n1n1naaaaaaannn1nnn12、等差数列的性质：a是首项为a，公差为d的等差数列，则（1）若数列{}n1a是递增数列；d0时，a}是递减数列；d0时，a}是常数列．①d0时，{}nnnmnpqm,n,p,qN)，则aaaa．*②若mnpqm是首项为m，公比为m的等比数列．③数列{}aadn1a,a,a,,(k,mN)④下标成等差数列且公差为m的项组成公差为的等差数列．*kkmk2mSS，公差为d⑤{}是首项为2的等差数列．nn1第页（共44页）S，SS，SS是等差数列．⑥n2nn3n2nSSmn，则S0．⑦若,nmmnamanmn，则a0SmSnmn，则Smn)．⑧若,,；若,,nmmnnmmnddn(a)nm①222证明：由等差数列的前n项和公式，可得．1ddm(a)mn②2221dd①②，可得Smn)amn)mn③．2222mn1mdn2ndm222ad由①可得ad；由②可得．nm11mdn2ndm2mn22d于是，，化简可得2④nm将④式代入③式，可得Smn)．mna的公差为d，前n项和为S；等差数列b}的公差为d，前n项和为T，则（2）若等差数列{}nnnnaSaSSaSd(nN)①；②；③．n2n1*nnn1nnbTbTTbnTdnnnn2n1mmm1n(nN)的等差数列a}有：（3）项数为偶数*nannnSnS(aa)(aaa,a)SSd①；②；③S．奇偶2222an1nnnnn偶奇221221n12n(nN)的等差数列a}有：（4）项数为奇数*nSSn1n1Sa)SSa①；②；③．奇偶nn1n1n1奇偶222注意：S、S分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．奇偶3、等比数列的性质：b是首项为b，公比为q的等比数列，则若数列{}n1mnpqm,n,p,qN)，则bbbb．①若*mnpqb是首项为b，公差为q的等差数列．②数列}ana1ab,b,b,,(k,mN)q的等比数列．m③下标成等差数列且公差为m的项组成公比为*kkmk2m第页（共44页）S，SS，SS是等比数列．④n2nn3n2n4、根据递推公式求通项公式：①aafna,a,,a()n1n12na中，例：数列{}22a．na，且aan，求通项nn1n1nn(n解析：由aa2n，结合累加法，可得na2nn．2n1n②aafna,a,,a()n1n12na中，n2(na，则其通项a______．例：数列{}a，且1n1nnan2a，结合累乘法，可得．解析：由an1n1nnnfafaddfafafafa)()fa的③()()(0)或(()(()n1nn2n1n1nna的通项公式．其中，比较典型的就是取倒数法．n通项公式，从而求出2aa．解析：111a中，a1且a例：数列{}，求．na2aa2nn1n1nnn1f(a)f(a)f(a)qq(0)或n2n1faa()④n1f(a)f(a)f(a)nnnn1n的通项公式．对于ats(asa，可逐步求出通项公式．()n1nn1na中，a1，a例：已知数列{}a3，求a．nn1n1na2答案：3．n1napa对于型：rnn1a中，aa例：数列{}a(nN)，求数列的通项公式．*2n1n1na3答案：2n1na⑤s型：nn1a：a4，aa例：设数列{}n1，n2，求a．nn1nn1a63答案：n1．n1na⑥型，其中pq(pq0．nnn1第页（共44页）5131a中，a，aa()na．n例：已知数列{}，求n162n1n132a．23答案：nnn⑦a型：n2n1n231a中，a1，a2，aaaa．n例：已知数列{}，求3n12n2n1n31a1()]n答案：．n143aa)a，然后就出，；解析：方法一：令an2n1n1n方法二：特征根法：对于递推公式aa，，a给出的数列a}，方程n2n1n12nx2q0，叫做数列a}的特征方程．na令，其中x、x是特征方程的根，然后求出A、B即可．n11n1n212kak⑧a型：3n4kakn11n2kak(a)baabab3n4nnkkkakn1n1nnn1ab221n2kknn11k21k11可得b1bn1n⑨周期数列：和年份有关，代几项，看周期．1a满足aa例：数列{}，则a等于（）a1n1n1nB．1C．23．1A．23答案：．Sa5、S与a的关系：11．SSa(nnN)*nnnnn1a的前n项和为Sn2na的通项公式．n例1：已知数列{}，求数列{}2nnaS3，且S(n2(naSSn1，n2．解析：由题可知，，于是211n1nnn1a3也符合an1该步很重要，不可缺少经验证，1naSS所以该数列的通项公式为n1．nnn1第页（共44页）6、数列求和的常用方法：（1）倒序相加法：Saaaa①，则，a满足aaaa已知数列{}n12n1nSaaaa②n1n2n1nnn121n(aa)S由①②得．n12n（2）错位相减法：S12x3x例2：求和：(x1x且．2n1nS12x3x①2n1解析：由题可得nx2xnx②n2n1n1xnn1xn1xx)S1xxx然后①②，可得nn，即Sn．211x1xnn（3）裂项相消法：111111a()；a(nkn)；①②nkn(nk)knnknknnn11afnfn．④(()③；(nn!(nn（4）常见数列的前n项和公式：n(n123n①；2n(nn123n2②；2226S123n，则n证明：令2222(kkkk1，依次令k1,2,,n可得332由21313113323232321332．(nn3n3n1332(n132n)32n)n．3222累加可得(n13S32n)n．即3nn(nnS123nn整理可得．22226n(n123n[]．2③33332第页（共44页）证明过程同上．7、数列中的最值：f(n)nD,a,nD时当①aafn)，；nf(n)nD,a,nDn1n当时nagn的图像，或功能；()n②8、常用数列的极限：1q11①q01q1；②0．nnnnq1q1或q注意：存在的充要条件是1q1，且q不一定代表公比，所有不需要q0．nn例3：求出以下数列的极限：2n5n12n9n12n1322（1）；（2）；（3）_________．5nn45n45n5n4322nnn解析：若分子、分母都是多项式时，该分式数列的极限如下：0=．21）02）3）不存在．5例4：计算：34nn1．n234nn3n24n339()n90130解析：原式44n4n．34nn3n113()nnn444naxycaxbyabcdnnn另外，该题还可以用xy0来直接得出答案．yxcxdynnbd9、极限的运算法则：ababn①)；注意：该式只用于有限个数列相加的情况；nnnnnnababn②)；nnnnnn第页（共44页）aaAnnB(0)．③nnbnnbBn特别地，如果C是常数，那么由②可得lim(Ca)CaCA．nnnnn10、无穷等比数列各项的和：aSS，其中0q1．11qnn11、数学归纳法：证明与正整数n有关的数学命题的步骤：n（nN，例如n1或n2）时命题成立；①证明当n取第一个值*0000nk(kN,kn)时命题成立，证明当nk1时命题也成立．②假设当*0n开始的所有正整数n都成立，这种证明方0在完成了上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从法叫做数学归纳法．n(nn123n2例5：用数学归纳法证明．2226123解析：①当n1时，左边11，右边1，等式成立；26nk(kN,k时，等式成立，即*②假设当k(kk123k22226那么当nk1时，k(kk(kk2)(2k123k(k(k左边；22222266(kk2)(2k右边；6于是证明，nk1时等式也成立．n(nn123nnN都成立．根据①和②可以断定，对任何2222*6第页（共44页）八、平面向量的坐标表示1、平面向量的正交分解及坐标表示：(x,y)，B(x,y)，则(xx,yy)（1）已知；11222121（2）yj(x,y)，其中i、j分别是平行于x轴、y轴的单位向量；(xx)(yy)（3）向量的模．2221212、定比分点的坐标公式：Pxy、P(x,y)、P(x,y)，则（1）若PP(，且(,)12111222xxx12PP，即1P．121yyy112PP的中点，则12（2）特别地，当1时，P为有向线段xxx12PP，即2P．122yy2y12平行四边形顶点关系式：如图所示，平行四边形，(x,y)，B(x,y)，C(x,y)，D(x,y)，则11223344xxxxACBD，即．1324yyyy1324(x,y)，B(x,y)，C(x,y)，重心G(x,y)，则（3）已知△，112233xxxxy123ABC3G，即；3yyy123311．33第10页（共44页）3、平面向量的的运算及关系：axiyjxy，bxiyj(x,y)，a与b的夹角为，则若(,)11112222abxxyy；a(x,y)．（1）平面向量的运算：(,)121211（2）向量的数量积及运算性质：，其中[0,]；特别地，aaaa；22ababxxyy数量积：12122对于R，有①aaa0，当且仅当aa0时，a0；②abba；③(a)ba(b)(ab)；④abc)abac．2ab0)2ab0（3）向量的数量积与向量的夹角的关系：．2ab0(,]abab0（4）共线向量的数量积与方向的关系：ab．abxy000或11另外，在向量a与b共线的前提下，xy．22xy00或11xy22ab（5）向量b在向量a的方向上的投影：bcos或．aababxxyy（6）非零向量的夹角公式：．1212x2yx2y221122（7）两个向量a与b垂直的充要条件：abxxyy0．1212已知a、b是两个非零向量，abab，则b．xyxy．（8）两个非零向量a与b共线的充要条件：ab(0)或1221注意：当0时，a与b方向相同；当0时，a与b方向相反．4、平面向量分解定理：e、e是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实如果1211．数、，使aee1222第页（共44页）5、三点共线的向量判定及性质：（1）A、B、C三点共线、和中任意两个向量共线．（2）A、B、C三点共线A、B、C三点满足，其中1．．mnm（3）如图所示，A、Q、B在一条直线上，且n，则mnmn11特别地，当Q是的中点时，则6、平行四边形的对角线公式：．．22平行四边形中，2222227、三角形法则及平行四边形法则：第12页（共44页）8、三角形分解向量定理：已知△中，有任一点O，则、、满足SS0S．SS证明：S0SS（、同理）S012121020sin(AOC)0(AOC)29、正弦定理、余弦定理及数量积的意义：若P是△所在平面上的一点，则三角形的外心，即外接圆的圆心，为三角形各边中垂线的交点．三角形的重心，即各边中线的交点．三角形的垂心，即各边高所在直线的交点．三角形的内心，即内切圆的圆心，为三角形的各角的角平分线的交点．（1）P为△的外心；（2）P为△的重心0；（3）P为△的垂心；（4）P为△的外心(PB)()0；P为△的外心(PB)()0；P为△的外心()()0；0；（5）P为△的内心P为△的内心0；第13页（共44页）P为△的内心0（6）O为△的内心0；证明：延长与相交于D，设t．∵01a)∴∴即1t)a．aa∵D、B、C三点共线∴1∴ataabc)aa1∴即bcbcac，也即bOB)cOD)bbcbccb根据三角形内角平分线的性质定理可知，是的平分线．同理可得是的平分线，是的平分线，则点O是△的内心．cbccac2；2（7）P为△的内心babbcbaa；baaccabcP为△的内心22；cbbabP为△的内心22caa其中，a、b、c表示△的角A、B、C所对应的边长．cbAbcA；（8）P为△的外心2cAbA22caBacBP为△的外心；2cB2aB22．baCabCP为△的外心bC2aC22第14页（共44页）1、矩阵的概念：xxxx行向量列向量nx1xnaaa1112n0102122I001aaaaaa1m2mn1n2nnnn2、矩阵的运算：bbcccBCA1112111213bbccc2122212223ABab(i,j11122122ababababababABABababababababacacacacacacacacacacacac211122212112222221132223AaBbabAB；(),()，则备注：①mn阶矩阵，mnn阶方阵；②若ijijijij第15页（共44页）AB同阶矩阵③若矩阵A、B的行数和列数分别相等，则；④ABBA；⑤矩阵A的列数矩阵B的行数，且结果的行数同矩阵A，列数同矩阵B．3、变换矩阵：yabxxy对于()，可看作向量()通过上式变换为向量，变换是函数概念的拓广．111111yabxxy222222常用的变换矩阵如下：x轴200201cos变换矩阵01101001cos014、线性方程组的矩阵解法：1111222233331d111常数项矩阵222d333x111Xy增广矩阵222z3331111矩阵变换222233330求解过程②把某一行同乘（除）以一个非零的数；③某一行乘以一个数加到另一行．第16页（共44页）（二）行列式1、行列式的展开式：行列式行列式的展开式1122对角线法则112233abcabcabcabcabcabc按一行（或一列）展开（例如，按第一行展开）bcab1122221322bcacab1113333332、余子式和代数余子式：aa2121定理1的任意一行（或一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和．bc111213bc121321bcbc212223定理2应元素的代数余子式的乘积的和等于零．abc3233313233第17页（共44页）3、行列式的性质：AA．（1）经转置的行列式的值不变，即Tabaa例如：．1112abbb2212（2）行列式中某一行（列）各元素如有公因数k，则k可以提到行列式符号外，特别地，若行列式中某行（列）元素全是零，则行列式的值为零．abcbcabc111111111bckabc222222222abcbcabc例如：．333333333（3）若行列式中某行（列）的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和．aabbccabcabc121212111222lmnlmnlmnxyzxyzxyz例如：．ABab，则AB每行元素都是两个数的和，根据性质3，行列式AB注意：由于()应拆成2个行列式之和，故一般情况，ABAB，在这里不要出错．n（4）对换行列式中某两行（列）的位置，行列式的值只改变正负号，特别地，如两行（列）元素abcabcacb111222111abcabcacb222111222abcabcacb例如：．333333333（5）把某行（列）的kabcabc111111abcabc222212121abcabc例如：．333333注意：在行列式计算中，往往先用这条性质作恒等变形，以期简化计算．第18页（共44页）4、三角形面积公式：△的三个顶点的坐标分别为(x,y)、B(x,y)、C(x,y)，则112233xy11211Sxy1．△ABC22xy1335、线性方程组的行列式解法：二元一次方程组111111122222223333111D222333xxyzy22D0xDxDxDyyzDzDDD0xyDD、不全为零xy第19页（共44页）十、算法初步见信息技术相关课程第20页（共44页）十一、直线的方程1、直线的方程：类型x轴y轴//两点式11212121211212121v00uvua(//00k00nmnmkbABCC一般式注意：BA（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示水平和垂直的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示斜率不存在的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围：)；（2）直线的斜率：2k0022,)(,)k00k；k)(,)在和．2k=22不存在，22k0yy,xx12xy，(x,y)，则该直线的斜率k（3）若直线过点(,)xx12，kR．112221xx12第21页（共44页）3、两条直线的位置关系：已知l:axbyc0，l:axbyc0，则11112222（1）系数法：①llaabb0；121212l的斜率为k，l的斜率为k，则llkk1；特别地，若11221212l与l相交abab；②③121221l与l重合a:b:ca:b:c；12111222a:ba:bl与l平行④．1122a:ca:cb:cb:c或1211221122（2）向量法：l的法向量为n(a,b)l的法向量为n(a,b)已知，，则11112222llnn0aabb0；①12121212l的斜率为k，l的斜率为k，则llkk1；特别地，若11221212l与l相交nnabab；与②③12121221l与l平行或重合nnabab．与12121221（3）行列式法：abcbacDDD已知，，，则11111a1abcbcxy222222l与l相交D0；②l与l重合DDD0；③l与l平行D0①．DD、1212xy12xy4、两条相交直线:0laxbyc和l:axbyc0的夹角：11112222l、l的方向向量分别为dd、，则l、l的法向量分别为n(a,b)n(a,b)（1）若、，且121122221212nndd2cos或cos，]12；121212abnnabdd121222121222l、l的斜率分别为k、k，且l到l的角为l到l的角为，则（2）若，1212121212kkkkkk2,)；，．1221121kk1kk1kk12121212第22页（共44页）5、点到直线的距离公式：Pxy到直线l:C0的距离为（1）点(,)00Cd；00AB22（2）直线l:C0与直线l:C0的距离为1122CCd．12AB226、直线l:C0同侧异侧：C0P(x,y)在直线l:CA的右侧；（1）0000C0P(x,y)在直线l:CA的左侧．0000M(x,y)、N(x,y)在直线l同侧(C)(C)0；（2）点11221122M(x,y)、N(x,y)在直线l异侧(C)(C)0．点112211227、点关于直线的对称问题：点00ynP(2mx,y)P(x,2ny)直线y轴P(x,y)P(x,y)P(y,x)P(y,x)对称点000000000000补充：Pxy关于直线yxb的对称的点为P(yb,xb)；①点(,)0000Pxy关于直线yxb的对称的点为Pby,bx)；②点(,)0000(ny)B(mx)00Pxy关于直线C0的对称点P(,n)满足③点(,)mxny．ABC0000022mx2C,D或者P(,n)，其中．000ny2AB220第23页（共44页）8、三线共点问题：l:axbyc0，直线l:axbyc0，直线l:axbyc0共点的充三条互不平行的直线111122223333abc111abc0．要条件是222abc3339、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：ykxbk（常数）的直线系：0（by2xb；①斜率为0②平行于直线AxBy0的直线系：AxByCC为参数)．0000（2）过已知点的直线系：yykxx，直线过定点(x,y)；①以斜率k作为参数的直线系：()0000yb，直线过定点b)．②以斜率k作为参数的直线系：00③过两条直线l:AxByC0，l:AxByC0的交点的直线系：11112222())AxByCAxByC．111222注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；l不在直线系内．2对于③，其中直线第24页（共44页）1、轴对称的两个曲线：对称轴曲线y轴F(x,y)0F(x,y)0F(y,x)0F(y,x)0F(2mx,y)0F(x,2ny)0补充：①曲线F(x,y)0关于yxb对称的曲线方程为f(yb,xb)0；②曲线F(x,y)0关于yxb对称的曲线方程为fby,bx)0．2、中心对称的两个曲线：F(x,y)0(,n)F(2mx,2ny)03备注k,h0(k(kh))平移向量4、翻折：翻折后将F(x,y)0在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖y轴左边原来的图像．将F(x,y)0在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边并覆盖x轴下边原来的图像．①将F(x,y)0在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，②将F(x,y)0在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖x轴下边原来的图像，变换为F(x,y)0．第25页（共44页）（二）圆的方程1、圆的方程：r2222(,xyF0222(xx)(xx)(yy)(yy)01212(xx)(yy)22(,1211212222(x,y)、B(x,y)11222、圆的方程的判别式：2240(,表示以点)为圆心坐标，以为圆的半径的圆．222(,400224不表示任何图形．DEF223、判断点M(x,y)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(xa)(yb)r200点点点220000M(x,y)在圆内(xa)(yb)r22200注意：圆的一般方程亦可使用上述结论．4、圆的切线的相关问题：(xa)(yb)r上点(x,y)与圆相切直线方程：(xa)(xa)(yb)(yb)r；222（1）过圆20000xy与圆相切直线方程：（2）过圆xyF0上点(,)2200xxyyxxyyDEF0．002200xyr相切的切线方程为yr1k；2222（3）斜率为k且与圆（4）斜率为k且与圆(xa)(yb)r相切的切线方程的求法：222①设切线为ym，则一般是为ym0；第26页（共44页）bmr．②利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求m，即1k2P(x,y)在圆外时，求过点P且与圆(xa)(yb)r相切的切线方程的求法：（5）当点①可设切线方程为或者利用0，求出k；22200yyk(xx)，利用圆心到直线之间的距离等于半径，即dr，求出k；00xx，此时应补上．②若求得k只有一值，则还应该有一条斜率不存在，即5、求过圆外给定点作圆的切线的两个切点所在直线：0(xa)(yb)r外一点(x,y)引该圆的两条切线，且两切点为A、B，则、B两点（1）在圆22200(xa)(xa)(yb)(yb)r．所在直线的方程：200xy引该圆的两条切线，且两切点为A、B，则、B两（2）在圆xyF0外一点(,)2200xxyyxxyyDEF0．点所在直线的方程：0022006、圆的弦长的求法：l2dr；（1）几何法：当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有222Axy，B(x,y)，则（2）代数法：设l的斜率为k，l与圆的交点分别为(,)AABB1弦长1kxx1yy．2k2ABABxx，yy的求法是将直线和圆的方程组联立消去y或x，利用韦达定理求解．其中7、圆系方程：经过两个定点A、B的圆有无数多个，那么表示这无数多个圆的方程称为圆系方程．xyF0的交点的圆系方程为ABAB（1）经过直线C0与圆22，其中R．xyF(C)022C:xyDxEyF0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程为（2）经过圆222211112222R1C．xyDxEyFxyDxEyF)022221112222(DD)x(EE)yFF0，表示两圆的公共弦所在直线方程．当1时，方程变为121212第27页（共44页）（三）椭圆1、椭圆的定义：平面内一动点P到两个定点F、F的距离的和等于常数2a，即a1212以F、F为焦点，长轴长为2a的椭圆121212122aFF不存在122、椭圆的图像和性质：yy2222图像关于x轴、y轴和原点对称性质1212长轴长为2a，短轴长为bFF2ccab22212b(FP2∠121b2过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆截得的线段的长度为a第28页（共44页）续上表yy220)ab22caa2a2a2a2100100e(ay)a．22cc200200ac（此时Pac（此时Pac（此时Pac（此时P12222221120120(∠F，P为椭圆上一动点)(∠F，P为椭圆上一动点)12121212（此时，P与上顶点或下顶点重合）()b2（此时，P与左顶点或右顶点重合）()b21212（此时，P与左顶点或右顶点重合）（此时，P与上顶点或下顶点重合）第29页（共44页）3、点差法：xy22a,bab)P(x,y)、Q(x,y)两点，则已知椭圆与直线l相交于ab221122xy212①1yybxx2ab22，将①②，可得．12122xxayyx2y222b②1212a224、椭圆的内外部：P(x,y)在椭圆x2yx20y220)1；（1）点b2ab的内部aa0022yxy20x222P(x,y)在椭圆ab的内部1．a2点（2）点点ab2002P(x,y)在椭圆x2yx20y220)1；b2ab的外部aa0022yx2y2x22P(x,y)在椭圆ab的外部1．a20ab20025、直线与椭圆位置关系的相关结论：xy2b2xxyy2P(x,y)处的切线方程是1；（1）椭圆ab0)上一点00aab20022yxyyxx22abP(x,y)处的切线方程是01．椭圆上一点0ab2ab22002xy2b2xxyy2P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是1；（2）过椭圆ab0)外一点00aab20022yxyyxx22abP(x,y)所引两条切线的切点弦方程是01．过椭圆外一点0ab2ab22002xy2b22AaBbC；ab0)与直线C0相切的条件是（3）椭圆22222a2yx22abBaAbC．22222椭圆与直线C0相切的条件是ab22xy2b22M(x,y)为的中点，则（4）是椭圆ab0)的不平行于对称轴的弦，a002bb2xa202kkk，即．a20第30页（共44页）xy2b22（5）已知直线y与椭圆ab0)相交于A、B两点，点P是椭圆上异于A、B的任a2b2k、k均存在，则kk一点，且．a2第31页（共44页）（四）双曲线1、双曲线的定义：平面内一动点到两个定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a，即a12121212条件不必少，因为仅满足12F、F为端点不包括线段FF的两条2a的轨迹只121212122aFF不存在122、双曲线的图像和性质：y2221212实轴长为2a，虚轴长为b2212b(FP2∠，为双曲线上一动点)121b2过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长度为a第32页（共44页）续上表：x2y2y20)ab0)ababab2222图像xy2222ab0)与双曲线22②它们的四个焦点在同一个圆上；共轭双曲线的性质11③两个离心率的倒数的平方和为1，可记为ee1．2212y22222yx，则以它为渐近线的双曲线系方程可以写成①若共渐近线为222222ab或有共同渐近线的渐222近线方程为．2c离心率：ae越大，双曲线越鼓；e越小，双曲线越扁)，e(ay)2x)0c1021020a2xca2yc（非上海）第33页（共44页）3、点差法：xy22a,b与直线l相交于P(x,y)、Q(x,y)两点，则已知双曲线ab221122xy212①1yybxxab222，将①②，可得y1212xxayyx2y222b②12122a224、双曲线的内外部：P(x,y)在双曲线x2y2ab0)的内部1；x2y2（1）点点ab0022yxy2x222P(x,y)在双曲线ab的内部1．ab2002P(x,y)在双曲线x2y2ab0)的外部1；2x2y2（2）点点ab002yxy2x222P(x,y)在双曲线ab的外部1．ab20025、双曲线的切线方程：xy2xxyy2P(x,y)处的切线方程是1；（1）双曲线ab0)上一点00abab200222yxyyxx22abP(x,y)处的切线方程是01．双曲线上一点0ab2ab22002xy2xxyy2P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是1；（2）过双曲线ab0)外一点00abab200222yxyyxx22ab过双曲线外一点P(x,y)所引两条切线的切点弦方程是01．0ab2ab22002xy22AaBbC；ab0)与直线C0相切的条件是（3）双曲线22222ab22yx22ab双曲线与直线C0相切的条件是BaAbC．22222ab22xy22M(x,y)为的中点，则（4）是双曲线ab0)的不平行于对称轴的弦，ab0022b2xa20b2xa200kk，即k．0第34页（共44页）xy22（5）已知直线y与ab0)相交于A、B两点，点P是双曲线上异于A、B的任ab22b2k、k均存在，则kk一点，且．a2第35页（共44页）（五）抛物线1、抛物线的定义：平面内一动点P到定点F的距离等于动点P到定直线l的距离定点F在定直线l外以定点F为焦点，以定直线l为准线的抛物线定点F在定直线l上过定点F且与定直线l垂直的直线2、抛物线的图像和性质：y22px(p0)x22py(p0)y轴ppppF(2222p2xpxpypyp焦半径222200003、抛物线的内外部：P(x,y)在抛物线2(y2；2（1）点yp的内部20000P(x,y)在抛物线2(0)y2；2点点yp的内部20000P(x,y)在抛物线2(0)x2；2xp的内部20000P(x,y)在抛物线2(0)x2．2点xp的内部20000P(x,y)在抛物线2(y2；2（2）点点yp的外部20000P(x,y)在抛物线2(0)y2；2yp的外部20000P(x,y)在抛物线2(0)x2；2点xp的外部20000第36页（共44页）P(x,y)在抛物线2(0)x2．2点xp的外部200004、抛物线的切线方程：P(x,y)的切线方程为yyp(xx)；抛物线y2px(p在点20000P(x,y)的切线方程为yyp(xx)；抛物线y2px(p0)在点20000P(x,y)的切线方程为xxp(yy)；抛物线x2py(p0)在点20000P(x,y)的切线方程为xxp(yy)．抛物线x2py(p0)在点200005、抛物线的焦点弦有关的问题：py2(p的焦点F(作直线交抛物线于P(x,y)Q(x,y)的已知过抛物线221122，则倾斜角为，且在该抛物线的准线上的射影是11（1）若直线垂直于对称轴（y02p；xxp；xx；yyp；pp32（2）；2244121212pp112（3），，；11p证明：方法一：由pcos，pcos，可得pp112，，于是．11p1111xxp2方法二：pp．12ppx1x2xxxx)2221212方法三：分别过P、Q，作x轴的垂线，交x轴于M、N，于是pp112．p2p（4）求证：．2pxy．2，得y2p0证明：由22y22yy2p．结合韦达定理，可得122pxxp(yy)222ppp2．221212第37页（共44页）备注：该结论可以用来解释通径为什么是最小的焦点弦．p2（5）求证：S．1p22pp2pp2证明：Syy1．4422p2为直径的圆必过一定点，且该定点为F(，即（6）以；21111pyyyy证明：方法一：由题可知，圆心为(2,)，半径为，212122pyy(yy)2于是，圆的标准方程为(x2)(y)22．2112240方法二：通过即可证明．11（7）以为直径的圆与准线相切；（8）若经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，证明直线平行于抛物线的对称轴．yyx1xpypp22y2y，可得M(,，则)，结合yyp，得证．证明：由12p12x211第38页（共44页）（六）圆锥曲线的相关知识1、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）△判别法：△0相交；△0相切；△0相离；△；（2）弦长公式：1kxx1k(xx)4xx1k2222a121212111△；1kyy11(yy)4yy12kk2a2221212（3）抛物线的点差法与椭圆、双曲线同理．2、圆锥曲线的几何观点：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conicsections)．通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形．具体而言：（1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线．（2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线．（3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆．（4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆．（5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点．（6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对（7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线．3、圆锥曲线的焦点—准线观点：给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线．根据e的范围不同，曲线也各不相同．具体如下：（1）e0，轨迹退化为点（即定点P（2）e1（即到P与到L（3）0e1，轨迹为椭圆；（4）e1，轨迹为双曲线．第39页（共44页）（七）参数方程和极坐标1参数方程xxt，为倾斜角0yyt000xarcos222ybrxy22yb2是离心角，yx22ya2是离心角，2222,且2是离心角，且yx22ya22y22（1）直线的参数：t表示有向线段PP的长度，其中P(x,y)，P(x,y)．0000（2）椭圆的离心角：xy22ab上任取一点QO分别作半径为ab的大小两个圆，ab22然后作x轴的平行线交小圆于点P，作y轴的平行线交大圆于点R，于是