高考数学(理数)一轮复习学案2．5《指数函数》(含详解)

2．5指数函数1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的______________，其中n＞1，且n∈N*.①当n为奇数时，正数的n次方根是一个______________数，负数的n次方根是一个______________数，这时a的n次方根用符号__________________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有________________个，这两个数互为________________．这时，正数a的正的n次方根用符号__________________表示，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成__________________．③负数没有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是__________________，记作__________________．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做__________________，a叫做__________________．(3)根式的性质：n为奇数时，eq\r(n,an)＝__________________；n为偶数时，eq\r(n,an)＝__________________.2．幂的有关概念及运算(1)零指数幂：a0＝__________________.这里a__________________0.(2)负整数指数幂：a－n＝__________________(a≠0，n∈N*)．(3)正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝__________________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝__________________(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分数指数幂等于__________________，0的负分数指数幂__________________．(6)有理指数幂的运算性质eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aras＝（a＞0，r，s∈Q），,（ar）s＝（a＞0，r，s∈Q），,（ab）r＝（a＞0，b>0，r∈Q）.))3．指数函数的图象及性质定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数图象a＞10＜a＜1定义域__________值域__________性质过定点__________在R上是_______在R上是_________自查自纠：1．(1)n次方根①正负eq\r(n,a)②两相反数eq\r(n,a)－eq\r(n,a)±eq\r(n,a)④0eq\r(n,0)＝0(2)根指数被开方数(3)a|a|2．(1)1≠(2)eq\f(1,an)(3)eq\r(n,am)(4)eq\f(1,\r(n,am))(5)0没有意义(6)ar＋sarsarbr3．R(0，＋∞)(0，1)增函数减函数(eq\a\vs4\al(2018·河南安阳月考))化简eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4\r(3,\f(b,a)))(a>0，b>0)的结果是()A.eq\f(b,a)B．abC．a2bD.eq\f(a,b)解：原式＝eq\f(\r(a3b2a\s\up6(\f(1,3))b\s\up6(\f(2,3))),ab2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up6(\f(1,3)))＝eq\f(（a\s\up6(\f(10,3))b\s\up6(\f(8,3))）\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(7,3)))＝eq\f(a\s\up6(\f(5,3))b\s\up6(\f(4,3)),a\s\up6(\f(2,3))b\s\up6(\f(7,3)))＝ab－1＝eq\f(a,b).故选D.(eq\a\vs4\al(2017·青岛调研))已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为()A．(0，1)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)解：由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2，3)．故选B.(eq\a\vs4\al(2017·合肥模拟))若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0B．x＋y≤0C．x－y≤0D．x－y≥0解：设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．解：因为x≥0，所以－x≤0，所以3－x≤3，所以0<23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8，所以函数y＝8－23－x的值域为[0，8)．故填[0，8)．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．解：当a<0时，不等式f(a)<1可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)，所以a>－3.又a<0，所以－3<a<0.当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq\r(a)<1，所以0≤a<1.综上，a的取值范围为(－3，1)．故填(－3，1)．类型一指数幂的运算(1)(eq\r(2)－eq\r(3))0＝________.解：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up12(－\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,27)))eq\s\up6(\f(2,3))＋500eq\s\up6(\f(1,2))－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).故填－eq\f(167,9).(2)化简：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(（\r(4ab－1)）3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))\s\up12(－1)·（a3·b－3）\s\up6(\f(1,2)))＝________.解：原式＝2×SKIPIF1<0＝21＋3×10－1＝eq\f(8,5).故填eq\f(8,5).(3)已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，求下列各式的值．(Ⅰ)a＋a－1；(Ⅱ)a2＋a－2；(Ⅲ)eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1).解：(Ⅰ)将aeq\s\up6(\f(1,2))＋aeq\s\up12(－\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.(Ⅱ)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可得eq\f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq\f(47＋1,7＋1)＝6.点拨：指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))eq\s\up12(0)＋8eq\s\up6(\f(1,4))×eq\r(4,2)－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up6(\f(2,3)))＝________.解：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))×1＋2eq\s\up6(\f(3,4))×2eq\s\up6(\f(1,4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up6(\f(1,3))＝2.故填2.(2)化简：4aeq\s\up6(\f(2,3))beq\s\up12(－\f(1,3))÷SKIPIF1<0＝________.解：原式＝(－6)SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝－6a.故填－6a.(3)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，则eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝________.解：因为eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）2,（x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2))）（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）)＝eq\f(x＋y－2（xy）\s\up6(\f(1,2)),x－y)，又x＋y＝12，xy＝9，且x<y，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108，则x－y＝－6eq\r(3)，所以eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(12－2×3,－6\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).故填－eq\f(\r(3),3).类型二指数函数的图象及应用(1)函数y＝ax－a－1(a>0且a≠1)的图象可能是()ABCD解：函数y＝ax－eq\f(1,a)是由函数y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<eq\f(1,a)<1，平移距离小于1，所以B项错误；当0<a<1时，eq\f(1,a)>1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，令y＝|2x－2|，y＝b，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b<2，即b∈(0，2)．故填(0，2)．点拨：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()ABCD解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B、C、D，只有A满足．故选A.(2)(eq\a\vs4\al(2018·广州一模))设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x≤2，,－x＋5，x>2，))若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A．(16，32)B．(18，34)C．(17，35)D．(6，7)解：画出函数f(x)的图象如图所示．不妨令a<b<c，由图象可知，a<b<2，则由f(a)＝f(b)得1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.结合图象可得4<c<5，故16<2c<32，所以18<2a＋2b＋2c<34.故选B.类型三指数函数的综合问题(1)(eq\a\vs4\al(2018·莆田二十四中模拟))已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，a＝(cosα)cosα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则()A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b解：因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以0<cosα<eq\f(\r(2),2)，cosα<sinα，根据幂函数的性质，可得(sinα)cosα>(cosα)cosα，根据指数函数的性质，可得(cosα)cosα>(cosα)sinα，所以b>a>c.故选D.(2)函数y＝SKIPIF1<0的单调递增区间是________．解：令t＝－x2＋x＋2≥0，得函数的定义域为[－1，2]，所以t＝－x2＋x＋2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，根据“同增异减”的原则，函数y＝SKIPIF1<0的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).故填eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).(3)(eq\a\vs4\al(2018·珠海模拟))若xlog52≥－1，则函数y＝4x－2x＋1－3的最小值为()A．－4B．－3C．－1D．0解：由xlog52≥－1得log52x≥log5eq\f(1,5)，即2x≥eq\f(1,5)，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因为t≥eq\f(1,5)，所以当t＝1，即x＝0时，函数取得最小值为－4.故选A.点拨：解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等；对于底数a与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．(1)(eq\a\vs4\al(2017·河南平顶山一模))已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1－x2)>0，记a＝eq\f(f（30.2）,30.2)，b＝eq\f(f（0.32）,0.32)，c＝eq\f(f（log25）,log25)，则()A．a<b<cB．b<a<cC．c<a<bD．c<b<a解：由题意得，x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与eq\f(x2f（x1）－x1f（x2）,x1x2)(即eq\f(f（x1）,x1)－eq\f(f（x2）,x2))同号，所以函数eq\f(f（x）,x)是(0，＋∞)上的增函数，因为1<30.2<2，0<0.32<1，log25>2，所以0.32<30.2<log25，所以b<a<c.故选B.(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．解：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上单调递增，在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．(3)(eq\a\vs4\al(2018·浙江丽水月考))当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解：原不等式变形为m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(－∞，－1]上是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.故填(－1，2)．1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．3．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))，(0，1)，(1，a)．1．(eq\a\vs4\al(2016·昆明模拟))设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()A．18B．21C．24D．27解：因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.故选D.2．(eq\a\vs4\al(2016·海南中学模拟))已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)解：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1，6)．故选A.3．(eq\a\vs4\al(2017·德州一模))已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<c<a解：因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(x)在R上为减函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以b<c.又因为y＝xeq\s\up6(\f(2,5))在(0，＋∞)上为增函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以a>c，所以b<c<a.故选D.4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤4))的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．[－3，0)C．[－3，－1]D．{－3}解：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(a)，－1))，所以eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，－1))是[－8，1]的子集，即－8≤－eq\f(1,2a)<－1，即－3≤a<0，所以实数a的取值范围是[－3，0)．故选B.5．(eq\a\vs4\al(2017·宜宾诊断检测))已知函数f(x)＝x－4＋eq\f(9,x＋1)，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为()ABCD解：因为x∈(0，4)，所以x＋1>1，所以f(x)＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－5≥6－5＝1，当且仅当x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2时，取等号．所以a＝2，b＝1.因此g(x)＝2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知A正确．故选A.6．(eq\a\vs4\al(2017·江淮十校三联))函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()A．f(bx)≤f(cx)B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx)D．与x有关，不确定解：由f(x＋1)＝f(1－x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b＝2，由f(0)＝3知，c＝3.所以f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．当x>0时，3x>2x>1，结合函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，知f(3x)>f(2x)，即f(bx)<f(cx)；当x＝0时，3x＝2x＝1，所以f(3x)＝f(2x)，即f(bx)＝f(cx)；当x<0时，3x<2x<1，结合函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，知f(3x)>f(2x)，即f(bx)<f(cx)．综上，f(bx)≤f(cx)．故选A.7．(eq\a\vs4\al(2017·北京丰台一模))已知奇函数y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x），x＞0，,g（x），x＜0.))如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.解：依题意，f(1)＝eq\f(1,2)，所以a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，x>0.当x<0时，－x>0.所以g(x)＝－f(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x)＝－2x.故填－2x(x<0)．8．(eq\a\vs4\al(2018·长春模拟))若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．解：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象如图．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.故填(－1，＋∞)．9．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．①当0＜a＜1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此时f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上为增函数．所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14.解得a＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,5)舍去)).②当a＞1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此时f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上为增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝eq\f(1,3)或3.10．已知f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a>0，且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．对于定