2021年江西省吉安市扬芬中学高三数学理模拟试题含解析

2021年江西省吉安市扬芬中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.根据右边流程图输出的值是（

）A．11 B．31 C．51 D．79参考答案：D当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，输出．故选D．3.“2x＞1”是“x＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断．【解答】解：由2x＞1=20，得到x＞0，由x＞0推不出x＞1，但由x＞1一定能推出x＞0，故2x＞1”是“x＞1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们可以根据充要条件的定义来判断法一：若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件进行判定．法二：分别求出满足条件p，q的元素的集合P，Q，再判断P，Q的包含关系，最后根据谁小谁充分，谁大谁必要的原则，确定答案．4.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面．给出下列的四个命题：

①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若m、n是异面直线，，，，，则，其中真命题是

（Ａ）①和②

（Ｂ）①和③

（Ｃ）③和④

（Ｄ）①和④

参考答案：答案：D5.在中，，且，则=(

)

A．

B．

C．3

D．-3参考答案：B略6.设函数的图象过点（，–3），则a的值A．2

B．–2

C．–

D．参考答案：A略7.若变量满足约束条件，则的最大值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C8.（5分）已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（

）

A．1B．3C．4D．5参考答案：C【考点】：平面向量数量积的运算．平面向量及应用．【分析】：由已知条件对|+|=两边平方，进行数量积的运算即可得到，解该方程即可得出．解：根据条件，=；∴解得，或﹣1（舍去）．故选：C．【点评】：考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程，知道．9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，a2=b2+1，则acosB=（）A． B． C． D．5参考答案：B【考点】余弦定理．【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosB，即可求出运算结果．【解答】解：△ABC中，c=2，a2=b2+1，则acosB=a?===．故选：B．10.的展开式中含的项的系数为（

）A．－1560

B．－600

C.600

D．1560参考答案：A的项可以由或的乘积得到，所以含的项的系数为，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是=（a﹣1+b）=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=ax+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3=a+b．∴=（a﹣1+b）=≥=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案为：12.的展开式中一次项的系数为,则的值为

参考答案：-113.已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，侧面的面积为，则它的外接球体积为

参考答案：

14.已知数列的前n项和为，满足，，则数列的通项公式________．参考答案：由，解得，当时，，解得，两边同时乘以得，由，所以，则，所以数列是一个等比数列，所以，，，……，，将上述式子相加，可得，而，所以．15.下面有5个命题：①函数的最小正周期是．②终边在轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．④把函数的图象向右平移得到的图象．⑤函数在上是减函数．其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）参考答案：答案：①④解析：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．16.如图，一个类似杨辉三角的递推式，则（1）第n行的首尾两数均为

，（2）第n行的第2个数为

。参考答案：

17.若n＞0（0＜a＜1），则关于x的不等式≥0的解集为．参考答案：（﹣∞，m]∪（n，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得m＞1，n＞1，由1＜a+1＜，即有m＜n．再由分式不等式转化为二次不等式，由二次不等式的解法即可解得．解答：解：若n＞0（0＜a＜1），则m＞1，n＞1，又a+1﹣==＜0，即有1＜a+1＜，即有m＜n．不等式≥0即为（x﹣m）（x﹣n）≥0，且x﹣n≠0，解得x＞n或x≤m．则解集为（﹣∞，m]∪（n，+∞）．故答案为：（﹣∞，m]∪（n，+∞）．点评：本题主要考查分式不等式的解法，同时考查对数函数的性质，属于基础题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．（Ⅰ）对如下数表，求的值；

（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．

参考答案：（Ⅰ）解：，；，，

所以．

………………3分（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．将数表中的由变为，得到数表，显然．依此类推，将数表中的由变为，得到数表．即数表满足：，其余．所以，．所以，其中．……………7分【注：数表不唯一】（Ⅲ）证明：用反证法．

假设存在，其中为奇数，使得．

因为，

，

所以，，，，，，，这个数中有个，个．

令．

一方面，由于这个数中有个，个，从而．

①

另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，

从而．

②①、②相互矛盾，从而不存在，使得．

即为奇数时，必有．

………………13分19.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为，C2的方程为，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求C1与C2的极坐标方程；（2）若C1与C3的一个公共点A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求的取值范围.参考答案：（1）的极坐标方程为，的极坐标力程为（2）【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可；（2）设的极坐标方程为，，分别与和的极坐标方程联立，可得和，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，的方程为，其极坐标力程为.（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，联立与的极坐标方程，得，即，联立与的极坐标方程，得，即，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.20.（13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为和．（1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由甲3次均击中目标的概率为，利用相互对立事件的概率计算公式即可得出甲至多击中目标目标2次的概率．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望即可得出．【解答】解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为，∴甲至多击中目标目标2次的概率为．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．X～B．∴，，，．∴随机变量X的分布列为X0123P∴随机变量X的数学期望，或E（X）==2．【点评】本题考查了相互对立事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知fn（x）=xn+xn﹣1+…+x﹣1，x∈（0，+∞）．n是不小于2的固定正整数．（1）解不等式f2（x）≤2x；（2）试分别证明：函数f3（x）在（0，1）内有一个零点，且在（0，1）内仅有一个零点．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据函数的表达式求出当n=2时，f2（x）的表达式，即可解不等式f2（x）≤2x；（2）根据函数零点的判定条件进行证明即可．【解答】解：（1）n=2时，，﹣﹣由f2（x）≤2x得x2+x﹣1≤2x，即x2﹣x﹣1≤0．﹣得≤x≤，﹣﹣故不等式的解集为[，]．﹣证明：（2）．﹣，f3（1）=2＞0．﹣（因f连续）故f（x）在上有零点．﹣又f在上增，故零点不会超过一个．﹣22.已知函数（e为自然对数的底数）．（1）记，求函数在区间[1,3]上的最大值与最小值；（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）求出，利用导数性质能求出函数在区间上的最大值与最小值（2）分离参量，结合题意中的恒成立，构造新函数，运用导数求出函数的最小