高考数学压轴题讲义（选填题）：探索分段函数的图象与性质

第第页探索分段函数的图象与性质一、方法综述分段函数：对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集．求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围．对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．二、解题策略类型一：分段函数的图象例1．【2019河北保定上学期期末考】定义运算，则函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从定义运算a⊕b上看，对于任意的a，b，a⊕b实质上是求a与b中最大的，∴1⊕log2x就是取1与log2x中较大的一个，∴对于对数函数y＝log2x，当x≥2，log2x≥1，∴当0＜x＜2时，f（x）＝1．，故选C．【名师点睛】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．【举一反三】【2019湖北1月联考】已知函数，，则函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A类型二：分段函数的周期性例2．【2019广东六校一联】在上函数满足，且，其中，若，则a=()A．0．5B．1．5C．2．5D．3．5【答案】C【解析】在上函数满足，可得到函数的周期为2，故，故f(-1)=a-1，f(0．5)=1．5，所以a-1=1．5，解得a=2．5．故答案为：C．【名师点睛】判断周期函数的一般方法：（1）定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．（2）公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝eq\f(T,|a|)．【举一反三】【2019安徽肥东8月调研】已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C类型三：分段函数的奇偶性例3．【2019山东济南模拟】若函数为奇函数，则()A．B．C．D．0【答案】B【解析】函数为奇函数，f（g（﹣3））＝f[﹣（log33﹣2）]＝f（1）＝log31﹣2＝0﹣2＝﹣2，故选B．【名师点睛】判断函数奇偶性的方法通常有：【举一反三】已知函数是奇函数，则．【答案】-15【解析】类型四：分段函数的单调性例4．【2019河北廊坊联合体三联】若函数在上是单调函数，且存在负的零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，转化思想以及计算能力．其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解决问题的能力，属于偏难题．【举一反三】【2019甘肃兰州一中模拟】已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（）A．(0，3)B．(0，3]C．(0，2)D．(0，2]【答案】D【解析】因为函数为上的减函数，所以当时，递减，即，当时，递减，即，且，解得，综上可知实数的取值范围是，故选D．三、强化训练1．【2019陕西四校联考】已知函数，且，则实数a的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意知，，又，则，又，解得．故选B．2．【2019好湖北四地七校10月联考】已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C3．【2019山东师大附中二模】函数的值域为，则实数的范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的值域为，所以，解得，故选C．4．【2019河南开封一模】已知函数若，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴或，即或，即，∴的取值范围是，故选B．5．【2019河北衡水中学一摸】对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”．已知，则曲线的“优美点”个数为A．1B．2C．4D．6【答案】B6．【2019广东佛山二模】若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，作出函数的图象，而表示过原点且斜率为的直线，由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；过原点作的切线，设切点为，因为，所以切线方程为，将代入，得，此时切线的斜率为，也即当时，与相切，由图可知，当时，与有两个不同的交点，满足题意；综上可知，实数的取值范围是，故选D．7．【2019齐鲁名校一联】已知函数，若且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D则函数在区间上单调递增，，即，的取值范围是（以为变量时，注意的取值范围为），故选D．8．【2019安徽皖中名校10月联考】已知函数，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】B绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3，故选B．9．【2019山东青岛零模】已知函数，的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】若f（m）＞1，则，即，解得，m＞2或m＜0，故选D．10．【2019四川绵阳一模】若函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B11．【2019山东潍坊期末考】已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，满足条件，解不等式，解得解得，所以解集为，故选D．12．【2019河北张家口期末考】函数，则的解集为（）A．B．C．D．【答案】A13．【2019安徽黄山一模】已知，则______________．【答案】【解析】由题意知，，则．学科*网14．【2019四川广元一模】在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，，若的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则___．【答案】1或2【解析】∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2；当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）f（2x）[1﹣（2x﹣3）2]，此时当x时，函数取极大值；当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣（x﹣3）2，此时当x＝3时，函数取极大值1；当4＜x≤8时，2x≤4，则f（x）＝cf（x）＝c[1﹣（x﹣3）2]，此时当x＝6时，函数取极大值c．∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴，解得c＝1或2．故答案为：1或2．15．【2019云南曲靖模拟】已知定义在R上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为______．【答案】【解析】∵，∴函数的周期为2．