等离子体-第3章磁流体稳定性

3多种多样的运动形态。研究磁流体等离子体的运动，首先要从其最简单的形态出发。所以研究了理想磁流体的平衡。从物理上来说，一个系统最容易趋于其能量最低的状态。那么，得到的等离子体的平衡状态是不是最低能量的（FreeEnegy；说这样的等离子体平衡是不稳定的。如果等离子体回到原来的平衡，则其一定处于最低能量的状态，或者说定的。那么怎样具体地来通过“扰动”研究等离子体平衡的稳定性呢？这里主要介绍一种被称为“能量原理”的方法。能量原首先要强调：无论是磁流体不稳定性还是以后要研究的微观不稳定性，都是对特定的平衡而言：即某一模式的无穷小扰动对一个特定的平衡来说，是增长的还是衰减的。如果是增长的，就说：这一特定平衡对于该特定扰动是不稳定的；反之则说：这一特定平衡对于该特定扰动是稳定的。这里第一，强调特定的平衡；第二，强调特定的扰动。比如，说某一特定参数下的托卡马只能说对某一种或者某几种扰动模式是稳定的（或者不稳定的。在对某几种扰动模式都是不稳定的情况下，也只关心发展最快的那种。因为当其它不稳定性可以发展起来的时候，这种快不稳定模式已经使得等离子体离开原来的平衡，因此，对于慢模式在原来平衡条件下的稳定性已经完全不适用了。因为对于线性稳定性的来说，该模式的扰动是“无穷小”的概念，而快模式引起的对原来衡的偏离是“任意小”的概念。所以，时空尺度问题（比如“谁快谁慢”的问题）在等离子体物理中是至关重要的。这也形象地告诉这一哲学道理：“在复基本方法对一组变量f(x,t)来说，如果f1(x,t)是对其平衡f0(x,t)的扰动模式，则可以把诸如fg这样典型的非线性项写成形式fgf0g0f1g0f0g1f1g1...。 这里主导解（Leadingordersolution）即为平衡解f0与g0的乘积f0g0。线性稳定性问题忽略诸如f1g1的非线性项，而由一阶扰动方程求解扰动量f1g0，f0g1；等等研究磁流体（MHD）线性稳定性问题有三种基本对一组变量f(x,y,zt)，如果f1(x,y,zt)是对其平衡f0(xt)的扰动，可以写成f1xy,zt)f(xexpikyykzzt的形式。注意：这里不能对平衡量f0(x,t)空间分布变化方向xFourier展开，只能在多尺度的情况下做“渐，展开”在第9章中会介绍这种方法。这时磁流体方程组约化为关于空间变量本征值问题，得到本征值。那么在Im()0时，说这平衡是不稳定的，其不稳定性的增长率是iIm()；反之则是稳定的。，磁流体静态平衡的稳定性研究。是在进行磁约束等离子体稳定性研究时最常在等离子体中，总能量KWconst.KW0因此，如果这个“虚位移”引起的势W0K0，则等离子体是不稳定的，因为势能的减少提供了足够的能来驱动等离子体的运动（K0W0K0。则等离子体是稳定的，因为势能的增加需要吸收能从而阻尼等离子体的运动（K0。能量原理首先对磁流体（MHD）方程做线性化处理。由上一章得到的磁流体方m mumm uuup(m 欧姆定律（理想

EuB c

B(u pupp（及B0）可以看出，对静态平衡（t0，u0）

(B0)B0 (3-可以得到满足B00p0B0m0（/t0，u0u0(x)则必须通过求解磁流体方程组的全部方程才能得到其平um1um0

0 (3-t

J

J 1p

1

0 (3-m0 B1(u) (3- p1u pu (3- p0B0（J0cB0/4m0就是已经确定的静态平衡解态平衡（t0u0u0x，在特定的p0B0m0u0下，得到的m1

u

0 (3-t

m0

m1 1pJ0B1J1m0 m0(u0u1u1u0)

(3-B1(u

)

B) (3-p1u

p u0p1 (3-显然，平衡流的分布u0u0x注意：从这里开始，本讲义的等离子体平衡，除了专门指明的，都是静态平衡。实际上，无论在等离子体还是空间等离子体中，即使在平衡状态下也存在着具有一定空间分布特征的等离子体流动，特别是在垂直于流动的方向上有空间分布变化的、被称为“剪切流”的流动。这种剪切流效应在实际问题中是非常重要的 在等离子体物理专题课程里专门一般来说，对静态平衡，如果在任意平衡位置x0存在一个很小的等离子移ξξ(x0,t)xx0，则有：uudξξ

ξξ (3-

(3-(3-

B1ξB0 (3-p1p0ξξp0 (3-再将方程（3-07-09）带入动量方程（3-04），得

pBBBBB (3- 1 t 或 2ξm0t

F(ξ)

Fξ

(3-这里张量算子（力算符）FFξF(ξ)ξp0p0ξ4B0(ξB0(ξB0B0 (3-很显然，这个算子只与平衡量p0B0有关由能量守恒关系KW0 muKW dx1 2 mu2

B2

(3- 又因为扰动是线性的；则对时间做 展开后的特定模式，可以得WK iξ2 2

2dxmξi2dxmξt22dxξF(ξ) (3- W1dxξF(ξ)1dxξFξ0 或者说F是正定的。反之（W0，力算F是负定的）则是稳定性的但是对于稳态平衡（t0u0u0(x)，扰动的一阶方程组（3-03’-06’）对于中的磁约束等离子体来说，目前正在运行的装置中的等离子体平衡状态的剪切流还是在“亚声速”范围（subsonicregime，相应的时间尺度为磁流体的宏观空间尺度与亚声速之比），而理想磁流体不稳定性的时间尺度在低beta磁约束等离子体（如托卡马克等离子体）来说，剪切流效应的时间尺度显然要远远长于理想磁流体不稳定性的时间尺度（等离子体beta大约等于声速平方与W的最小分析等离子体静态平衡的稳定性的能量原理方法是成。尽管无论对于空间还是等离子体，存在于等离子体平衡状态的剪切流的效应都是十分重要知道，等离子体中存在着大量的度和不同的时空尺度（特征时间和这给研究等离子体的不稳定性带来极大。对于一种等离子体平衡来说，可能同时有很多不同的扰动模式都是不稳定的。即使调整参数使得其中一种不稳定性被压制住，其它的不稳定性还有可能长起来。那么到底应该关心哪模式显然是稳定性的必要条件。这里有一个问题。为了很好地约束等离子体，应该稳定性的充分条原来平衡条件下的稳定性已经完全不适用了；第二，实际上，等离子体中总时间尺度下发现增长慢一点的不稳定性。即使对于未来的先进磁约束位形（如ITER这样的先进托卡马克，因为约束时间的变长，一些过去不可能看到的发展Modes定住。这样，问题归结成在各种可能的能量扰动W中寻找最小的一种。这样有能量原理方法的另一个原则：在实际问题时将能量原理方法简化为W的最小化 能量扰动W的性质及其最小化的方法。等离子体区的能量扰动W可以写成形如 Wp dx 0ξ κpξ J0B0ξ*B pξ*κ (3- 2显然，平行位移的贡献只出现在右边能量积分里的第三 dxp 2 (Wp)||中。为了确定最不稳定的扰动位移， 以得到最不稳定的||扰动。对(Wp)||做变分，即对于任意||，有(Wp)||0(Wp)||的极小值，必有B0ξ0 (3-如果B00，很容易得到ξ0。这显然就是不可压缩条件u0（应有，但ξ取有限值；也就是说，ξ20。则此时对于||

B1Bξ (3- 平行磁场方向的“长波”扰动解kB00如果B0B0||0，性近似下有kB00，即扰动模式是垂直磁力ξξ||ξ||ξ (3-也就是说，最不稳定的扰动模式是垂直磁力线的（有k||0，且在平行磁力3.03：有理面上kB00f1(,,,t)f()expimnt kB n R 则条件kB00给出qmn向模数m，环向模数n）的扰动，其不稳定性只可能在q()mn给出的特定有03surface模与交换模 根据上一节得到的能量扰动W的一些性质进一步 流体不稳定性的能来源，并基于这种分析对磁流体不稳定性进行分类。磁流体不稳定模式知道，等离子体的静态平衡必满足关系pJBc。所以基本上来说存在两大类磁流体（MHD）不稳定性：1．如果一种扰动使得压强梯度p的作用超过洛仑兹力JB/c动模式为压强梯度所驱动，称这种模式为压强驱动不稳定性模式，或者交换mode；2动不稳定性，或者称模（KINKmode。交换从等离子体区的扰动能量积分公式（3- Wp dx 0ξ κpξ J0B0ξ*B pξ*κ

W dxξpξ*κ (3- 动能量来说：如果0（即p0||κ 有W

dxξ

20（即－p0||κ 有W

dxξ

20，则称平衡是“坏”曲率的；而使得－p0||κ（0，磁力线“凸向”等离子体区）的磁力线人们通常用流体中的Rayleigh-Taylor不稳定性来类比交换模不稳定性：即将3.04但对于长波扰动来说，磁力线两端的等离子体运动如果受到限制（称其ne-td（比如在托卡马克磁场位形下的强场侧，这样的模式就可能被稳定住。但是即使在这种情况下，短波扰动仍然有可能发展起来。对于短波扰动来说，这个模式是非常“局域”的，其模式的“结构”很像一动（line-tied）的模式为“气球模”或者“气泡模”（BALOONINGmode图图3.05：交换模的“line-（2）还是从（3-15）出发，另一种扰动可以由其后两项中的另外一项W1dxJ0B0ξ*BB 2 1

J 1dxJ0||ξ*bˆB1 ξ*B

(3-2 c 1 1 （（曲”的特性而产生一个磁场方向上的ξ*B分量。所以称这种不稳定性为 图图 内模与外模上面了等离子体能激发的不稳定性模式的性质。在那些讨论中，不明显地假设了在等离子体的边界上，扰动位移为零。所以等离子体边界及外部对等离子体的作用被忽略不计。在这一小节进一步等离由能量原理（3-14），得W2

dxξF(ξ)

(3-，（INTERmodeEERAmode“外模，如果是压强驱动的，称其为内交换模，internalinterchangemode为内模，internalkinkmode（外模，externalkinkmode。，WW dSξpξξ

B0B1

Bξ 。 2

对于性近似下，dSdS0，有B0dSB0dS00。则边界（表面）项可W dSξpξξ B0B1 2 pξξ2 0n 0

B0B1 (3- 边界条件W dSξpξξ B0B1 2 pξξ2 0n 0

B0B1 (3- 一般来等离子体问题涉及有四种（boundaries）或者（interfaces有关的等离子体物理专题课程中详细。下面来这几种界面上的边界条件由磁场高斯定理B0，得到nBpBV0。同时，等离子体—真空nBp0nBV (3-B.B4Jc，可以得到nBpBV4Isc（这里Is是流过B1：如果Is0，则界面上电流密度趋向无穷大。为避免在界面上无穷大的洛J||B（适用于无力场（forcefree）位形；或者界面两侧的压强有一个跳变。后者很可能与ELMy-H模（具有边缘局域模的高约（PedB2：如果Is0nBpBV0，即Btp (3-C.总压强（等离子体+磁场） B2 B2p (3- D.由欧姆定律，EuB/c0， 得到cnEuBn0（因为u和B都在磁面上。且由于在真空区，EV0，得到EtpEtV0 (3-对线性问题来说，这个边界就是平衡边界，是已知的。但是在非线性阶段，这个边界的位置由两边的解决定，解出两边的解又需要这个边界上的条件。从而解和边界必须同时确定。这是是一个典型的边界问题。由于解的性质会影响（如曲率的影响以常常要考虑具体的物理模型。从高斯定理B0nBVnBW0 (3-nBB4 (3- 且有J||BnBp1nBp20 (3-nBp1Bp20，即Btp1Btp2 (3- B2 B2p

p

(3-Etp1Etp20 (3-等离子移的法向分量为零nξn0 (3-磁场的法向分量为零（理想导体时nBpnBW0 (3-磁场的切向分量连续（如果界面上没有电流奇异性nBpBW0，即BtpBtW0 (3-EtpEtW0 (3-几个例子（1）-对于一个-箍缩平衡，有J0J0B2 B2 p0(r) a (3- 此平衡有性质：1）J0||0，无电流驱动；2）κ0

pξ pξ0 (3-Wp dx 0 即此平衡总是理想磁流体（MHD）稳定的。所以，对于-对于Z-箍缩来说，有d B2 p (3-dr 8 4，2J0 r B02a2 a2J2 0

rr2

r

(3-p000

a2

r

(3- (3-且有（3- ξ1drik0 r p1rp0 (3-B1ξB0ˆrr/rB0rB0 (3- 22p Wplasma2L p0 rp (3-0 于是稳定性的必要条件（反之为不稳定性的充分条件）rp0rp0Bp0B

(3-

（3）对Z-进一步对一般Z-箍缩的平衡分布的扰动的一般形如果扰动是不可压缩的，ξ0，可以得到平行扰动m||irrikrz (3-mr 2m2B22rp (3-r 0则稳定性的必要条件（反之为不稳定性的充分条件）2rp0 (3-

换模不稳定性。由平衡条件

B0rB0，上述不等式（3-50）rB0

(3- 体柱呈3.07所示一般称这种m0不稳定性为“腊肠模（sausage直柱托卡马克的一定性螺旋箍缩的不稳定螺旋箍缩平衡满足方程（2-d B2 p z (3-dr 8 4ξ(r,,z,t)rˆr(r)ˆ(r)zˆz(r)expikzzmt (3- (3-ξbˆrˆξbˆrˆB0zzB0/B0 (3-(r)B1B ξiB ξ/F(r,k) (3- 0 0 这里F(rkkB0kzB0zmB0/r先利用(Wp||0来得到Wp，然后再利用(Wp)0来得 ，最后获得极小化了的等离子体中的扰动势WLadrf2g2 (3- r0WLFG2 (3-k4 k4

r其中kk2m2/r21/2，G(r,k)k /r， z rF 2k 1 kf g zp rF FG4k

k

2rk在真空区arb（rb是真空—导体壁边界B11且满足20。假设(r)ei(kzzm)，得 (r)C0Km(kzr)C1Im(kzr) 这里Km(kzr)和Im(kzr)是m-阶变形贝塞尔函数（ModifiedBesselFunction。由真空—导体壁边界条件(rb)0， 可以确定C1C0Km(kzb)/Im(kzb)。而另一个常数可以由在等离子体—真空界面ra的边界条件(ra)iF(a)r(a)来

Lr2F24

2r

(3-

2L 222WLdrf gr 4k2mrFr (3- r局域内交换模不稳定性度足够大。扰动 平行磁力线（0）一般（8pB21） 为这时磁力线已经不在ˆ方向。但是，最不稳定的扰动模式（对应Wp最小）同样是垂直磁力线（FkB00）的，而扰动模式的本征结构则仍具有“平行linebending，所以沿着磁力线的扰动结构是最容易发展起来的。因此，只要kB00在某一磁面上成立，这样的不稳定模式总会长起来。为了使得这种扰动离开这个磁面，kB00bˆ0就都不成立了。扰动就被局限在磁面kB00

0磁面邻域的内模是压强梯度项

k2p000B20 4r

(3-直柱托卡马克的不稳定性 大多仍然成立——只要将轴向的周期条件写为环向角z/R0和环向模数nkR；及相因子ei(mkzz)ei(mn)；并考虑环向场是柱坐标z(R,ZRBBz(RB00R0RFkB0mnqB0/r，GmnqB0/r (3- 0其中km2n2r2/R21/2/r，及安全因子q / 0具有磁剪切，可以稳定螺旋（模）扰动并将其限制在FkB00的磁面上，(r,,)mn(r)ei(mn的形式，这里不同的（m,n分量在不同的有理面qm/n上激发相应的模式。但是在qm/n的有理面rmn上，仍会有各个m'n'(rmn)（mmnn）的扰动分量。对于线性阶段来说，这些“非”分量与“”分量mn(r相互独立，线性阶段，在某一特定的有理面上rmn上，各个“非 ”模式m'n'(rmn)（mm，到那些“非”模式然后衰减掉。这使得单个有理面上的不稳定模式很容易在振模式的空间结构相互（overlap会引起不稳定模式间的相互耦合，从而导致这些模式快速的非线性增长（如新经典模的磁岛之间的相互“”导致的托卡马克等离子体的大破裂。这些在《环形等离子体物理专题》中会进一0aR0~ BBzBB0~ 8pB2~2(3-0在O(2)数量级近似内模”扰动W(2)

rdr

12r22(m21)2 (3-0 q 0如果m2W(2)0——即所有m1对于m1

r

(3-0 r0s这里rr是q1/n的有理面，则W(2)0 s在与（3-65）相同的近扰动势能的O(4)数量级修LB2 r4 1W

m2