2021年河北省唐山市丰润县丰润镇中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021年河北省唐山市丰润县丰润镇中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3参考答案：A略2.若函数，则（

）

A.0

B．1 C．2

D.参考答案：C3.已知是R上的单调增函数，则的取值范围是（

）A.

B.C.D.参考答案：D略4.独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到，表示的意义是（

）A.有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系B.有1%的把握认为变量X与变量Y有关系C.有0.1%的把握认为变量X与变量Y没有关系D.有99%的把握认为变量X与变量Y有关系参考答案：D【分析】根据的意义可得正确的选项.【详解】由题意知变量与没有关系的概率为0.01，即有99%的把握认为变量与有关系，故选D.【点睛】本题考查独立性检验中的意义，属于容易题.5.某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）A．9 B．18 C．27 D．36参考答案：B【考点】分层抽样方法．【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是=，用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．6.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值参考答案：D：则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减7.已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2 B．＞ C．ab2＞a2b D．＜参考答案：D考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：A．取a=1，b=﹣2，即可判断出；B．取a=1，b=﹣2，即可判断出；C．取a=2，b=1，即可判断出；D．由于a，b为非零实数，a＞b，可得，化简即可得出．解答：解：A．取a=1，b=﹣2，不成立；B．取a=1，b=﹣2，不成立；C．取a=2，b=1，不成立；D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为，故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．8.从1,2,3,4,5中任意取2个不同的数，事件A=“取到的两个数之和为偶数”，事件B=“取到的两个数均为偶数”，则=

A

B

C

D

参考答案：B略9. 抛掷一个骰子，落地时向上的点数是的倍数的概率是A、

B、

C、

D、参考答案：B略10.函数上递增，则的范围是（

）

参考答案：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAC、△PBC、△PAB、△ABC中共有

个直角三角形。

参考答案：4个略12.若实数满足，不等式组所表示的平面区域面积为

；若在点处取到最大值，则实数的取值范围

参考答案：13.已知函数，(其中)．对于不相等的实数，设m＝，n＝．现有如下命题：①对于任意不相等的实数，都有；②对于任意的a及任意不相等的实数，都有；③对于任意的a，存在不相等的实数，使得；④对于任意的a，存在不相等的实数，使得．其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．参考答案：①④

因为在上是单调递增的，所以对于不相等的实数，恒成立，①正确；因为，所以=，正负不定，②错误；由，整理得．令函数，则，令，则，又，，从而存在，使得，于是有极小值，所以存在，使得，此时在上单调递增，故不存在不相等的实数，使得，不满足题意，③错误；由得，即，设，则，所以在上单调递增的，且当时，，当时，，所以对于任意的，与的图象一定有交点，④正确．14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是__________．参考答案：略15.设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是_________参考答案：【分析】由得到，设，，从而由题意可得存在唯一的整数，使得在直线的下方．利用导数得到函数的单调性，然后根据两函数的图象的相对位置关系得到关于实数的不等式组，进而得到所求范围．【详解】由，得,其中，设，，∵存在唯一的整数，使得，∴存在唯一的整数，使得在直线的下方．∵，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，，又当时，，直线过定点，斜率为，所以要满足题意，则需，解得，∴实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质和函数图象的应用，具有综合性和难度，考查理解能力和运算能力，解题的关键是正确理解题意，将问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，进而借助数形结合的方法得到关于参数的不等式（组），进而得到所求．16.计算dx的结果是

．参考答案：π【考点】定积分．【分析】根据定积分的几何意义，∫02dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．【解答】解：∫02dx表示的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，∴∫02dx==π故答案为：π17.已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为________.参考答案：2或0；

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数＝，曲线y＝在x＝1处的切线与直线x－2y＝0平行.（1）求a的值；（2）若≤b－恒成立，求实数b的最小值.参考答案：解：（1）∵＝＝，由＝＝，解得a＝1.（2）∵a＝1，∴＝，∴由题得：b≥（x>0）恒成立，设＝，则＝，再设＝，则＝<0，∴在(0，＋∞)上递减，又＝0，∴当x∈(0，1)时，>0，即>0，∴在(0，1)上为增函数；当x∈(1，＋∞)时，<0，即<0，∴在(1，＋∞)上为减函数；∴＝＝1，∴只需b≥＝1，即b≥1，∴b的最小值＝1.

略19.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线交于两点，求的长.参考答案：(1)

（2）220.（本小题满分10分）已知等差数列，（Ⅰ）求的通项公式;（Ⅱ）令求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）设数列的公差为，依题意得方程组，解得所以的通项公式为.（Ⅱ）由得，所以是首项，公比为的等比数列.于是得的前项和.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．（1）求证：；（2）设PD=AD=a,求三棱锥B-EFC的体积.

参考答案：（1）、证明：四边形为正方形，．，．，，．，．

………6分（2）解：连接AC,DB相交于O,连接OF,则OF⊥面ABCD,∴………12分略22.已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）减函数极小值增函数∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=