2022年江苏省溧水名校高三第二次模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答题时请按要求用笔。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．x22

(x2)5的展开式中含x4的项的系数为（ ）A．B．60 C．70 D．80下列说法正确的是（ ）A．“a1，则a21”的否命题是a1a21”B．“am2bm2ab的逆命题为真命题C．x(0,)，使3x 4x成立0 0 0D．“若sin1，则

”是真命题已知数列

2

62，

1

1n2)a

等于（ ）n 1 nA．1 B．12 2

an1

2018C．1 D．2某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A．2 2且2 3SB．2 2且2 3SC．2 2且2 3SD．2 2且2 3Si是虚数单位，复数z1i在复平面上对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限双曲线Cx21 a2

y2b2

1（a0，b0）的一个焦点为F(c,0)（c0，且双曲线C1

的两条渐近线与圆C ：2(xc)2y2

c2均相切，则双曲线C4

的渐近线方程为（ ） A．x 3y0 B．3xy0 C．5xy0 D．x 5y

y22pxp0

经过点

M 2,2 2，焦点为F，则直线MF的斜率为（ ）A．2 2 B．24

C．2

D．2 2在平面直角坐标系中，经过点P(2 2, 2)，渐近线方程为y 2x的双曲线的标准方程为（ ）A．x2y21 B．x2y21 C．x2y21 D．y2x214 2 7 14 3 6 14 7fxcos2

与gxkxk在6,8上最多有n个交点，交点分别为x,y（i1，，，则nxii1A．7

y（ ）iB．8 C．9 D．10ysin(x6

2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3

个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．(3

,0) B．(4

,0) C．(12

,0)

D．(0,0)如图在直角坐标系xOy中过原点O作曲线yx21x0的切线切点为P过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为A、B，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）1 1A． B．6 5

1 1C． D．4 212z1i

2i，则z的虚部是A．3 B．C．3i D．3i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）在长方体ABCDABC

中，已知棱长AB1，体对角线AC 6，两异面直线CD与AA所成的角11 1 1

1 1 1为45，则该长方体的表面积．如图，F1

2xF分别是双曲线x2 a2

y2b2

1

F的直线与双曲线C2

的两条渐近线分别交于A、B两

AAB，FB

B0，则双曲线C的离心率.2 1 2数列满足递推公式an n2

aan

，且aa，a 1 2 2019

2020

2020，则a2a2a21 2

.已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。n

a T

117（12分）

项积为Tn

的数列 ，n n

（为常数，且n Tn

是等差数列.（Ｉ）求的值及数列Tn

的通项公式；（Ⅱ）

是数列

的前n项和，且

S2n的最小值.n n

n 2n n18（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性合计701000.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取101033人中至少有2人经常网购的概率；10XX的数学期望和方差．K2

nadbc2bcdcbdPPK2K00.150.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）已知x,x,

0,，且满足xxx

3xx

x

x

x

3.1 2 3

1 2 3

123

12 23 3120（12分）已知数列

n

，且满足2S

(nN)．求数列n

n 1的通项公式；

n n n 记ba2，若数列的取值范围．n n n

xt 21（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数，以坐标原点O为极点，x y 3 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若直线l与曲线CAB两点，求OAB的面积.22（10分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时应抽查男生与女生各多少人？100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：时间（小时）[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]频率0.050.200.300.250.150.05若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2的把握认为”？男男女总生生计每周平均体育锻炼时间不超过2小时每周平均体育锻炼时间超过2小时总计附：K2

n(adbc)2（K2k）k0bcdc（K2k）k00.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879参考答案125601、B【解析】x4的项是由(x2)5x4x2的项分别与前面的常数项x2项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】x4的项是由(x2)5x4x2的项分别与前面的常数项x2项相乘得到， 所以x22(x2)5的展开式中含x4的项的系数为2C12C323

60．5 5故选：B【点睛】2、D【解析】A，否命题为a1，则a21”A不正确．B，逆命题为abam2bm2”B不正确．C，由题意知对0,，都有3x4xC不正确．选项D，命题的逆否命题“若

，则sin1为真命题，故若sin

1，则

”是真命题，所以D正确．3、A

6 2 2 6【解析】分别代值计算可得，观察可得数列an

是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】a1

2 a，n，

1

1 (n2)，aa 111，a

n12 2 2a 121，3a 1(1)2，4a 111，5 2 2…，∴数列an

是以3为周期的周期数列，201836722，1a a ，12018 2 2A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.4、D【解析】如图所示：在边长为2ABCDABCD中，四棱锥

ABCD满足条件，故S2 2,2 得到答1 1 1 1 1案.【详解】如图所示：在边长为2ABCDABCD中，四棱锥

ABCD满足条件.1 1 1 1 1故ABBCCDADCC1

2，BC1

DC1

22，AC1

2 3.故S2 2,2

2 2S，

3S.D.【点睛】5、D【解析】求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数z1i在复平面上对应的点的坐标为1,1，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.6、A【解析】a2b2根据题意得到a2b2

c2，化简得到a2

3b2，得到答案.【详解】F(c,0)y

bx的距离为d bca2a2b2

c，2故a2 3b2，故渐近线为x 3y0.A.【点睛】7、A【解析】pFMF的斜率【详解】y22px

p

经过点M 2,22 2 222p2，p22 2Fk 2 ，2MF故选：A【点睛】8、B【解析】 2根据所求双曲线的渐近线方程为y 2x，可设所求双曲线的标准方程为2x2y2再把点2 2, 代入，2求得k的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】 2∵双曲线的渐近线方程为y 2x,设所求双曲线的标准方程为2x2y2又2 2, 在双曲线上，则2k=16-2=14,即双曲线的方程为2x2y2故选：B【点睛】

1∴双曲线的标准方程为x2y217 149、C【解析】gx过定点.【详解】由题可知：直线gxkxk过定点1,0且fxcosx2

在是关于对称如图gxfx9同时点左、右边各四个交点关于对称i1

xy2419i i故选：C【点睛】ycosx的性质，属难题10、D【解析】ysin(x

图象上各点的横坐标伸长为原来的2（纵坐标不变y

1sin( x1

)的图象；6 2 6 1 1再将图象向右平移

个单位，可得ysin[ (x ) ]sin x的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0) ，3 2 3 6 2故选D.考点：三角函数的图象与性质.11、A【解析】ykx0设所求切线的方程为ykx，联立yx21

，消去y得出关于x的方程，可得出0，求出k的值，进而求得切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为ykx，则k0，ykx0联立 ，消去y得x2kx10①，由k240，解得k2，yx21x22x10x1P1,2，1

1 1所以，阴影部分区域的面积为S

x212x

dx x3x2x1 ，3 0 30矩形OAPBS122P

1.故选：A.

S 6【点睛】12、B【解析】因为z1i2i13i，所以z的虚部是3.故选B．452013、10【解析】ABCD-ABC

如图所示，由于AA∥DD，则CDD就是异面直线CD与AA所成的角，且11 1 1

1 1 1 1 1 1CDD

45CDDC

AB1DD1AC

AD2 6AD

2，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ABCD-ABC

的表面积为2(111221)10．11 1 1142【解析】AO//BFFB

B0AO

b，由此求得的值，结合c2a2b2求c得a的值.【详解】

1 1 2 2 aFAABA

AO//BFFB

B0，∴AO垂直平分BF，2 2 1 1 2 2∴

AOBBOF

60

ctan60 3b 3ac23a2a24a2，即e

2.22

1 a a【点睛】15、2020【解析】可对an1

an2

a左右两端同乘以n

n1

得a2n1

an1

an2

aa ，nn1依次写出a2a

a

，a2

aa

，，

aa

a

，累加可得a2a2a2a

aa，再n n

n1n

n1

n1n

n2

n1

2 23 1

2 3

nn1 12由aa

得a2a2a2a2a

，代入n2019即可求解1 2 1 2 3 n nn1【详解】a

a左右两端同乘以

有a2 a

a

，从而a2a

a

，a2

aa

，，n1

n2 n

n

n1

n1

n2

nn1

n n

n1n

n1

n1n

n2

n1a2aa

a

，将以上式子累加得a2a2a2a

aa.2 23 12

2 3

nn1 12由aa

得a2a2a2a2a

令n2019，有a2a2a2 a a

2020.1 2 1 2 3

n nn1

1 2

2019

2020故答案为：2020【点睛】本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题16、【解析】试题分析：当 时，以 ，则

，则，所以切线方程为

．又因为 为偶函数，所以 ，所，即 ．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当

时，函数 ，则当

时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数 为偶函数则当

若 为奇函数则函数的解析式为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（Ⅰ）1Tn

1 1（Ⅱ）n 1 3【解析】T（Ⅰ）当n2时，由n

，得到T T

，两边同除以T

，得到

1 1.再根据1是 等差数列.

T nn1

n n1 nn1

nn1

T T Tn n1 n（Ⅱ）

(2n

2

n

S 2n

1 1 1

1 ，令n n n1C 1 1 1

2n n，研究其增减性即可.

n2 n3 n4

2n1n n2 n3 n4 2n1（Ⅰ）

n2

T时，Tnn1

T，n，所以T

TT ，n即

n1 T TT

n1，n1 n nn1Tn

1 1.Tn11T是等差数列.，n所以1，d1，n1

，12，11 2 T11T所以12(n1)1n1，Tn即T 1 ；n n1（Ⅱ）bn

(2nn

2

1n1，所以S2n

S 2n2n

1 2 n

1 2 n

1 n4

2

1 2n，n 2 n 12n1 1 1 12n1n2 n3 n4令C

1 1 1 1 ，n n2 n3 n4 2n1所以c

c

1 1 1 ，n1

n 2n3 2n2 n2 4 0(2n3)(2n2)(n2) 即c c，n1 nn所以数列c是递增数列，n所以cn

min

c1，1 3即S2n

S 2nn

1.3【点睛】本题主要考查等差数列的定义，前n项和以及数列的增减性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18（Ⅰ）（Ⅱ）①49；②数学期望为，方差为2.4.60【解析】K2258.3336.6350.01的前提下认为我市市民3网购与性别有关．10名女市民中，经常网购的有10707人，偶尔或不用网购的有1030100 能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．

3人，由此22列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200

10.，由此能求出随机变量X的EXDX．【详解】经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计合计12080200由列联表，得：200503050702K2 12080100100

258.3336.635，3∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10

707人，100偶尔或不用网购的有10

303人，100∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：c2c1c3 49P 73c310

7 ．60②由22列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6，200将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为由题意X B10.6，XEX100.66D（X）DX100.60.42.4．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、证明见解析【解析】将x

x3xxx

化简可得1

1

3，由柯西不等式可得证明.1 2

123

xx xx xx【详解】

23 31 12xx

0,，xxx

3xxx，

1 2 3 1

3，

1 2 3

123xx xx xx23 31 12 1

1 1 又(xxxxxx)

(119，12 23 31 xx xx xx23 31 12所以xxxxxx

3，当且仅当xx x 1时取等号.12 23 31

1 2 3【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运20（1）a n(nN)（2）n 【解析】项和转换可得na

a，继而得到n

an1

a 11，可得解；n1

n n1 1代入可得bn

3n

n2，由数列n

23n2n

，令cn

23n2n

，可证明cn

为递增数列，即c1

，即得解【详解】（1）∵2Sn

n1a，n∴2S 2a ，n1 n1∴2a 2a 1a，n1 n1 n即na

a，∴

a n，n1a a

n n1 na∴n n1 11，n n1 1∴a n(nN)．n （2）bn

3n

n2．b bn1

n1n2nn2=2·3n（2n+．∵数列bn

为递增数列，∴2

1

，即

23n2n1．令c n

22n1，c即n1

23n12n16n31．c 2n3 2．n

2n3

2，n 1即的取值范围为．【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.31921（）l:2xy