微积分9名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

第9章微分方程初步§9.1微分方程基本概念§9.2一阶微分方程§9.3二阶常系数线性微分方程第1页1§9.1微分方程基本概念第2页2微分方程:凡含自变量、未知函数以及未知函数导数（或微分）函数方程叫微分方程.例注:微分方程中自变量,未知函数未必都要出现一、微分方程定义微分方程阶:微分方程中出现未知函数最高阶导数阶数称之.第3页3分类1:常微分方程,偏微分方程.未知函数为一元函数微分方程称为常微分方程未知函数为多元函数微分方程称为偏微分方程如：一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:第4页4分类3:线性与非线性微分方程.形如微分方程称为阶线性常微分方程，其中为自变量已知函数.不能表示成上述形式统称为非线性方程.如：线性非线性第5页5微分方程解:代入微分方程能使方程成为恒等式函数称之.微分方程解分类：二、主要问题-----求方程解(1)通解:微分方程解中含有任意常数,且任意常数个数与微分方程阶数相同.第6页6(2)特解:确定了通解中任意常数以后解.解图象:微分方程积分曲线.通解图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数条件.第7页7过定点积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点切线斜率为定值积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件解问题.第8页8解第9页9所求特解为第10页10微分方程；微分方程阶；微分方程解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．三、小结本节基本概念：第11页11§9.2一阶微分方程一、可分离变量方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程四、伯努利方程五、总结第12页12一、可分离变量方程可分离变量方程.解法为微分方程解.分离变量法第13页13形如均为可分离变量方程，用分离变量法.例1求解微分方程解分离变量两端积分第14页14例2求解逻辑斯谛方程通解，以及特解，式中解分离变量即有两边积分，得整理得通解为将代入，得所求特解为第15页15二、齐次方程微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量方程1.定义第16页16第17页17例3求解微分方程微分方程解为解第18页18例4求解微分方程解第19页19微分方程解为第20页20一阶线性微分方程标准形式:上述方程称为齐次.上述方程称为非齐次.三、一阶线性微分方程比如线性;非线性.第21页21齐次方程通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程解法(使用分离变量法)第22页222.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:第23页23常数变易法把齐次方程通解中常数变易为待定函数方法.实质:

未知函数变量代换.作变换第24页24积分得一阶线性非齐次微分方程通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解积分因子法第25页25解例5第26页26例6解第27页27第28页28伯努利(Bernoulli)方程标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.四、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.第29页29求出通解后，将代入即得代入上式第30页30解例7第31页31解分离变量法得所求通解为例8第32页32五、小结2.齐次方程3.线性非齐次方程4.伯努利方程1.可分离变量方程第33页3334§9.3二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性方程二、二阶常系数非齐次线性方程三、总结第34页3435定义n阶常系数线性微分方程标准形式二阶常系数齐次线性方程标准形式二阶常系数非齐次线性方程标准形式第35页3536一、二阶常系数齐次线性方程第36页3637将其代入方程(9-25),得故有（9－25）特征方程特征根或特征值第37页3738有两个不相等实根两个线性无关特解得齐次方程通解为特征根为第38页3839有两个相等实根一特解为得齐次方程通解为特征根为第39页3940有一对共轭复根重新组合得齐次方程通解为特征根为其中第40页4041设

欧拉公式第41页4142定义由常系数齐次线性方程特征方程根确定其通解方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第42页4243解特征方程为解得故所求通解为例2第43页4344二、二阶常系数非齐次线性方程

第44页4445常见类型难点：怎样求特解？方法：设试解函数，由待定系数法确定系数.第45页4546第46页4647设试解函数为代入方程（9-26），得将第47页4748综上讨论注1类型1可看成是类型2在时特例.第48页4849尤其地第49页4950解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例3第50页5051注2类型3