双曲型方程差分方法

考虑常系数对流方程u

a

u

0t

x对其初值问题，设初始条件是u(x,

0)

(x)该双曲型方程的特征线是x

at

c问题的解析解是u(x,t)

(x

at)即其解沿特征线是常数。§1

一阶线性常系数双曲型方程迎风格式un

1

unj

j

ununj

1

j

unjjun

1

unun

a

j

j

1

0,

a

0h

a

0,

a

0h稳定性条件是：a

1可改写为njnjjjjj

1j

1un

1

unun

1

un

un

),a(ua(u

un

),

a

0a

0也可写成j形式1

2un

un

)jj122j1nj1

un

)

1

a

(unju

a(unj1un1j如果采用相反的差分格式un

1

unjjjjunhj j

1

unun

1

un

a j

1

j

0,

a

0h

un

a

0,

a

0

un虽然都是一阶精度的格式，但是绝对不稳定的。Courant-Friedrichs-Lewy(C.F.L)条件以a>0

为例，其迎风格式的稳定性条件是a

1, i.e.

1/

a差分格式依赖域

[x

j

n

,x

j

]偏微分方程解析解依赖域点D差分格式稳定的必要条件是差分格式的依赖域包含偏微分方程解析解依赖域（C.F.L条件）Lax-Friedrichs格式上节

过下面的格式是绝对不稳定的2

hj

j

j

1j

1

unun

1

un

un

a

0un

1

1

(un2

j

1jj

1j

1

02

h

un

)

ununj

1

a为此Lax等提出了修改格式截断误差是T

O(

h2

)

O(h2

/

)如网格比取为常数，则是一阶精度的。所以稳定性条件是a

1G2G

cos

kh

ia

sin

kh

cos2

kh

a

2

2

sin2

kh

1

(1

a

2

2

)

sin2

kh其稳定性Lax-Wendroff格式将绝对不稳定的差分格式j

1

02

h

unj

jj

1

unun

1

un

a

O(

2

h

2

)

2

u

n2

hj

jj

1j

1

unun

1

un

unu

nj

O(

2

)

a

u

nx

j

ax

a

ut

O

(

h

2

)

t

j

u

n

2

u

n

22

t

j左式做Taylor展开有

2

t

2ju

2

2u2a

x

,u

tu

2u

a

axxt2

t利用微分方程有于是代入前面的表达式有2

2

un

un

O(

h

2

)jj

1nj

1

2h2jjh2j

1j

1

2

u

njaua

22

x

22

un

2

un

una

2

2

u

n

O

(

h

2

)

2

t

2得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式2

O(

2

h

2

h

2

)

2

un

unj j

1nj

1

uu

n

aun

1

unun

un

2h2

j j

a j

1

j

1

2

ha

u

t

x

jun1

un

un

2un

unjj

1

2h2

0

un

j j

a

j

1

j

1

2hj

1

a2

un也可改写为a22j

1

un

j

1

un22nj

1nj

1nj

2ujjun1

unauu所以稳定性条件是a

1G2G

1

2

a

2

2

sin2

kh

ia

sin

kh2

1

4

a

2

2

(1

a

2

2

)

sin4kh2其稳定性利用特征线构造差分格式借助双曲型方程的解在特征线上为常数，可以构造各种差分格式。假定a>0

un

)j

1nj

a

(

ujjun

1

un由微分方程解的性质知u(P)=u(Q)1.如果

u(Q)用B,C

两点的线性插值给出，则有u

(

P

)

u

(

Q

)

(1

a

)

u

(

C

)

a

u

(

B

)对应差分格式即为迎风格式nj

1

un

)j

11

1a(u2

2nj

1

j

1

(u

un

)u

n

1j2

2对应差分格式即为Lax-Friedrichs格式2.如果

u(Q)用B,D

两点的线性插值给出，则有u

(

P

)

u

(

Q

)

1

(1

a

)

u

(

D

)

1

(1

a

)

u

(

B

)3.如果

u(Q)用B,C,D三点的二次插值给出，则有u

(

P

)

u

(

Q

)

u

(

C

)

a

u(C)

u(B)2对应差分格式即为Lax-Wendroff格式

1

a

(1

a

)

u

(

B

)

2

u

(

C

)

u(D)a22j

1

un

22nj

1nj

1jjun1

unjj

1

2un

unauu称为Beam-Warming格式，此格式是二阶精度的。

12nj

jun1

unnj j

1j j

1

j

2

a

u

un

a(1

a)

u

2un

un则有差分格式4.如果u(Q)用A,B,C三点插值给出

1nj2njnj1nj2

j1un1

unj

j

a

u

u

a(1

a)

u

2un

u所以稳定性条件是a

2如a<0

时，Beam-Warming格式为稳定性条件为a

2

ia

sin

kh

1

2

(

1

a

)

sin

2kh

1

4

a

(1

a

)

2

(2

a

)

sin

42

G22

22G

1

2

a

sin2

kh

a

(1

a

)

4

s

in

4

kh

sin

2

kh

kh2其稳定性思考题：此格式具体的C.F.L条件？蛙跳格式对流方程的蛙跳格式是一个三层格式u

n

1

u

n

1j

j

a

(

un

un

)j1

j1此格式是二阶精度的。稳定性条件是：a

1注：由于是三层格式，第一层的值需要用其他两层格式计算。为了精度一致，一般取二阶精度的二层格式，如Lax-Wendroff

和Beam-Warming。22

hj

j j

1j

1un

1

un

1

un

un

a

0即其截断误差是T

O(

h2

)其增长因子为隐式格式un

un

1jjj

1

02

hunj

1

un

a11

ia

sin

khG

无条件稳定的。G

2

11

a22

sin2

kh

1于是有1un

un1

a

un1

un1

un

0

un

j

j

j1

j

1

j

1

j2

2h2h其截断误差是Crank-Nicholson格式无条件稳定的。221

1

ia

sin

kh11

ia

sin

khT

O(

2

h2

)其增长因子是G

241

1

a2

2

sin2

khG

4

112

2

21

a

sin

kh§2

一阶线性常系数方程组它是二阶精度的。1j

12nj

112nj

12

2

A

(u

A(u

un

)j

jun1

un考虑一阶常系数方程组u

A

u

0t

x其中A

是常系数矩阵注：对双曲型方程组，矩阵A

的特征值都是实数。Lax-Wendroff格式jj

1

2un

un

)所以稳定性条件是(

A)

1其增长矩阵为G

I

i

sinkh

A2

(1

cos

kh)

A22

2(1cos

kh)

(l1,

2,,

p)l

l

l

(G)

1i

sin

kh

如设

A

的特征值为l

(l

1,2,,

p)则

G

的特征值为22

2

2

242l

ll

(G)

1

4

(1

)

sinkh于是所以稳定性条件是(

A)

1Lax-Friedrichs格式j

2

j

1un1

1

(unj

1

un

)2hj

1

j

1

0un

un

A增长矩阵为G

cos

kh

I

i

sin

kh

A如设

A

的特征值为l

(l

1,

2,,

p)则

G

的特征值为l

(G)

cos

kh

il

sin

kh

(l

1,

2,,

p)22

2

2l

l

(G)

1

(1

)

sin

kh迎风格式对双曲型方程组，矩阵A

的特征值都是实数，因此存在非奇异阵S

使得将其化为对角矩阵Λ

S

1

AS

diag(

,

,,

)1

2

p令

w

S1u

，并代入原方程，可以给出其等价形式w

Λ

w

0t

x

0 (m

1,2,,

p)wmmmw

t

x是一个解耦的单变量形式，因此可给出其迎风格式mA

S Λ

S1其稳定性条件是

max

m

1un1

unj

j

121nj12j1nj1

A(u

un

)

A

(ujj1

2un

un

)其中Λ

diag(

1

,

2

,,

p

)用原变量改写为1122nj1j1nj1

Λ(w

wn

)

wn1

w

nj

j其中Λ

(wjj1

2wn

wn

)此格式是一阶精度的。作业：P80

习题4(1)P81

习题7§3

变系数方程及方程组考虑变系数方程的初值问题

u

a

(

x

,

t

)

u

0,

x

,

t

0

t

xu

(

x

,

0)

g

(

x

),

x

0x(0)

x其特征线满足的方程为d

x

a

(

x

,

t

),dt令x

x

(

t

,

x

0

),

u

(

x

,

t

)分别是上面两个方程的解。于是有0

d

u

(

x

(

t

,

x

),

t

)

u

u

d

x

0dt

t

x

dt即，原问题的解沿特征线为常数。但注意此时的特征线是曲线。Lax-Friedrichs格式j-1jun2

hj2j

1j

1j1un

1

1

(un

un

)

un

an

0n其中

jj

na

a(x

,t

)njjmax

a

1稳定性条件是迎风格式2nn12

jjuana

(u(un1j

jnj

1j

1nj

1

u

un

)

1

2un

un

)jj

1jj

1稳定性条件是max

anLax-Wendroff格式不能直接给出，但利用与常系数相同的技巧可给出。迎风格式112nj

2

jjjn1jnj1j1nj1j1u

u

A

(u

un

)

A

(u

2un

un

)2jj

1j

12A

j

A

(

x

j

),

A

A

(

1

(

x

x

)对变系数方程组

u

t

A

(

x

)

u

0

xLax-Wendroff格式j稳定性条件是max

(A

j

)

12212njn1jj

1j

1j

1)j

u

u

A

(un

un

)j

2

j

j

1

j

1

1

2

A

A(un

un

)

Aj1

j(un

un其中§4

二阶双曲型方程考虑波动方程

2

u

a

2

2

u

x

2(

a

0)

t

2其特征方向为dt

1dx

a而故有两条特征线x

at

c

1

,

x

at

c

2如做变量替换u

(

x

,

t

)

u(c1,

c2

)

u(x

at,

x

at

)于是有u

u

c1

u

c2

a

u

a

u

c

2

a

21

2u2c

c

1t

c1

tu

2c2

t2

u2t2同理有

c22

c1

c2u2

u21u

2

u2x2

c2代入原方程有2u2c

c

c221

2u2c

c1

2

0u

1

(c1

)

2

(c2

)问题的通解为u

1

(

x

at

)

2

(

x

at)于是可给出波动方程初值问题2

u

2

2u

t

2x2

,a

t>0,

x

(x),

x

x

u(x,

0)

(x),u

t

t

02的解析解为u

x,t

(x

at)

(x

at)

12axatxat

d2从解析解u

x,t

(x

at)

(x

at)xat

1

xat

d2a函数在点(x0

,t0

)值的依存域是x0

at0

,

x0

at0

上面区间的初值所决定的区域——决定域初值在点x0值的影响域其中网格比

/h截断误差是T

O(

2

h2

)稳定性条件a

1波动方程的显式格式

a

2hj2j

1

2un

un

0unj

1jj

j

2

2

unun

1

un

12

2j

jn1jun1

2unjj1

2un

un

u

a

unj1或改写为于是可给出波动方程初值问题2

u

2

2u

t

2x2

,a

t>0,

x

(x),

x

x

u(x,

0)

(x),u

t

t

0的差分方程0jju

/

1j0jju

u

n1jun1

2un

uj

j2

2

2un

unj j

1

a

unj1u1

u0

j

j

j, (n

1,2,)注意到上面差分方程中，第一层的截断误差是一阶的，而格式是二阶的，不匹配。为提高离散精度，可使用中心差分离散。同时，将显式格式应用于第0层u1

u1j

j2j

2

2

2u0

u0j j

11ju1

2u0

uj

j

a

u0j11j

2j1ju

uj联立，消去u112

212jjjj1j1

2

2

(1

a

)

u

a

差分格式解的依赖域稳定性条件a

1CFL条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式解的依赖域包含偏微分方程初值问题解的依赖域。j其中网格比

/h无条件稳定，其截断误差是T

O(

2

h2

)2h2j

1

jj

1un

1

2un

1

un

1

a

2

或改写为2h2j

1jun

1

2un

1

un

1

j

1

jj

j

2波动方程的隐式格式

2unun

1

un

1122

2

n1j

1

122

2n1j

1n1j

1122

2

n1j

a

(1

a

)u2

2

n1j

2un

(1

a

)uu

a

ua

u2

2

n1j

1

uh2j

1

jj

1un

1

2un

1

un

1

2un

unjj

12h22h2j

1

jun

1

2un

1

un

1

j

1

(1

2

)jjj2un

1

2un

un

1unj

1

a

2

波动方程的三层格式，则其中0

1/2注：（1）取（2）取（3）取

0

1/2

，则

1/4

，则为显式格式；为隐式格式；为Von

ann格式

O

4

2

h2

h4

2

a4h2O(

2

h2

),

h4

),

h2

)/12a2

2

h2

)/12a2

2j

4

u

n

2

a

2

T

12

12

x

4

whenwhen

(a4

2

(a4

2

O(

4其截断误差是（2）当0

1/4

，稳定的充要条件是稳定性（1）当，无条件稳定；11

4(

/

h)a

1/

4边界条件的处理

2

u

a

2

2

u

f

(

x

,

t

),

t

>

0

,0

x

l

t

2

x

2t

0u(x,

0)

(x),u

/

t

0

x

l0

x

lt

0t

0

(x),1u(0,

t)

g

(t),u(l,t)

g2

(t),0jj;

u1

u0j

jju

有