2021年江苏省镇江市北陵中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年江苏省镇江市北陵中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二项式的展开式中第8项是A．-135

B．

C．

D．参考答案：答案：C2.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略3.函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数 B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数 D．奇函数，在（0，+∞）是减函数参考答案：B【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的定义域为R，然后利用定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性．【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）==﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=﹣2﹣x为增函数，∴f（x）为增函数；故选B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定．4.过点且平行于直线的直线方程为（

）A．B．C．D．参考答案：A略5.函数有两个不同的零点，则的最小值是()A．6

B．

C．

D．1参考答案：B6.设随机变量X～N(2，32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c等于A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S＜8

B.S＜9C.S＜10

D.S＜11参考答案：B8.已知全集，集合，，那么等于A．{0,1,2}

B．{1,2}

C．{0,1}

D．{2}参考答案：9.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．10.设向量，若是实数，则的最小值为A. B. C.1 D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程是 .参考答案：

；由已知得，且，故双曲线的标准方程是.12.对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：245682040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当时，的估计值是

.参考答案：13.已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为．参考答案：（，8]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P（x，y）、M（﹣1，0），可得（x+1）2+y2=|QP|2表示M、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|MP|的最大、最小值，即可得到（x+1）2+y2的取值范围．【解答】解：画出表示的平面区域如图：，而（x+1）2+y2的表示区域内点P（x，y）与点M（﹣1，0）的距离的平方，由图知：|MC|2=（1+1）2+22=8最大；M到直线2x+y﹣2=0的距离的平方：最小．由于2x+y﹣2＞0不取等号，所以不是最小值，故答案为：（，8]．【点评】本题给出二元一次不等式组，求（x+1）2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．14.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像

参考答案：向右平移个单位略15.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

.

（第6题图）11

11

参考答案：600略16.直线x+2y=m（m＞0）与⊙O：x2+y2=5交于A，B两点，若，则m的取值范围为．参考答案：（2，5）【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出∠AOB范围，通过夹角为直角时求得原点到直线的距离，可得d范围，求得m的范围．【解答】解：∵直线x+2y+m=0与圆x2+y2=5交于相异两点A、B，∴O点到直线x+2y+m=0的距离d＜，又∵|+|＞2||，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，可知，OC＞2．圆的圆心到直线的距离d＞2，可得：＞＞2，m＞0，解得m∈（2，5）．故答案为：（2，5）．17.已知正数a、b均不大于4，则a2－4b为非负数的概率为

。参考答案：由题意知：，我们把a、b看做直角坐标系的横坐标和纵坐标，画出其可行域为边长为4的正方形，表示的可行域与正方形重合的面积为：，所以a2－4b为非负数的概率为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为，其余费用为每小时元．（）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数．（）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？参考答案：见解析（）∵速度为海里/小时，航行时间为小时，总燃料费为元，其余费用为元，∴．（）∵，当且仅当时，等号成立，，即轮船以海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．19.等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣．参考答案：考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设数列{an}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得Sn=，于是bn=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．解答： （Ⅰ）解：设数列{an}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵Sn==，∴bn==﹣=﹣，∴数列{bn}的前n项和为Tn=﹣+…+==．∴Tn＞﹣．点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点，。

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离。参考答案：解：证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.∵AA1=AB

∴四边形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.（Ⅱ）由体积法略21.在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．参考答案：【考点】平面与圆柱面的截线．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由已知推导出双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4），由此能求出双曲线的标准方程．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，与椭圆联立，再利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明线段MN的长为定值，并能求出这个定值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…（1分）在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…（4分）设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，所以双曲线的标准方程为…（5分）证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…（6分）设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，