2021年河北省衡水市圈头中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年河北省衡水市圈头中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量满足条件，则的最小值为A. B.0 C. D.参考答案：A2.定义函数,则函数在区间内的所有零点的和为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由得，故函数的零点即为函数和函数图象交点的横坐标．由可得，函数是以区间为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的2倍，同时在竖方向上缩短为原来的．从而先作出函数在区间上的图象，再依次作出在上的图象（如图）．然后再作出函数的图象，结合图象可得两图象的交点在函数的极大值的位置，由此可得函数在区间上的零点为，故所有零点之和为．故选D．

3.各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高是2，体积是16，则这个球的表面积是（）A．16π B．20π C．24π D．32π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为2，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：2，球的直径是：2，所以这个球的表面积是：4π（）2=20π故选：B．【点评】本题考查正四棱柱的外接球的表面积．考查计算能力，是基础题4.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为A．

B．

C.2

D．1参考答案：A5.当时，则下列大小关系正确的是

（

） A.

B.

C.D.参考答案：C略6.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（

）A．

B．2

C．

D．3参考答案：B双曲线的一条渐近线方程为，即，因为渐近线与圆相切，所以，即，所以e=2。【答案】【解析】略7.已知在R上是奇函数，且

(

)

A.

B.2

C.

D.98参考答案：A8.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．3 C．5 D．5参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为×=；∴该组合体的体积为V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9.已知三个函数，，的零点依次为则的大小关系为A．

B．

C．

D．参考答案：C10.如果右边程序框图的输出结果是6，那么在判断框中①表示的“条件”应该是

A．i≥3

B．i≥4

C．i≥5

D．i≥6参考答案：D第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时满足条件输出，所以条件应为，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为______．参考答案：20π【分析】将三视图还原利用体积公式求解即可【详解】由三视图还原为如图几何体：一个圆柱和一个圆锥可得，.故答案为【点睛】本题考查三视图，考查圆柱和圆锥的体积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题12.一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的半径是

,球的体积为

.参考答案：答案：2,13.设，变量在约束条件下，目标函数的最大值为，则________.参考答案：作出可行域如图所示，当直线经过点时，有最大值，此时点的坐标为，，解之得或（舍去），所以.考点：线性规划.14.已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积

．参考答案：考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出三棱锥P﹣ABC的高为=，利用三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，可得三棱锥P﹣ABC的内切球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．解答： 解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，∴底面外接圆的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的高为=，∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=．故答案为：．点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的内切球的半径是关键．15.计算：

参考答案：略16.已知四面体ABCD的顶点都在球O球面上，且球心O在BC上，平面ADC平面

BDC,AD=AC=BD，DAC=90,若四面体ABCD的体积为，则球O的体积为________.参考答案：17.已知定义域为R的奇函数满足，且当时，，若函数，有5个不同的零点，则实数t的取值范围是

．参考答案：因为且是奇函数，所以，所以，所以是周期为的周期函数，令，，则，由，得，，当时，在，上单调递增，在上单调递减，作出函数，的大致图象如图所示，因为有个不同的零点，所以，解得；②当时，，显然满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，作出函数，的大致图象如图所示，因为有个不同的零点，所以，解得，综上，的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤1.已知，，求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程．参考答案：本题考查矩阵的乘法，MN==，………………4分设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，则有

于是，.

……8分代入得，所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为．

……………10分【解析】19.已知焦点在x轴上的椭圆+=1（a＞b＞0），焦距为2，长轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆交于A，B两点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值；（2）求|AB|的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）首先根据条件求出椭圆的方程，（Ⅱ）（1）用分类讨论的方法先设直线的特殊形式，再设一般式，建立直线和椭圆的方程组，再利用韦达定理的应用求出关系量，（2）用三角形的面积相等，则利用点到直线的距离求出定值，最后利用不等式求出最小值．【解答】解：（Ⅰ），所以：则：b2=a2﹣c2=1所以椭圆的标准方程为：解：（Ⅱ）（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），证明：①当直线AB的斜率不存在时，则△AOB为等腰直角三角形，不妨设直线OA：y=x将y=x代入，解得所以点O到直线AB的距离为，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆联立消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0则：，因为OA⊥OB，所以：x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0即所以：，整理得：5m2=4（1+k2），所以点O到直线AB的距离=综上可知点O到直线AB的距离为定值．解：（2）在Rt△AOB中，利用三角形面积相等，利用点O到直线AB的距离为d，则：d?|AB|=|OA|?|OB|又因为2|OA|?|OB|≤|OA|2+|OB|2=|AB|2，所以|AB|2≥2d?|AB|所以|AB|≥，当|OA|=|OB|时取等号，即|AB|的最小值是【点评】本题考查的知识要点：椭圆标准方程的求法，直线和曲线的位置关系，点到直线的距离，韦达定理的应用，不等式的应用．属于中档题型．20. (本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=2X4n一2，n∈N*.(I）求数列{an}的通项公式an(II）设数列{bn}满足bn=log2an，求的表达式(用含n的代数式表示)参考答案：略21.已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为

（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；

（2）求的值。参考答案：Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率，，所以，故椭圆方程为，

┄┄┄┄┄┄3分则直线，，

故或，

当点在轴上方时，，

所以，

当点在轴下方时，同理可求得，

综上，为所求．

┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)解：因为，所以，，

椭圆方程为,,直线，设，

由消得，，

所以┄┄┄┄┄┄8分

故

①

由，及，┄┄10分得，将①代入上式得