定积分法求面积探究毕业论文

定积分法求面积的探究教学系： 专业： 年级： 姓名： 学号： 导师及职称：定积分是数学中十分重要的工具，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想就是切割求和，在不同的坐标系下可采用特定的方法求解面积。本文介绍了几种运用定积分来求面积的方法，其中列举了特殊的例题以及重要的问题解决方法。如果实际问题中的所求量与某一区间有关且在该区间上具有可加性，我们就可以用函数的定积分来表示这个所求的量，因此我们就可以运用定积分来解决一些实际问题。同时利用定积分求不规则平面图形的面积，是定积分在几何中的重要应用之一。如何灵活地运用定积分的定义及有关公式，巧妙地将求不规则图形的面积问题等价转化为求定积分的数值问题就是一大关键，本文结合实例，介绍几种常用的转化方法与求解策略。从而充分的体现数形结合的数学思想方法。关键词：定积分；封闭图形；曲面域；对称性ResearchofsquareindefiniteintegralABSTRACTAdefiniteintegralisveryimportantmathematicaltools,forwhichthegraphicsareaisoneofitsapplication,itsthoughtistocutand,underdifferentcoordinatesystemscanusespecificmethodtofindthearea.Thispaperintroducesseveralmethodsofusingtheintegralareatoseekthe.Whichliststhespecificexamplesandanimportantmethodtosolvetheproblem.Ifpracticalproblemsforquantitywithacertainintervalandintheintervalisadditive,wecanusethedefiniteintegralofafunctiontorepresentthedesiredamount.Therefore,wecanusethedefiniteintegraltosolvesomepracticalproblems.Atthesametime,theuseofdefiniteintegralsfortheirregularplanegraphicsarea,isoneoftheimportantapplicationsofintegralingeometry.Howtoflexiblyusedefiniteintegralisdefinedandtherelatedformulaeandskillfullywillseekirregulargraphicareaequivalenttransformationtocalculatethenumericalintegralisoneofkey,thepaperwithexamples,introducesseveralcommonlyusedtransformationmethodandsolutionstrategy.Inordertofullyreflectthecombinationofthemathematicalthoughtandmethod.Keywords:definiteintegral;closedgraph;surfacearea;symmetry目录TOC\o"1-5"\h\z一、 引言 5\o"CurrentDocument"二、 相关概念 5\o"CurrentDocument"定积分的定义 5\o"CurrentDocument"1.2定积分的常用计算方法 51.2.1直接利用公式及性质计算 51.2.2利用定积分的区间可加性计算 2\o"CurrentDocument"三、 定积分在面积问题中的应用 2\o"CurrentDocument"3.1直角坐标系下求面积 2平面面积 2曲面面积 5\o"CurrentDocument"极坐标 6\o"CurrentDocument"3.3求旋转曲面的面积 7\o"CurrentDocument"四、 常见方法 10\o"CurrentDocument"巧选积分变量 10\o"CurrentDocument"4.2巧用对称性 11\o"CurrentDocument"4.3巧用分割计算 11\o"CurrentDocument"五、 结束语 12\o"CurrentDocument"参考文献 13\o"CurrentDocument"致谢 13、引言积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用，比如利用积分求平面图形的面积、变力做功等都是微积分中定积分的应用问题， 在数学分析中占据了重要地位。利用定积分求平面图形的面积是一个重要应用，与实际联系紧密，有很好的实用性。我们已经知道很多规则的平面图形的面积计算，如正方形、平行四边形、三角形、圆的面积等等。可以发现这些规则图形一般都是“直边图形”，但平时我们在实际中还会遇到求“曲边图形”的面积，那我们想到了定积分。定积分的定义是前人用“逼近”的方法总结归纳定义出来的，是受“以直代曲”的思想而启发的 ⑴。也就是把“曲边图形”采用“逼近、分割”方法进行近似代替而求得。利用定积分求含曲边的图形面积问题是在面对在平面几何中难以用常规方法加以解决的问题而采用的。定积分知识的引入，为此类问题的解决提供了强有力的工具，也充分体现了创新性及数形相结合的典型性。二、相关概念1.1定积分的定义一般地，如果有函数f(X)在区间［a,b］上连续，用分点a=X。：：捲：：：x?疳…：：：xi<"错误！未找到引用源。:::Xn=b将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间［x」Xi］上任取一点i(i=12n n3川In)，错误！未找到引用源。作和式f(J»八baf(i)，当n>：:时，上述i=1 i=1nb和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分。记作af(x)dxb错误！未找到引用源。，即ff(x)dx=lim错误！未找到引用源。nb_aAf(J。这里，a和b分别叫做积分上限和积分下限，区间［a,b］叫做积分区间，iin函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。1.2定积分的常用计算方法

1.2.1直接利用公式及性质计算TL例2.1求Jtan2xdx分析被积函数是不定积分中见过的类型按相应的三角恒等变换，先求出原函数再:tan:tan2xdx二"一2secx-1)dx=(tanx—x)4=101.2.2利用定积分的区间可加性计算-1_x：：0亠20兰x<2,求L(x)dx分析这是一个分段函数,分区间考虑其计算。在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性分析这是一个分段函数,分区间考虑其计算。在不同的区间对应的函数表达式不同，利用区间可加性-12 2 1e-02--21

解「f(x)dx=二(1+x)dx+(ex-12 2 1e-02注意针对不定积分中的两类换元积分法，运用到定积分的计算时要注意的是如何正确选择积分方法。第一类换元积分法直接可以应用到定积分的计算中，只要熟悉不定积分的凑微分，知道如何凑出中间变量的微分就可计算。1 例2.3求o1-x2dx分析被积函数是自变量的平方形式，需三角代换才能去根号。解令x=sint,1-x2二cost,dx二costdt当x=0时，t=0，当x=1时，t=—21—02X021—02X02cos2tdt1-二=?02(1边2艸蔦三、定积分在面积问题中的应用在求区域的面积当中，由于围成区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为多种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而定积分求面积的具体用法通过下列问题分下面四种情况进行探讨。3.1直角坐标系下求面积平面面积般地，由上下两条连续曲线y般地，由上下两条连续曲线y二f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=b(a:：:b)所围成的平面图形(图3—1)，它的面积计算公式为：A=&f2(X积计算公式为：A=&f2(X)-f1(x)dx(3-1)例3.1求两条曲线y区域(图3—2)的面积。分析由图可知选取对x2与x=y2围城的平面x积分，便于计算。解两条曲线的交点是(0,0)解两条曲线的交点是(0,0)与(1,1)，则此区域的面积:30&X_x2)dx=(|x2_£x3)3 3例3.2抛物线y域的面积:30&X_x2)dx=(|x2_£x3)3 3例3.2抛物线y2=2x把圆x2y2两部分，求(图3—4)中阴影部分的面积S.分析由*仃2；得交点坐标:[x2+y2=8选取y为积分变量。二8分成(-2,2)，2 y2解S=.,..8—y2一专2 8 4W严透-严3总之，由函数y二f(x),y=g(x),x二a,x=b围成的图形(其中f(x)一g(x),a—b总之，由函数y二b取x为积分变量，则面积为A二[f(x)_g(x)]dx；由函数XhF：(y),xjr(y)错误！未找a到引用源。,y=c,y=d围成的图形(其中「(y) (y),c乞d，选取y为积分变量，则面d积为A[(y)-'-(y)]dyc以上可简记为：“上减下，右减左，总之大减小,积分小到大”。

在平面图形的面积求解中，除了以上方法外，还可以运用二重积分，将面积问题转化为求二重积分值的问题。例3.3求由抛物线f,x)=x2与f2(x)=2-x2所围图形的面积。分析设所围图形如(图3—3)面积为S.解方程组」fl(x)=x2，解得两曲线的」2(x)=2-x2交点坐标为(-1,1)，(1,1).解图形面积为：1 f2(x) 1 2 2 1 2 231 8S=JJdxdy= ［()dy=J,2一x2—x2)dx=「(2—2x2)dx=(2x—_x3)」=一Dxy当曲线C是参数方程X二y=(t)^< -时，其中与:'(t)在［:/■］上连续。若函数x—：』(t)在［二订上严格增加，从而G'(t)_O.有a=e(〉)：：「：()=b，则函数x—：』(t)存在反函数t=!—(x),曲线C:y—：TQ」(x)］、x轴和两条直线x=a,x=b围成区域的面积TOC\o"1-5"\h\zb b 1 RA=(|y|dx=Ja|①［①(x)］dx=口④(t)|®H(t)dt (3-2)若函数x—：』(t)在［:•「］严格减少，从而G'(t)M,有a=■■■>(■■)■>C)=b,则函数x-G(t)存在反函数t=G‘(x),曲线C:y=「［G‘(x)］、x轴和两条直线x=a,x=b所. a a 彳 q围成的区域面积：A=L|ydx二［|①［①(x)］dx=命|®(t)半’(t)dtB=—［®(t)®\t)dt (3—3)如果由参数方程所表示的曲线是封闭的，既有①(□)=①(B),® (0),且p' pA=胪⑴①(t)dt(p' pA=胪⑴①(t)dt(或A=T(t)^(t)dt)(3—4)例3.4求由摆线x=a(t-sint),y-a(1-cost)(a0)的一拱与x轴所围成的平面图形(图3—5)的面积 . 2tt解摆线的一拱可取t二［0,2二］所求面积为：Aa（1-cost）［a（t-sint）］dt22C. 2=a0(1-cost)dt=例3.5求椭圆：x=acost,y=bsint（0兰t兰2兀）的面积。分析参数方程所表示的曲线是封闭的，既有「（：•）“：」「），：：（：•）=•:（J,且在:）内曲线自身不在相交。于是便可由公式（3—4）求解。2下 2p解椭圆的面积为：A=J。bsintgcostetYbysiftd—ab显然，当a=b=r时，这就等于圆面积22例3.6求由曲线（笃每）2=x2•y2所围成的平面图形的面积。ab解令丿'x=arcos日则Jc(x,y)acosQ-rasin日=abry=brsin日8(r,0)bsin日rbcos日在此变换下积分区域D变换为Di=fr,T）0兰。兰2兀，0兰r兰Ja2cos2日+b2sin2日＞a2cos2;b2sin2则区域D的面积SD二dxdy“abrd闵r二ab。V'° rdrD Dif气12、a2cos2日"ll^sin2g 1仃2.2=ab0［-r0 ］d^=?兀ab（a+b）曲面面积在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在平面区域上的二元函数情形，便得到二重积分，即区域面积的和。因此便可采用二重积分求解面积⑵。如果曲面S由方程z=f（x,y）确定，在xOy面上的投影区域为D则面积为：f-... cz2cz2A「.1（）2（一）2dxdy （3—5）d x:y如果曲面S由方程y二y（x,z）确定，在xOz面上的投影区域为D则面积为:

a「d:1(；x)2(；z)2dxdz如果曲面S由方程x=x(y,z)确定，在yOz面上的投影区域为D，则面积为:ATT+&)2+q)2dydz例3.7求锥面z x2—例3.7求锥面z x2—y2被柱面z2=2x截下的部分的面积。解联立方程组r^X+y2消去z，z2=2x得(x一1)2y2=1,曲面在xOy面上的投影区zzyx2 y2域D为(x-1)2y2_1，由z=x2由公式(3—2)得A=Jjjl+(—r+(—)2dxdyd\ ex 勿t1[Jy2)2 (.x2"y2)2dxdy=、、211dxdy=•、2二图3—6图3—6A=1r2^)d^2ct' /(33.2极坐标设曲线C由极坐标方程r二r(r),“［一訂给出，其中r=r(R在［：「］上连续，--「2二。由曲线C与两条射线-所围成的平面图形，通常也称为扇形(图3—6)。此扇形的面积的计算公式为nn12i=1 2这仍可由定积分分的基本思想而得。女叭图3—7)所示，对区间［〉，订作任意分割T%<弓：:：二2：：：…=-射线八3(i=1,2,n-1)把扇形分成n个小扇形。由于r(R是连续的，因此当||T很小时，在每一个冷=［弓4,千］上r(h)的值变化也很小。任取「爲便有rr)r(门厂冉，i=1,2,,n这时，第i个小扇形的面积为*丄『(“a于是2

由定积分的定义和连续函数的可积性， 当T-•0时，上式右边的极限即为公式(3—6)中的定积分。例3.8求双扭线r2=a2cos2d所围成的平面图形的面积A。图19=-TX*3—8 八-4解如图(3—8)所示，因为『一。所以刑取值范围是[石匸]与由图形1H及公式(3—6)，得到：A=4-4a2cos^^-a2例3.9求三叶玫瑰线r二acos3r(a0)围成区域(图3—9)的面积解三叶玫瑰线围成的三个叶是全等图形，只须计算第一象限那部分面积的 6倍。三叶玫瑰线r=acos3^在第一象限中，角二的变化范围是0到TT—于是三叶玫瑰线围成区域的面积为：66丑6a2cos23松231-a206cos23M@)令小；=3二则原式可化为:TL 2_Jl2cos2 }j(1cos2「)d图3—9二a2-0^=-图3—9二a2-0^=-错误！未找到引用源。4定积分的所有应用问题，一般总可以按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形势，但为了简便实用，也常采用“微元法”。x ,若令:•：』(X)f(t)dt,则当f为连续函数时，门(X)二f(x)或出」二f(x)dx,且ab①(a)=0，①(b)=[f(x)dx，现在恰好把问题倒过来：如果所求量①是分布在某区间a[a,x]上的，即址：处(x)，x・[a,b],而且当x二b时，叮」(b)适为最终所求的值。再任意小区间[x,^■x][a,b]上，若能把门的微小增量冷:■■近似表示为x的线性形式:

其中f为某一连续函数，而且当x>0时，5f(X)厶X= 亦即(3 —7)b那么只要把定积分af(x)dx计算出来，就是该问题所求的结果设平面光滑曲线C的方程为目二f(x),x・［a,b］(不妨设f(x)_0)这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面(图3—10)下面用y微元法导出它的面积公式。通过x轴上点x与xx分别作垂直于x轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。当Ax很小时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即图3—10S：二［f(x)f(xlx)］ /Ly2

」［2f(x)切图3—10其中cy=f(x =x)-f(x)由于lim.y=0，lim2(x)因此由应T0 2(x)因此由f'(x)的连续性可以保证二［2f(x)勺］.1 ("y)2：x-2二f(x)1xf2(x)：：x=:Cx)所以得到dS=2二f(x)\1f2(x)dxS=2兀［bf(x)訥+「2(x)dx (3 —8)如果光滑曲线C由参数方程X=x(t),y二y(t),r,■］给出，且y(t)一0，那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2兀fy(t)Jx'2(t)+y'2(t)dt (3—9)例3.10计算圆x2y2二R2在区间［X1,X2］ ［-R,R］上的弧段绕x轴旋转所得球的面积。解对曲线y“R2-x2在区间［X1,X2］上应用公式(3—8)，得到S="讥RFj =2rR(x_Xi)% \R-x注意当X1~-R,x2=R时，则地球的表面积S球二4~R2例3.12计算由内摆线x=acos31,y=asin3t(图3—11)绕x轴旋转所得到旋转曲面的面积。解由曲线关于y轴的对称性及公式(3—9)，得31 S=4二(sin3t.^3acostsint)2(3asin2tcost)2dt2空.4 12 2=12二a2sintcostdta0 5运用曲面的第一基本形式也可以计算曲面的面积，首先把曲面域用坐标曲线u二常数与v=常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形，取以点 (u,v)，(udu,v)，(udu,vdv)，(u,vdv)为定点的曲边四边形，近似地换成切平面上的一个平行四边形。这个平行四边形是以切于坐标曲线的向量rudu与rvdv为边，我们把曲边四边形的面积认为近似地等于以rudu，rvdv为边的平行四边形的面积。由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以它们交角的正弦， 即：上述平行四边形的的面积W为=RdZrvdv，=ru"vdudv因此，曲面区域D的面积◎可由二重积分来表示：口的面积=口如=jj|ruXrJdudvD S这里的区域s是曲面域D相对应得(u,v)平面上的区域。由于(rug)2二「J-伉^)2二EG-F2•0，其中E,F,G为曲面的第一类基本量所以二的面积二EG-F2dudv由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的例3.13[]求螺旋面x=ucosv，y=usinv，z=av(0_u_b,0_v_2二)的面积。分析由于正螺面是直纹面，它是直线沿着圆柱螺线连续变动形成的，这个过程中直线的方向是已知的且垂直于z轴方向。因此，正螺面也是旋转曲面。解分别关于u和v求导得：xuxu=cosv，yu=sinv，zu=0，xv=-usinv，yv=ucosv，zv=a即：E=1，F=0,G=u2a2A=EG-F2A=EG-F2dudv= .u2a2dudvs s2 2a2du—a2b2a2^ ab]注意利用二重积分法求旋转曲面的面积问题，关键在于寻找中间变量，进而转化为用定积分来求解。四、常见方法4.1巧选积分变量例4.1求抛物线y2=x与x-2y-3=0所围成的平面图形的面积A.分析该平面图形(图4—1)。先求出抛物线与直线的交点P(1,-1)与Q(9,3)用x=1把图形分成左、右两部分。P图4—19解应用公式(3—P图4—19为：1I— J—A1 [.x-.x)]dxA2所以A所以A=A1A2323注意在有些定积分求解问题中，选x为积分变量，需要将图形分割运算较繁琐这时把y作为积分变量，并求出两相交点的纵坐标，确定出被积函数的积分上下限，便可利用牛顿一莱布尼兹公式求解⑷。的面积，可以通过对x积分、对y积分两种方法求解例4.2求抛物线y2=2x与直线的面积，可以通过对x积分、对y积分两种方法求解(图4—2)。解法一选取横坐标x为积分变量解法二选取纵坐标y为积分变量:.2xdx；（一解法二选取纵坐标y为积分变量4=18-2S=f2(y+4)-肘询=(肘2+4y—]y4=18-2/226注意这两种解法，显然对y积分比对x积分计算简捷。因此在应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取非常重要。选取时对y积分，积分函数应是x=「（y）,不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不变。4.2巧用对称性例4.3门求由三条曲线y=x?,4y=x?,y=1所围成的面积。分析因为y=x2,4y=x2是偶函数，根据对称性，总面积为y轴右边图形的面积的两倍解由方程组丿*2y=x错误！未找到引用源。和*\24八X错误！未找到引用源。得交占/\、、坐标（-1,1），(1,1)，(-2,1)，(2,1).选择x为积分变量，则S12x22x24=2[((x-])dx+1(1—：)dx]=34.3巧用分割计