2023年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷1

第25页〔共25页〕2023年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕1．〔5分〕集合A={﹣1，0，1}，B=〔﹣∞，0〕，那么A∩B=．2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=2，其中i为虚数单位，那么z的虚部为．3．〔5分〕样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，那么样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．〔5分〕如图是一个算法流程图，那么输出的x的值是．5．〔5分〕在数字1、2、3、4中随机选两个数字，那么选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．〔5分〕实数x，y满足，那么的最小值是．7．〔5分〕设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，那么该双曲线的离心率为．8．〔5分〕设{an}是等差数列，假设a4+a5+a6=21，那么S9=．9．〔5分〕将函数的图象向右平移φ〔〕个单位后，所得函数为偶函数，那么φ=．10．〔5分〕将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，那么三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．〔5分〕在△ABC中，，，那么的最大值为．12．〔5分〕如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，那么△A10B10A11的边长是．13．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=2lnx的图象与圆M：〔x﹣3〕2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，假设二次函数y=f〔x〕的图象经过点O，P，M，那么y=f〔x〕的最大值为．14．〔5分〕在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设a2+b2+2c2=8，那么△ABC面积的最大值为．二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15．〔14分〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．〔1〕求证：B1C1∥平面A1DE；〔2〕求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．〔14分〕在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．〔1〕求角C；〔2〕假设，求sinA的值．17．〔14分〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=b2经过椭圆〔0＜b＜2〕的焦点．〔1〕求椭圆E的标准方程；〔2〕设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M〔﹣1，0〕，N〔1，0〕，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．〔16分〕如下图，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下局部是长方形ABCD，上局部是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．〔1〕假设设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？〔2〕在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？〔注：计算中π取3〕19．〔16分〕设函数f〔x〕=lnx，g〔x〕=ax+﹣3〔a∈R〕．〔1〕当a=2时，解关于x的方程g〔ex〕=0〔其中e为自然对数的底数〕；〔2〕求函数φ〔x〕=f〔x〕+g〔x〕的单调增区间；〔3〕当a=1时，记h〔x〕=f〔x〕•g〔x〕，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h〔x〕有解？假设存在，请求出λ的最小值；假设不存在，请说明理由．〔参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986〕．20．〔16分〕假设存在常数k〔k∈N*，k≥2〕、q、d，使得无穷数列{an}满足那么称数列{an}为“段比差数列〞，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列〞．〔1〕假设{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2023；②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，假设不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；〔2〕设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题局部〔本局部总分值0分，考试时间30分钟〕[选做题]〔在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每题0分，计20分〕[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．假设AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线为参数〕．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．假设实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]〔第25、26题，每题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内〕25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课〔上午不排该课程〕，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．〔1〕求这两个班“在星期一不同时上综合实践课〞的概率；〔2〕设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数〞为X，求X的概率分布表与数学期望E〔X〕．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．〔1〕求值：①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cnk﹣n〔n﹣1〕Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1〔k≥2〕；〔2〕化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+〔k+1〕2Cnk+…+〔n+1〕2Cnn．2023年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上〕1．〔5分〕〔2023•盐城一模〕集合A={﹣1，0，1}，B=〔﹣∞，0〕，那么A∩B={﹣1}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=〔﹣∞，0〕，∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键．2．〔5分〕〔2023•盐城一模〕设复数z满足〔1+i〕z=2，其中i为虚数单位，那么z的虚部为﹣1．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由〔1+i〕z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】此题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是根底题．3．〔5分〕〔2023•盐城一模〕样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，那么样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】此题考查样本数据方差的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．〔5分〕〔2023•盐城一模〕如图是一个算法流程图，那么输出的x的值是9．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】此题考查程序框图，考查学生的计算能力，比拟根底．5．〔5分〕〔2023•盐城一模〕在数字1、2、3、4中随机选两个数字，那么选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】根本领件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，根本领件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．〔5分〕〔2023•盐城一模〕实数x，y满足，那么的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A〔4，3〕，此时k=．故答案为：．【点评】此题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．〔5分〕〔2023•盐城一模〕设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，那么该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，那么c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，那么tan30°=即为a=，那么c==2，即有e=．故答案为．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于根底题．8．〔5分〕〔2023•盐城一模〕设{an}是等差数列，假设a4+a5+a6=21，那么S9=63．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{an}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】此题考查等差数列的前9项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．〔5分〕〔2023•盐城一模〕将函数的图象向右平移φ〔〕个单位后，所得函数为偶函数，那么φ=．【分析】假设所得函数为偶函数，那么﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f〔x〕=3sin〔2x+〕的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2〔x﹣φ〕+]=3sin〔2x+﹣2φ〕的图象，假设所得函数为偶函数，那么﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．〔5分〕〔2023•盐城一模〕将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，那么三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，〔S△EFG〕max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，〔S△EFG〕max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】此题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．〔5分〕〔2023•盐城一模〕在△ABC中，，，那么的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．〔5分〕〔2023•盐城一模〕如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，那么△A10B10A11的边长是512．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P〔﹣1，0〕，又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】此题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于根底题．13．〔5分〕〔2023•盐城一模〕在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y=2lnx的图象与圆M：〔x﹣3〕2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，假设二次函数y=f〔x〕的图象经过点O，P，M，那么y=f〔x〕的最大值为．【分析】设P〔x0，y0〕，求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x〔3﹣x〕，满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P〔x0，y0〕，函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=〔x﹣x0〕，即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：〔x﹣3〕2+y2=r2的上点P处的切线方程为〔x0﹣3〕〔x﹣3〕+yy0=r2，即有〔x0﹣3〕x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0〔3﹣x0〕=2y0，那么P为二次函数y=x〔3﹣x〕图象上的点，且该二次函数图象过O，M，那么当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】此题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．〔5分〕〔2023•盐城一模〕在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设a2+b2+2c2=8，那么△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数根本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用根本不等式，从而可求S2≤﹣〔c2﹣〕2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2〔1﹣cos2C〕=a2b2[1﹣〔〕2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣〔〕2]=a2b2[1﹣〔〕2]=a2b2﹣≤〔4﹣c2〕2﹣=﹣+c2=﹣〔c2﹣〕2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数根本关系式，余弦定理，根本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题〔本大题共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内〕15．〔14分〕〔2023•盐城一模〕如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．〔1〕求证：B1C1∥平面A1DE；〔2〕求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】〔1〕证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；〔2〕证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：〔1〕因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…〔2分〕又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…〔4分〕又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…〔6分〕〔2〕在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…〔8分〕又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…〔10分〕又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…〔12分〕又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…〔14分〕【点评】此题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．〔14分〕〔2023•盐城一模〕在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．〔1〕求角C；〔2〕假设，求sinA的值．【分析】〔1〕根据正弦定理化简等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈〔0，π〕，可求C的值．〔2〕由角的范围利用同角三角函数根本关系式可求cos〔B﹣〕的值，由于A=﹣〔B﹣〕，利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：〔1〕由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…〔2分〕因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…〔4分〕又C∈〔0，π〕，所以．…〔6分〕〔2〕因为，所以，所以，又，所以．…〔8分〕又，即，所以=sin[﹣〔B﹣〕]…〔12分〕=．…〔14分〕【点评】此题主要考查了正弦定理，同角三角函数根本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．〔14分〕〔2023•盐城一模〕在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=b2经过椭圆〔0＜b＜2〕的焦点．〔1〕求椭圆E的标准方程；〔2〕设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M〔﹣1，0〕，N〔1，0〕，记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【分析】〔1〕椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；〔2〕求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：〔1〕因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…〔3分〕所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…〔6分〕〔2〕设P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕，T〔x0，y0〕，联立，消去y，得〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…〔10分〕那么．…〔14分〕【点评】此题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．〔16分〕〔2023•盐城一模〕如下图，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下局部是长方形ABCD，上局部是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．〔1〕假设设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？〔2〕在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？〔注：计算中π取3〕【分析】〔1〕以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；〔2〕方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，那么影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如下图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．〔1〕因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H〔9，6〕，半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…〔2分〕那么由，解得b=24或〔舍〕．故太阳光线所在直线方程为，…〔5分〕令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…〔7分〕〔2〕设AD=h米，AB=2r米，那么半圆的圆心为H〔r，h〕，半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r〔舍〕…〔9分〕故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…〔11分〕所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…〔16分〕方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，那么影长EG恰为2.5米，那么此时点G为〔30，2.5〕，设过点G的上述太阳光线为l1，那么l1所在直线方程为y﹣=﹣〔x﹣30〕，即3x+4y﹣100=0…〔10分〕由直线l1与半圆H相切，得．而点H〔r，h〕在直线l1的下方，那么3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…〔13分〕又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…〔16分〕【点评】此题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．〔16分〕〔2023•盐城一模〕设函数f〔x〕=lnx，g〔x〕=ax+﹣3〔a∈R〕．〔1〕当a=2时，解关于x的方程g〔ex〕=0〔其中e为自然对数的底数〕；〔2〕求函数φ〔x〕=f〔x〕+g〔x〕的单调增区间；〔3〕当a=1时，记h〔x〕=f〔x〕•g〔x〕，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h〔x〕有解？假设存在，请求出λ的最小值；假设不存在，请说明理由．〔参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986〕．【分析】〔1〕当a=2时，求出g〔x〕=0的解，即可解关于x的方程g〔ex〕=0〔其中e为自然对数的底数〕；〔2〕φ〔x〕=f〔x〕+g〔x〕=lnx+ax+﹣3，φ′〔x〕=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ〔x〕=f〔x〕+g〔x〕的单调增区间；〔3〕判断h〔x〕不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：〔1〕当a=2时，g〔x〕=0，可得x=1，g〔ex〕=0，可得ex=或ex=1，∴x=﹣ln2或0；〔2〕φ〔x〕=f〔x〕+g〔x〕=lnx+ax+﹣3，φ′〔x〕=①a=0，φ′〔x〕=＞0，函数的单调递增区间是〔0，+∞〕；②a=1，φ′〔x〕=•x＞0，函数的单调递增区间是〔0，+∞〕；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是〔0，+∞〕；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是〔，+∞〕；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是〔0，〕；〔3〕a=1，h〔x〕=〔x﹣3〕lnx，h′〔x〕=lnx﹣+1，h″〔x〕=+＞0恒成立，∴h′〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，∴存在x0，h′〔x0〕=0，即lnx0=﹣1+，h〔x〕在〔0，x0〕上单调递减，〔x0，+∞〕上单调递增，∴h〔x〕min=h〔x0〕=﹣〔x0+〕+6，∵h′〔〕＜0，h′〔2〕＞0，∴x0∈〔，2〕，∴h〔x0〕∈〔﹣，﹣〕，∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h〔x〕有解．【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．〔16分〕〔2023•盐城一模〕假设存在常数k〔k∈N*，k≥2〕、q、d，使得无穷数列{an}满足那么称数列{an}为“段比差数列〞，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列〞．〔1〕假设{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2023；②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，假设不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；〔2〕设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】〔1〕①方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差可得b2023=0×b2023=0，再由b2023=b2023+3，b2023=b2023+3即可；方法二：根据{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=〔b3n+1+d〕﹣b3n﹣1=〔qb3n+d〕﹣b3n﹣1=[q〔b3n﹣1+d〕+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=〔b3n﹣1﹣d〕+b3n﹣1+〔b3n﹣1+d〕=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，〔2〕方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm〔q﹣1〕=d恒成立，①假设q=1，那么d=0，bn=b；②假设q≠1，那么，那么qkm为常数，那么q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①假设k=2，那么b1=b，b2=b+d，b3=〔b+d〕q，b4=〔b+d〕q+d，由，得b+d=bq；由，得〔b+d〕q2=〔b+d〕q+d，求得得d即可②假设k≥3，那么b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．【解答】〔1〕①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2023=0×b2023=0，∴b2023=b2023+3=3，∴b2023=b2023+3=6．…〔3分〕方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2023=b6=6．…〔3分〕②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=〔b3n+1+d〕﹣b3n﹣1=〔qb3n+d〕﹣b3n﹣1=[q〔b3n﹣1+d〕+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=〔b3n﹣1﹣d〕+b3n﹣1+〔b3n﹣1+d〕=3b3n﹣1，∴S3n=〔b1+b2+b3〕+〔b4+b5+b6〕+…+〔b3n﹣2+b3n﹣1+b3n〕=，…〔6分〕∵，∴，设，那么λ≥〔cn〕max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴〔cn〕max=c2=14，…〔9分〕∴λ≥14，得λ∈[14，+∞〕．…〔10分〕方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…〔6分〕以下同方法一．〔2〕方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，那么等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm〔q﹣1〕=d恒成立，…〔12分〕①假设q=1，那么d=0，bn=b；②假设q≠1，那么，那么qkm为常数，那么q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或．…〔16分〕方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①假设k=2，那么b1=b，b2=b+d，b3=〔b+d〕q，b4=〔b+d〕q+d，由，得b+d=bq；由，得〔b+d〕q2=〔b+d〕q+d，联立两式，得或，那么bn=b或，经检验均合题意．…〔13分〕②假设k≥3，那么b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得〔b+d〕2=b〔b+2d〕，得d=0，那么bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn}的通项公式为bn=b或．…〔16分〕【点评】此题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题局部〔本局部总分值0分，考试时间30分钟〕[选做题]〔在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每题0分，计20分〕[选修4-1：几何证明选讲]21．〔2023•盐城一模〕如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．假设AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB那么4×〔2+4〕=3×〔3+BC〕，解得BC=5，…〔4分〕又因为AB是半圆O的直径，故，…〔6分〕那么在三角形PDB中有．…〔10分〕【点评】此题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．〔2023•盐城一模〕设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…〔8分〕解得m=0，λ=﹣4．…〔10分〕【点评】此题考查实数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．〔2023•盐城一模〕在平面直角坐标系xOy中，直线为参数〕．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数〕化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数〕化为普通方程为4x﹣3y=0，…〔2分〕圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为〔x﹣1〕2+y2=1，…〔4分〕那么圆C的圆心到直线l的距离为，…〔6分〕所以．…〔10分〕【点评】此题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式