【华师大版八年级下册进阶培优训练】第六讲 反比例函数的图象与性质培优辅导【含答案】

第六讲反比例函数的图象与性质培优辅导知识点一、反比例函数的概念：一般地，形如_______________(k是常数,_______)的函数叫做反比例函数。注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）___________，（B）___________（C）__________（3）求解析式的方法：___________反比例函数的概念例1、下列函数=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是_____．【变式题组】1已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是____；例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2，），求（1）的值；（2）判断点B是否在这个函数图象上，并说明理由。2、已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．【变式题组】1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（）A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D．反比例或正比例函数2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的______函数．知识要点二、反比例函数的图象和性质：反比例函数的符号图象性质①的取值范围是，

的取值范围是．

②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．①的取值范围是，

的取值范围是．

②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是()．(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥02、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则()．(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y23、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有()．(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（）xyxyOxyOxyOxyOABCD【变式题组】1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（）3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（）xyxyOxyOxyOxyOABCD知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点B(x,y)是双曲线上任意一点,则矩形OABC的面积是BC*BA=︳x︱︳y︱=︳xy︱=︳k︱S△OAB=OA*AB=︳x︱︳y︱=︳xy︱=︳k︱即：，或.OOxyxyOABCBA例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则()．A.S＝2 B．S＝4C．2＜S＜4 B．D.＞4【变式题组】1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（）A．B．C．D．S的值不确定2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是（）A.＝＞B.＜＜C.＞＞D.＝＝【典型例题】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点，⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）(4)求△AOB的面积.(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；CAOCAOByxy【变式题组】CAOByxy如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于BCAOByxy⑵求A、C两点的坐标；⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.培优升级·检测1、已知反比例函数的图象上有两点A，B，且，则的值是（）A．正数B．负数C．非正数D．不能确定2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（）.A．不大于；B．不小于C．不大于；D．不小于3、反比例函数的图像上有三点，，，，，。若则下列各式正确的是（）A．B．C．D．4、C一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（）C5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_____.OxyyDBPAC6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④OxyyDBPAC7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.⑴求两函数的解析式；ABOxyyDC⑵在y轴右侧，若y1＞ABOxyyDC8、如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．⑴求反比例函数和一次函数的解析式；⑵求不等式>0的解集（请直接写出答案）；⑶求证：AC＝BD；⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.(5)在y轴上是否存在点P，使△BOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由.第六讲反比例函数的图象与性质培优辅导答案知识点一、反比例函数的概念：一般地，形如___________(k是常数,_k≠0_)的函数叫做反比例函数。注意：（1）常数k称为比例系数，k是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y=（k≠0），（B）xy=k（k≠0）（C）y=kx-1（k≠0）（3）求解析式的方法：_待定系数法__________反比例函数的概念例1、下列函数=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨其中是y关于x的反比例函数的有：__②_③_=8\*GB3⑧__=9\*GB3⑨___________。例2、已知函数(k为常数)，若它是反比例函数，则k的值是__-1____，解析式为______；若它是正比例函数且函数图像y随x增大而减小，则k的值是________．【变式题组】1、已知函数，若它是反比例函数且函数图像在每一个象限内y随x增大而减小，则a的值是___2_____；例3求反比例函数的解析式及相关函数的表达式1、反比例函数的图象经过（—2，5）和（2，），求（1）的值；（2）判断点B是否在这个函数图象上，并说明理由。解：（1）k=-10，n=-5（2）点B不在这个函数图象上，因为2、已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，；当时，，求时，y的值．分析先求出y与x之间的关系式，再求时，y的值．解因为与x成正比例，与x成反比例，所以．所以．将，；，代入，得解得所以．所以当时，．【变式题组】1、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（B）A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D．反比例或正比例函数2、已知y是x的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是z的__反____函数．知识要点二、反比例函数的图象和性质：反比例函数的符号图象性质①的取值范围是，

的取值范围是．

②当时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，随的增大而减小．①的取值范围是，

的取值范围是．

②当时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，随的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．例4：1、若反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是(A)．(A)k＜0 (B)k＞0 (C)k≤0 (D)k≥02、若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)都在反比例函数的图象上，则(D)．(A)y1＜y2＜y3 (B)y2＜y1＜y3 (C)y3＜y2＜y1 (D)y1＜y3＜y23、已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有(A)．(A)y1＜0＜y2 (B)y2＜0＜y1 (C)y1＜y2＜0 (D)y2＜y1＜0例5：已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（A）CACAxyOAxyOxyOxyOABCD【变式题组】1、已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（A）3、若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（B）xyxyOxyOxyOxyOABCD知识要点三、反比例函数与三角形面积结合题型。反比例函数的几何意义：在反比例函数中，k的几何意义为：点B(x,y)是双曲线上任意一点,则矩形OABC的面积是BC*BA=︳x︱︳y︱=︳xy︱=︳k︱S△OAB=OA*AB=︳x︱︳y︱=︳xy︱=︳k︱即：，或.OOxyxyOABCBA例6：1、如上图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是______．2、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)．A.S＝2 B．S＝4C．2＜S＜4 B．D.＞4【变式题组】1、如图所示正比例函数）与反比例函数的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC．若的面积为S，则：（A）A．B．C．D．S的值不确定2、如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、B、C向x、y轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是、、，则、、的大小关系是（D）A.＝＞B.＜＜C.＞＞D.＝＝【典型例题】例1、如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点，⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；⑵并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）(4)求△AOB的面积.(5)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；CAOCAOByxy解：（1）∵点A（-2，1）在反比例函数y=的图象上，

∴m=（-2）×1=-2，∴反比例函数的表达式为y=-，∵点B（1，n）也在反比例函数y=-的图象上，

∴n=-2，即B（1，-2），

把点A（-2，1），点B（1，-2）代入一次函数y=kx+b中，

得解得，

∴一次函数的表达式为y=-x-1；

（2）x<-2或0<x<1（3）x>1或-2<x<0（4）∵在y=-x-1中，当y=0时，得x=-1，

∴直线y=-x-1与x轴的交点为C（-1，0），

∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=。（5）存在。共四个分别是【变式题组】CAOByxy如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于BCAOByxy⑵求A、C两点的坐标；⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.解：∵反比例函数的图象在二、四象限，

∴k＜0，∵S△ABO=|k|=1.5，

∴k=-3，

∴双曲线的解析式为：∴直线y=-x-（k+1）的解析式为：y=-x-（-3+1），即y=-x+2；（2）∵把一次函数与反比例函数的解析式组成方程组，∴A（-1，3），C（3，-1）；

（3）设P（0，a），解之a=4.5或-0.5∴点P（0，4.5），（0，-0.5）培优升级·检测1、已知反比例函数的图象上有两点A，B，且，则的值是（D）A．正数B．负数C．非正数D．不能确定2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（D）.A．不大于；B．不小于C．不大于；D．不小于3、反比例函数的图像上有三点，，，，，。若则下列各式正确的是（A）A．B．C．D．4、C一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图像大致是如图中的（A）C5、反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是_-3____.OxyyDBPAC6、两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是__①②④_OxyyDBPAC7、如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴