几何与代数复习：二次型

A=2

A=0.5

2000.5A=/6cos

sin

sincos

Q=可逆变换可以改变图形的大小和形状正交变换不改变图形的大小和形状对应的正交变换y

=Qx

对应的可逆变换y

=Ax

QQ第六章二次型与二次曲面

平面中二次曲线类型的判断

34

16

1634O

x

y

x2

9+y2

25=153§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450AAT=|E

A|=268+5018正交阵,Q1AQ=QTAQ==50

0

018第六章二次型与二次曲面

34

16

1634§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450AAT=|E

A|=268+5018正交阵,Q1AQ=QTAQ==QQTX=XTX’50

0

018=X’TX’50x’2+18y’2=450平面中二次曲线类型的判断O

x

y

x2

9+y2

25=153第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

x’

y’

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450AAT=|E

A|=268+5018正交阵,Q1AQ=QTAQ==QQTX=XTX’50

0

018=X’TX’x’2

9+y’2

25=150x’2+18y’2=450平面中二次曲线类型的判断53第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450正交阵,Q1AQ=QTAQ==QQTX=XTX’50

0

018=X’TX’50x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1x’

y’

=450|E

A|=268+5018平面中二次曲线类型的判断53第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450正交阵,Q1AQ=QTAQ==X’=QTX50

0

01850x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1x’

y’

=450

X

=

QX’xy|E

A|=268+5018平面中二次曲线类型的判断53第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450正交阵,Q1AQ=QTAQ==X’=QTX50

0

01850x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1x’

y’

=450

X

=

QX’|E

A|=268+5018/4平面中二次曲线类型的判断xy53第六章二次型与二次曲面

34

16

1634§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450正交阵,Q1AQ=QTAQ==X’=QTX50

0

01850x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1=450

X

=

QX’|E

A|=268+5018平面中二次曲线类型的判断xy第六章二次型与二次曲面

34

16

1634§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450X’=QTX50x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1=450

X

=

QX’O

x

y

平面中二次曲线类型的判断xy第六章二次型与二次曲面

34

16

1634§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450X’=QTX50x’2+18y’2=450x’2

9+y’2

25=1=450

X

=

QX’O

x

y

几何:旋转变换代数:正交变换平面中二次曲线类型的判断O

x’

y’

/4xy53x’2

9+y’2

25=1x’2

9/2+y’2

25/2

=150x’2+18y’2=450100x’2+36y’2=450代数:正交变换第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450X’=QTXx’

y’

=450

X

=

QX’O

x

y

xy代数:可逆变换/453几何:旋转变换几何:仿射变换x’2

9/2+y’2

25/2

=1100x’2+36y’2=450几何:旋转变换几何:仿射变换代数:正交变换第六章二次型与二次曲面

34

16

1634O

§6.1二次型xyxy34x2+32xy+34y2=450X’=QTXx’

y’

=450

X

=

QX’O

x

y

xy代数:可逆变换/453正交变换34x’2+450/17y’2=450x’2

+y’2

17

=1

22517y’

二次曲线及其矩阵表示二次曲线ax2+2bxy+cy2

=

1m(x’)2+n(y’)2

=1一般形标准形代数:可作(特殊的)正交变换，它能保持几何图形的形状不变.代数:也可作一般的可逆线性变换，它可能改变几何图形的形状.abbcxyxym0

0nx’y’x’y’X=PX’P可逆一.二次型及其矩阵表示第六章二次型与二次曲面

§6.1二次型f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2

+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn

n元实二次型

设aij

=aji

f(x1,x2,…,xn)=

aijxixj

i,j=1n§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

f(x1,x2,…,xn)=

A=a11

a12…a1na21

a22…a2n…………an1

an2…annx=x1x2…xnf(x)=xTAx

f的矩阵A的二次型f的秩:r(A)r(f

)

aijxixj

i,j=1naij

=aji

AT

=A§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

=

k1y12+k2y22+…+knyn2

xTAx==

(y1,y2,…,yn)k10…00k2…0…………00…kn

y1

y2

…yn

f(x1,x2,…,xn)=

aijxixj

i,j=1nx=PyP可逆x=PyP可逆=

(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y标准形一般形=yTy§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y

=yTy

=

g(y)寻求可逆矩阵P,使得即寻求可逆的线性变换x=Py,使得PTAP=

=k10…00k2…0…………00…kn

实二次型标准形可逆线性变换AT

=A二.用正交变换化实二次型为标准形定理6.2(主轴定理)对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形

f=1y12+2y22+…+nyn2,

其中1,2,…,n为A的n个特征值,Q的列向量是对应特征值的n个标准正交特征向量.正交变换下的标准形实二次型标准形正交变换实对称阵的正交相似对角化问题标准形不唯一,与特征值的顺序有关

；正交矩阵不唯一,与选取的正交特征向量有关.

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

例1.

用正交变换把将二次型化为标准形f(x)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3.对应于

=2的一个特征向量:1=(1,1,2)T,|EA|=(+2)(4)2.初等行变换解:f的矩阵A=312132220,2EA=5

1215

2222

10

052021

01=2,

2=3=4.§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

得对应于

=4的另一个特征向量3=(5,1,2)T,对应于

=4的一个特征向量:

2=(0,1,1/2)T,初等行变换再解线性方程组4E–A=11211222410

01002001011

21/2x=例1.

用正交变换把将二次型化为标准形f(x)=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3.解:1=2,

2=3=4.对应于

=2的一个特征向量:1=(1,1,2)T,§6.1二次型第六章二次型与二次曲面

对应于

=4的两个正交的特征向量:

2=(0,1,1/2)T,3=(5,1,2)T,例1.

用正交变换把将二次型化为标准形f(