力学第三章 牛顿运动定律 动量

1Chap.3Newton’sLawsandMomentum牛顿运动定律动量2Kinematics：研究如何描述物体运动基本问题：已知某一方面求另外两个方面解决问题的武器：根据概念的定义进行微积分运算Dynamics：研究外界作用与物体运动的关系基本问题：已知运动求力，或已知力求运动解决问题的武器：牛顿定律，动量定理及其守恒定律，能量定理及其守恒定律，角动量定理及其守恒定律1.what2.how3§3.1牛顿第一定律和惯性参考系

i.牛顿第一定律

(惯性定律)

孤立质点静止或作等速直线运动ii.惯性参考系

4iii.Somenotes

⒈在现实世界中，孤立质点可理解为质点虽受外界作用，但外界作用相互抵消

2.

某参考系是否可看作惯性系，只能根据观察和实验来确定

3.

相对惯性系做匀速直线运动的参考系也是惯性系v5§3.2惯性质量和动量i.物体的质量2.引力质量(gravitationalmass)：用天平测出的，表征引力性质的质量1.惯性质量的操作定义：表征物体惯性大小的质量3.相对论中的质量：物体的质量随速度变化而变化质量的双重性

vs.

电荷6ii.动量、动量变化率和力⒈

动量：质点质量与其速度的乘积，2.如何用动量给出力的操作定义

力是一个物体对另一个物体的作用，它等于受力物

体的动量对时间的变化率，即3.质点动量定理的导数形式

7iii.牛顿运动定律2.牛顿第三定律：

1.牛顿第二定律

质点的动量随时间的变化率等于该质点所受的合力。(1)同作用点力的线性叠加(2)不同作用点力不能简单叠加8讨论牛顿定律阐述了“力”和“运动”这两个物理概念及其联系，三条定律是一个统一的整体。(2)牛顿定律的适用范围是在惯性参考系中低速运动的宏观物体。思考:惯性系(观测者)的特殊性?9§3.3主动力和被动力

i.力的分类

Thefourfundamentalinteractionsinphysics:gravitationalforce(万有引力)electromagneticinteraction(电磁相互作用)weakinteraction(弱相互作用)stronginteraction(强相互作用)

10ii.主动力

⒈重力和重量有“独立自主”的大小和方向，不受其它外力和物体运动状态的影响，处于“主动”地位重力：地球作用于质点的万有引力（视地球为惯性系）；方向：竖直向下；重量：重力的大小，属相互作用范畴，与质点距地心的距离和纬度有关；质量：惯性大小的量度，在经典力学中是一恒量。便于具体分析的分类

notelemental11⒉弹性力

在弹性限度内，由胡克定理：弹簧弹性力的大小与物体相对于坐标原点的位移成正比：

x式中负号表示方向与位移相反泰勒展开123.静电场力和洛仑兹力

1）带电体周围存在电场(electricfield)，在电场内引入另一带电质点，则它所受电场力的作用：

2）有电流的空间存在磁场(magneticfield)，磁场对运动带电质点有力的作用。磁感应强度为，质点所带电荷为q，运动速度为，则质点所受的磁场力为：3）若质点既处于电场又处于磁场中，则运动带电质点所受的力为：仅与位置/速度有关13iii.被动力

⒈绳子的张力(tension):

在张紧绳索上某位置作与绳垂直的假想截面，将绳分成两侧，这两侧的相互作用力即该处绳的张力.⒉压力(pressure)和支撑力(thesupportingforce):

两物体接触并压紧，双方均因挤压而形变，变形后的物体企图恢复原状而互相施与挤压弹性力。没有独立自主的大小和方向，它的存在与物体所受的其它力及物体的运动状态有关14⒊摩擦力

(thefrictionalforce)☆静摩擦力(thestaticfrictionalforce)

滑动摩擦力(theslidingfrictionalforce)☆摩擦力的产生机制复杂,接触面凸凹不平,接触面间互相嵌套、碰撞是产生摩擦力的主要原因☆摩擦系数(frictionalfactor)与接触面情况有关（材料、光滑干湿程度、温度)☆摩擦力的方向总是和接触面相对运动的趋势或相对滑动的方向相反固体表面性质vs.固体的内部束缚作用15§3.4牛顿运动定律的应用

i.牛顿力学中的基本问题基本问题：已知运动求力，已知力求运动，已知力与运动的某些方面求其它方面⒉应用牛顿定律的解题步骤选物体分析力查运动列方程正确解⒈牛顿力学的基本问题

基本武器：力函数四种情况：16

ii.恒力作用下的直线运动

m1m2例1：图示为定滑轮装置,绳轮质量不计,绳伸长不计，轴处摩擦不计,已知重物m1>m2，求重物释放后物体加速度和绳中张力。可求得:解：以地为参考系，隔离m1,m2,对两个质点分别应用牛顿第二定律xo17Now:另外一种新的”麻烦”的看此问题的方法(1)仅仅只考虑这2个物体,不考虑绳子(2)这2个物体在运动中能量守恒(3)用上面关系做无穷小分析设初始势能动能都=0,dt时间后速度为dv则有运动过的距离1/2dv*dt-1/2m1g*dv*dt+1/2m2g*dv*dt=1/2m1(dv)2+1/2m2(dv)218体会上面2种方法的差异:第一种:具体分析整个体系全部.第二种:统一分析,只选取关心的体系,

舍弃与目标运动不相关的体系.19⑴验证牛二定律：⑵设m1、m2是两个质量均为m的人，他们自同一高度开始爬绳，谁先到达顶点？讨论note:不再能量守恒;需要具体单独分析!分析质点组的受力情况以及约束条件！这里只有F1=F2具体大小不知-外部条件20iii.变力作用下的直线运动例2：质点由静止在空气中下落，重力加速度g为常数，质点所受空气阻力与速率成正比f=-γv，求质点下落速度。

解：质点动力学方程为：

两边乘dt/m21讨论：质点在空气中下落的终极速度若没有空气，自由落体的速度

22iv.曲线运动

例3：旋风游戏机的力学模型如图所示，假设转椅固定在大转盘上，ω0=0.84rad/s,α=,R=2.0m,r=1.6m,mA=mB=m=60kg.求座椅对A点，B点游客的作用力。

ω0αABrrRmgFpAFNAαaAmgFPBFNBaBαF=m*a;m已知,a已知,可求F23解：由牛顿第二定律：mgFpAFNAαaAmgFPBFNBaBαFBFA椅子对人作用力：

24v.质点的平衡

例4：如图所示，绳与圆柱体在弧段上紧密接触，且无相对滑动，AB弧对应的圆心角θ叫包角，FT0,FT分别表示A点、B点绳的张力，绳的质量不计，摩擦系数为μ0，若FT0已知，FT最大值有多大？质点的平衡条件：ABθFT0FT25xyFNF0FTFT’dθdθ/2解：在绳弧AB中取圆心角为dθ的一小段弧长，其受力情况如图示，应用质点平衡方程

讨论：若FT0=5N,μ0=0.5，θ=4π，则FTmax=2700N26Note:受力点无穷多,需要每点受力分析,

积分得到需要的点.因此,不能直接把整个体系简化为4个力:中心支撑力,摩擦力,FT,FT’.这种简化只在无穷小情况下(整个体系退化为一点)成立.“无穷小的应用”27补充:求解问题目标:

只用F=ma以及体系本身性质求解体系本身性质:体现为约束,

也即状态量+力之间的关系.28无质量绳子不可能延伸无摩擦:

内部张力处处相等ABCFAB+FCB=mBaB=0FCB=-FBCFAB=FBC=FCD=…29(3)杆子问题:不可延长,任意两点间距离不变(2)绳子滑轮在有摩擦+有质量情况的讨论F0仅应用F=ma及外部约束条件求解?平衡情况或运动方程300Ni外部条件:以及:所有内力不做功31结论:同于力矩或者能量守恒!“力矩方程关系是导出的”32§3.5非惯性系中的动力学

直线加速参考系中的惯性力定义:相对惯性系作加速运动的参考系。牛顿定律在非惯性系中不再适用。例如：向右加速运动的小车是一非惯性系，是一直线加速参考系。不同观测者:非惯性系vs.惯性系地位不一样.33讨论：小球的运动状态：（桌面光滑）（1）地面(惯性系)观察者：小球水平方向不受力，静止。

结论：牛顿定律适用。（2）车厢上(非惯性系)观察者：小球不受力，却以加速度相对车厢运动。

结论：牛顿定律不再适用。处理方法：考虑非惯性系中，小球水平方向不受力，而小球却相对车厢加速运动，为此假设小球在车厢受到一作用力即惯性力的作用，大小为34引入“惯性力”，对于小车非惯性系，仍可用牛顿第二定律的形式。小球相对于车身的加速度是惯性力作用的结果。一般情形，设o‘系相对惯性系o做加速直线运动,加速度为，对于非惯性系，应用牛顿定律，其数学表达式变为：式中：为由于相互作用物体的受力为惯性力且为非惯性系对惯性系的加速度为物体相对非惯性系的加速度35结论：对直线加速参考系应用牛二定律，除了考虑相互作用力外，还必须考虑质点所受的惯性力

注意：⑴惯性力只能在非惯性系中观测到⑵惯性力只有受力者，没有施力者⑶相互作用力在任意参考系中都能观测到

36通过变换关系得到A观测者:F=maB观测者相对A直线加速运动:则对同一质点,A观测到的x,B观测的x’,有:

这里常数项先考虑.关系的得到:对A中的原点是如此,其他点线性变换类似的方法用于转动……思考37例1：杂技演员站在沿倾角为α的斜面下滑的小车上，他以速率v0垂直斜面上抛一个红球，经t0时间后，又以同一速度上抛一个绿球，忽略摩擦，不计空气阻力，问两球何时相遇？v0αxymgαF*解：选参考系：以车为参考系,对地的加速度为a0=gsinα方向沿斜面向下受力分析：把小球视为质点,受力情况如图所示运动情况：小球垂直斜面作上抛运动38应满足：红球：令y1=y2，可求得相遇时间

列方程：取红球抛出时为计时起点，根据匀变速直线运动的公式相对车，小球沿y方向做初速度为v0，加速度为的匀变速直线运动绿球：39ii.离心惯性力OωFT|v|=ωt(a)OFT(b)圆盘以匀角速率ω绕铅直轴转动，圆盘上用长为r的线将质量为m的小球系于盘心且相对于圆盘静止。

从地面(惯性系)上观察：小球受线拉力的作用下做匀速圆周运动，

符合牛顿第二定律。

FT从圆盘(非惯性系)上观察：小球受到拉力的作用，却保持静止，

不符合牛顿第二定律。40处理方法：引入惯性力：

离心惯性力使得B做匀速圆周运动,则有41采用矩阵计算会更简单,最后得到关系式是左边是F’,右边只有r’以及theta会发现F’=ma’+……(与v’r’都有关etc)42iii.科里奥利力如图示：一圆盘绕铅直轴以匀角速率ω转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有一光滑槽，其中置一小球m，可视作质点，以细线连之，线另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动，速度为vr沿槽向外运动，经时间△t，圆盘转过ω△t角，而小球自A运动至D’

。

43从地球惯性参考系上研究：

A点，小球的速度：和切向速度，为A点处的半径，二者合成应使小球到达D点，实际上小球到达点，由于△t很短，可设小球以恒定加速度走出，于是有，是槽壁作用于小球的推力产生的。科里奥利加速度这表明槽对小球的作用有沿切线或圆弧方向的力，使小球获得切向加速度，使小球多走出弧长。

长度：BD-AC44从圆盘非惯性参考系上研究：

小球的受力：线的拉力，离心惯性力，二者平衡，槽对球的推力，但并没发生与槽垂直的运动，故还受一惯性力：科里奥利力45科里奥利力的几个特性与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动时才可能出现；与转动参考系的角速度的一次方成正比，而离心力与角速度的二次方成正比，故当参考系的转动角速度较小时，科里奥利力比离心力更重要；力的方向总是与相对速度垂直；在地球上当ω方向向上（如地球的北半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的右方，ω向下（如南半球）时，力沿地面的分量指向相对运动的左方。46离心力科里奥利力外力等速转动情况下47§3.6冲量、动量定理i.力的冲量为了描述力在一段时间的累积作用，引入了新的物理量——冲量。如果表示极短的时间，表示这一极短的时间段内质点所受力的某一瞬时值，则：称作力在时间内的元冲量

(anelementaryimpulse)。考察时间这一时间段48即：力的冲量等于力在所讨论时间间隔内对时间的定积分。

定义平均力：冲力：作用时间短，力的大小迅速变化，且可达到很大的数值。冲量：矢量，元冲量的方向和力的方向相同，冲量和平均力的方向相同。49ii.动量定理

质点动量定理的微分形式:质点动量的微分等于合力的元冲量质点动量定理的积分形式:

在一段时间内，质点动量的改变量等于这段时间内作用于质点合力的冲量50

例题气体分子对器壁的碰撞：分子质量为m,入射速度v1=v，方向与器壁法线成60°，反射后速度大小不变，方向与法线另一侧成60°,求气体分子作用于器壁的冲量。解：把气体分子视为质点，碰撞前后动量增量，根据入射与反射方向以及，可知的大小为mv，方向垂直器壁向内。据动量定理，器壁作用于分子的冲量:据牛三定律,分子作用器壁的冲量即，大小为mv，方向垂直器壁向外v1=vv2=v60o60o51对于有若干质点组成的质点系来说，质点系以外的物体称作外界。外力(externalforce)：外界对质点系内质点的作用力内力(internalforce)：质点系内诸质点间的相互作用力§3.7质点系动量定理和质心运动定理i.

质点系动量定理多质点体系52考虑由n个质点组成的质点系，对其中第i个质点应用质点动量定理导数形式:

将这n个方程加起来:

令i=1,2,3……n，可得n个方程，由于内力总是成对出现的，且，所以第二项恒等于零，有：质点系动量定理：质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和53

三种表达形式

⑴导数形式：⑵微分形式：⑶积分形式：质点系所受外力的矢量和等于质点系动量对时间的变化率质点系所受外力元冲量的矢量和等于质点系动量的