2023学年江苏省淮阴区高三第二次联考数学试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）A．48 B．63 C．99 D．1202．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立3．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（）．A． B． C． D．5．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()A． B．C． D．6．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增C．函数的对称中心是D．函数的对称轴是7．若2m＞2n＞1，则（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．8．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则（）A．2 B．2 C．4 D．611．若均为任意实数，且，则的最小值为（）A． B． C． D．12．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若，则a的取值范围是______．14．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，则a1=_____，a1+a2+…+a5=____15．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×16．已知，那么______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，解关于x的不等式；（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．18．（12分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.19．（12分）2019年底，北京2023年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)20．（12分）设，函数，其中为自然对数的底数.（1）设函数.①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点；②求证：对任意的，直线都不是的切线；（2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.22．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】

观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【题目详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以故选：C.【答案点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.2、D【答案解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【题目详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．【答案点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．3、C【答案解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【题目详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【答案点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.4、A【答案解析】

直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.【题目详解】由题意可知直线的方程为,不妨设.则，且将代入双曲线方程中，得到设则由，可得，故则，解得则所以双曲线离心率故选：A【答案点睛】此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.5、B【答案解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【题目详解】如图，，设为的中点，为的中点，由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，由题易知，的补角，分别为，设三棱柱的棱长为2，在中，，；在中，，；在中，，，.故选：B【答案点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.6、B【答案解析】

根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【题目详解】由图象可得，函数的周期，所以.将点代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故A正确；令，得，故函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，故B错误；令，得，故函数的对称中心是，故C正确；令，得，故函数的对称轴是，故D正确.故选：B.【答案点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7、B【答案解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.【题目详解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，故选：B．【答案点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.8、A【答案解析】

由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.【题目详解】当时，，∵在上有且仅有5个零点，∴，∴.故选:A.【答案点睛】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.9、C【答案解析】

化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．【题目详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：．【答案点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．10、C【答案解析】

根据列方程，由此求得的值，进而求得.【题目详解】由于，所以，即，解得.所以所以.故选：C【答案点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.11、D【答案解析】

该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.【题目详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，故选D.【答案点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.12、C【答案解析】

对选项逐个验证即得答案.【题目详解】对于，，是偶函数，故选项错误；对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；对于，当时，；当时，；又时，.综上，对，都有，是奇函数.又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.故选：.【答案点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

函数等价为，由二次函数的单调性可得在R上递增，即为，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【题目详解】，等价为，且时，递增，时，递增，且，在处函数连续，可得在R上递增，即为，可得，解得，即a的取值范围是．故答案为：．【答案点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14、80211【答案解析】

由，利用二项式定理即可得，分别令、后，作差即可得.【题目详解】由题意，则，令，得，令，得，故.故答案为：80，211.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.15、乙、丁【答案解析】

本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【题目详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【答案点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.16、【答案解析】

由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【题目详解】∵，∴，，∴.故答案为：.【答案点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【答案解析】

（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.【题目详解】（1）当时，由得由得解：，得∴当时，关于的不等式的解集为（2）①当时，，所以在上是减函数，在是增函数，所以，由题设得，解得.②当时，同理求得.综上所述，的取值范围为.【答案点睛】本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题.18、（1）证明见解析（2）【答案解析】

（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.【题目详解】解法一：（1）依题意知，因为，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.因为，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱锥的体积.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，设点到平面的距离，则三棱锥的体积，得.解法二：（1）同解法一；（2）因为，平面，平面，所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.过点作的垂线，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为点到平面的距离.由（1）知，，在中，，，得.又，所以.所以点到平面的距离为.【答案点睛】本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.19、(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)【答案解析】

(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，解得答案.【题目详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.(Ⅱ)8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，，.故分布列为：.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为，故，故.故的最小值为.【答案点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）①函数与的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）且；【答案解析】

（1）①令，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为，求出切线方程，得到，根据函数的单调性判断即可；（2）求出的解析式，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，确定的范围即可．【题目详解】解：（1）①当时，函数，令，，则，，故，又函数在区间上的图象是不间断曲线，故函数在区间上有零点，故函数与的图象在区间上有交点；②证明：假设存在，使得直线是曲线的切线，切点横坐标为，且，则切线在点切线方程为，即，从而，且，消去，得，故满足等式，令，所以，故函数在和上单调递增，又函数在时，故方程有唯一解，又，故不存在，即证；（2）由得，，，令，则，，当时，递减，故当时，，递增，当时，，递减，故在处取得极大值，不合题意；时，则在递减，在，递增，①当时，，故在递减，可得当时，，当时，，，易证，令，，令，故，则，故在递增，则，即时，，故在，内存在，使得，故在，上递减，在，递增，故在处取得极小值．②由（1）知，，故在递减，在递增，故时，，递增，不合题意；③当时，，当，时，，递减，当时，，递增，故在处取极小值，符合题意，综上，实数的范围是且．【答案点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21、（1）；（2）【答案解析】

（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求