专题11 圆锥曲线的基本量（解析版）

专题11圆锥曲线的基本量1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.2、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.3、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．【答案】【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，，．本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b.4、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.5、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（）A．2sin40° B．2cos40°C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，故选D．6、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．7、【2019年高考北京卷文数】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（）A． B．4C．2 D．【答案】D【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D.本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a，b，c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、【2019年高考天津卷文数】已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴.故选D.本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9、【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可得，因为，所以，即，所以椭圆的离心率，故选C．本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.11、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故．由②③得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点P．所以，的取值范围为．本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为焦点三角形面积：（其中）二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x准线x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦轴，焦半径公式：设双曲线上一点，左右焦点分别为，则①（可记为“左加右减”）②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为焦点三角形面积：设双曲线上一点，则（其中）三、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）题型一圆锥曲线的基本量圆锥曲线的基本量涉及到椭圆的长轴、短轴、焦距等基本量、双曲线的实轴、虚轴、焦距、渐近线等基本量，以及抛物线焦点坐标、准线方程等知识。求圆锥曲线标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便例1、（2019年泰州学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，若点P的坐标为(1，EQ\F(3,2))，且△PQF2的周长为8，则椭圆C的方程为．xxOyPF1F2Q【答案】EQ\F(x2,4)＋EQ\F(y2,3)＝1．【解析】因为△PQF2的周长为4a，所以，a=2，把P的坐标为(1，EQ\F(3,2))代入椭圆C，得，所以，，椭圆C的方程为EQ\F(x2,4)＋EQ\F(y2,3)＝1．例2、(2019常州期末）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，直线x＋y＋2＝0经过双曲线C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________．【答案】y＝±eq\r(3)x【解析】直线x＋y＋2＝0中，令y＝0，得x＝－2，所以c＝2.因为eq\f(c,a)＝2，所以a＝1.由a2＋b2＝c2，得b＝eq\r(3)，所以渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.例3、(2019无锡期末）以双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．【答案】.y2＝12x【解析】双曲线eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦点为F(3，0)，设抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)，则eq\f(p,2)＝3，故p＝6，所以抛物线的标准方程是y2＝12x.例4、（2017·天津卷）已知双曲线E：的左焦点为，离心率为，若经过和两点的直线l平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为．【答案】【解析】设，由题意，，又，所以，，，所以，双曲线E的标准方程为题型二圆锥曲线的离心率问题圆锥曲线的离心率是圆锥曲线的一个最重要的性质，在江苏高考中多次考到，是江苏高考的热点问题。求离心率的值关键就是找到a,b,c之间的关系；求离心率的取值范围问题时，除了要根据条件来确定离心率的取值范围外，不要忘记离心率的本身的范围，即椭圆的离心率在(0，1)上，双曲线的离心率在(1，＋∞)上，这也是求离心率的范围问题的常见错误例5、(2019南京三模）平面直角坐标系xOy中，过双曲线eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P．若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲．【答案】EQ\r(,2)【解析】双曲线的渐近线方程为：，设右焦点，过与渐近线平行的直线为l：，由，得：，则，所以，的中点为，又点在双曲线上，所以，化简得，即.例6、（2014年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq\r(2)，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．规范解答设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2＝eq\r(b2＋c2)＝a.又BF2＝eq\r(2)，故a＝eq\r(2).因为点Ceq\f(4,3)，eq\f(1,3)在椭圆上，所以eq\f(\f(16,9),a2)＋eq\f(\f(1,9),b2)＝1.解得b2＝1.故所求椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)解法1因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2a2c,a2＋c2)，,y1＝\f(bc2－a2,a2＋c2)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝b.))所以点A的坐标为eq\f(2a2c,a2＋c2)，eq\f(bc2－a2,a2＋c2).又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为eq\f(2a2c,a2＋c2)，eq\f(ba2－c2,a2＋c2).因为直线F1C的斜率为eq\f(\f(ba2－c2,a2＋c2)－0,\f(2a2c,a2＋c2)－－c)＝eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)，直线AB的斜率为－eq\f(b,c)，且F1C⊥AB，所以eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)·－eq\f(b,c)＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝eq\f(1,5).因此e＝eq\f(\r(5),5).解法2由题意知B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．设C(x0，y0)，则A(x0，－y0)．因为F1C⊥AB，所以F1C⊥BF2.所以eq\f(y0,x0＋c)·eq\f(b,－c)＝－1.①因为点A在直线BF2上，所以eq\f(x0,c)＋eq\f(－y0,b)＝1.②联立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(ca2,b2－c2)，,y0＝\f(2bc2,b2－c2).))所以点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ca2,b2－c2)，\f(2bc2,b2－c2))).又因为点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ca2,b2－c2)，\f(2bc2,b2－c2)))在椭圆上，代入椭圆的方程并整理得c2a2＋4c4＝(a2－2c2)2，所以a2＝5c2，所以椭圆的离心率e＝eq\f(\r(5),5).例7、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.(1)已知椭圆的离心率为eq\f(1,2)，线段AF中点的横坐标为eq\f(\r(2),2)，求椭圆的标准方程；(2)已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值．【解】(1)因为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，则a＝2c.因为线段AF中点的横坐标为eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(a－c,2)＝eq\f(\r(2),2).所以c＝eq\r(2)，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.(4分)(2)因为A(a，0)，F(－c，0)，所以线段AF的中垂线方程为：x＝eq\f(a－c,2).又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝－x上，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)，－\f(a－c,2))).(6分)因为A(a，0)，B(0，b)，所以线段AB的中垂线方程为：y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))).由C在线段AB的中垂线上，得－eq\f(a－c,2)－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)－\f(a,2)))，整理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)即(b－c)(a＋b)＝0.因为a＋b>0，所以b＝c.(12分)所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(\r(2),2).(14分)例8、（2018年徐州铜山调研）如图所示，椭圆E的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别是F1，F2，延长B2F2交A2B1于点P，若∠B2PA2是钝角，求椭圆E离心率e的取值范围．【答案】【解析】方法一：直线A2B1：，直线B2F2：，联立可得，，，，因为∠B2PA2是钝角，所以，，即，又，所以，．方法二：因为∠B2PA2是钝角，所以，，，，又，所以，椭圆E的离心率e的取值范围是．题型三圆锥曲线中点坐标及范围例9、(2019苏州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为eq\f(1,2)的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点A且斜率为eq\f(3,2)的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．解：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距为c，因为椭圆的离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，又因为A到右准线的距离为6，所以a＋eq\f(a2,c)＝3a＝6，(2分)解得a＝2，c＝1，(4分)所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(6分)(2)直线AB的方程为y＝eq\f(3,2)(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1.则B点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(9分)由题意，右焦点F(1，0)，所以直线BF方程为y＝－eq\f(3,4)(x－1)，(11分)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(13,7)，(13分)所以，点M坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,7)，－\f(9,14))).(14分)例10、(2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q.已知椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，点A到右准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．eq\a\vs4\al(思路分析)(1)根据题意，建立关于a，c的方程组，求出a，c的值，进而确定b的值，得到椭圆的s标准方程．(2)设出点B的坐标为(m，n)，用m，n表示x0，然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值域．也可以设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标x0，根据函数的值域求得x0的取值范围．规范解答(1)由题意得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a2,c)＋a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(4分)(2)解法1设B(m，n)，则eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1.因为A(－2，0)，AB⊥BQ，所以直线BQ的方程为y＝－eq\f(m＋2,n)(x－m)＋n，因为P是AB的中点，所以P(eq\f(m－2,2)，eq\f(n,2))，所以直线OP的方程为y＝eq\f(n,m－2)x，联立直线BQ，OP的方程得－eq\f(m＋2,n)(x－m)＋n＝eq\f(n,m－2)x，(8分)解得x0＝eq\f(（m－2）（m2＋2m＋n2）,m2－4＋n2)，由eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1得n2＝－eq\f(3,4)(m2－4)，代入上式化简得x0＝m＋6，(14分)因为－2<m<2，所以4<x0<8.(16分)解法2设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，k≠0.将y＝k(x＋2)代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，解得xB＝eq\f(－8k2＋6,4k2＋3)，所以yB＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k2＋6,4k2＋3)＋2))＝eq\f(12k,4k2＋3)，则直线BQ的方程为y－eq\f(12k,4k2＋3)＝－eq\f(1,k)(x－eq\f(－8k2＋6,4k2＋3))，因为P是AB的中点，则xP＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(－2＋\f(－8k2＋6,4k2＋3),2)＝eq\f(－8k2,4k2＋3)，yP＝eq\f(1,2)yB＝eq\f(6k,4k2＋3)，所以直线OP的斜率为eq\f(\f(6k,4k2＋3),\f(－8k2,4k2＋3))＝－eq\f(3,4k)，则直线OP的方程为y＝－eq\f(3,4k)x，(8分)联立直OP，BQ的方程得x0＝eq\f(16k2＋24,4k2＋3)＝4＋eq\f(12,4k2＋3)，(14分)因为4k2＋3>3，所以0<eq\f(12,4k2＋3)<4，4<4＋eq\f(12,4k2＋3)<8，即4<x0<8.(16分)1、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C的方程为，则其离心率为．【答案】.【解析】因为，，所以，故离心率为2、(2019南京、盐城一模）若双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1的离心率为2，则实数m的值为________．【答案】6【解析】由题意，a2＝2，b2＝m，e＝eq\f(c,a)＝2，即c2＝(2a)2＝4a2＝8＝a2＋b2＝2＋m，所以m＝6.3、已知椭圆C的焦点坐标为F1(4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，则椭圆C的标准方程为

．【答案】【解析】AF1+AF2=，椭圆C的标准方程为．4、(2019苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点(－3，1)，则该双曲线的离心率为________．【答案】.eq\r(10)【解析】设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则渐近线方程为by±ax＝0.由点(3，－1)在一条渐近线上，得b＝3a，所以a∶b∶c∶＝1∶3∶eq\r(10)，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(10).5、(2019通州、海门、启东期末）已知经过双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为________．【答案】.4【解析】根据双曲线的方程得c＝eq\r(16＋8)＝2eq\r(6)，在双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1中令x＝±2eq\r(6)，则y＝±2，故线段AB的长为4.6、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝eq\r(6)，则p的值为________．【答案】2eq\r(6)【解析】抛物线的准线l方程为x＝－eq\f(p,2)，双曲线的两条渐近线为y＝±eq\f(1,2)x，令x＝－eq\f(p,2)，则y＝±eq\f(p,4)，所以AB＝eq\f(p,2)＝eq\r(6)，所以p＝2eq\r(6)，故答案为2eq\r(6).7、(2019南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±eq\f(2\r(3),3)x【解析】由抛物线y2＝4x得其焦点F(1，0)，又FA＝5，得A(4，±4)，又点A在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)上，所以eq\f(16,4)－eq\f(16,b2)＝1，解得b＝eq\f(4\r(3),3)，故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\f(2\r(3),3)x.8、(2019宿迁期末）已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则双曲线C的顶点到渐近线的距离为________.【答案】eq\r(3)【解析】抛物线y2＝16x的焦点为F(4，0)．因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以c＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，顶点为(－2，0)，(2，0)，故双曲线C的顶点到渐近线的距离为eq\f(|2\r(3)＋0|,\r(3＋1))＝eq\r(3).9、(2018常州期末）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．【答案】(1，eq\r(2))【解析】双曲线的渐近线为y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)x，依题意有－eq\f(b,a)>－1，即b<a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))<eq\r(2).又因为是双曲线，所以e的取值范围是(1，eq\r(2))．10、(2018扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋y2－6y＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】由圆x2＋y2－6y＋5＝0，得圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝4，知圆心C(0，3)，半径r＝2.因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线bx±ay＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即eq\f(|b×0±a×3|,\r(b2＋a2))>2，即3a>2c，即e＝eq\f(c,a)<eq\f(3,2)，且e>1，故双曲线离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).11、设，是椭圆E：的左、右焦点，若在右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆E的离心率e的取值范围是________．【答案】【解析】由题意知，，又≥AF2=，≥，又，所以，，椭圆E的离心率e的取值范围是．12、(2018南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝2的四个交点依次为A，B，C，D.若矩形ABCD的面积为b，则b的值为________．【答案】eq\r(7)【解析】由题意，双曲线C的渐近线方程为y＝±bx，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为A，B，C，D.不妨设点B的坐标为(m，n)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝bm，,m2＋n2＝2，))解得m2＝eq\f(2,b2＋1)，而矩形ABCD的面积为2m×2n＝4mn＝4bm2＝eq\f(4b×2,b2＋1)＝b，解得b＝eq\r(7).13、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)求证：MR⊥PQ.eq\a\vs4\al(思路分析)第(2)问，欲证“MR⊥PQ”，我们可以从两直线垂直，斜率乘积等于－1入手，也可以从向量的数量积为0入手，这样就产生了解法1和解法2.规范解答(1)因为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(2),2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2.(2分)因为直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2，所以点(2，1)在椭圆上，即eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆E的方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(6分)(2)解法1(设线法)因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m.设P(x1，y1)，Q(x2,y2).因为PQ的中点R在直线l：x＝2上，故R(2，2k＋m)．联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，并化简得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0,(9分)所以x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2).由x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)＝4，得1＋2k2＝－km.(12分)因为M(1，0)，故kMR＝eq\f(2k＋m,2－1)＝2k＋m，所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－1，所以MR⊥PQ.(16分)解法2(设点法)设P(x1，y1)，Q(x2,y2)．因为PQ的中点R在直线l：x＝2上，故设R(2，t)．因为点P，Q在椭圆E：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),6)＋\f(yeq\o\al(2,1),3)＝1，\f(xeq\o\al(2,2),6)＋\f(yeq\o\al(2,2),3)＝1，))两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.(9分)因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t.代入上式并化简得(x1－x2)＋t(y1－y2)＝0.(12分)又M(1，0)，所以eq\o(MR,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0，因此MR⊥PQ.(16分)eq\a\vs4\al(解后反思)用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法．对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为－1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0”结合，其实颠倒一下也可行．14、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，为右准线上一点．点在椭圆上，且．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．=1\*GB3①求椭圆的方程；（2）若在轴上方存在两点，使四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．规范解答（1）①设椭圆的焦距为2c，由题意，得所以．所以椭圆的方程为．②由①得，焦点，准线为，（2）解法1设，，因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆．由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以消去得，所以，因为点P，Q均在x轴上方，所以，即，所以，又因为，所以．解法2因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线上，所以圆心M的横坐标为，所以点Q的横坐标为．（以下同方15、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求实数λ的取值范围．规范解答(1)因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a，由题意得4a＝8，解得a＝2.(2分)因为点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(5分)(2)解法1因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P(c，y0)，y0＞0，Q(x1，y1)．因为点P在椭圆上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因为F1(－c,0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(b2,a)))，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(x1＋c，y1)．由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，得－2c＝λ(x1＋c)，－eq\f(b2,a)＝λy1，解得x1＝－eq\f(λ＋2,λ)c，y1＝－eq\f(b2,λa)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ＋2,λ)c，－\f(b2,λa))).(11分)因为点Q在椭圆上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋2,λ)))2e2＋eq\f(b2,λ2a2)＝1，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)因为e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\f(1,4)≤e2≤eq\f(1,2)，即eq\f(7,3)≤λ≤5.所以λ的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，5)).(16分)解法2由于PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y0＞0.因为点P在椭圆上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因为F1(－c,0)，所以直线PF1的方程为y＝eq\f(b2,2ac)(x＋c)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b2,2ac)x＋c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.因为直线PF1与椭圆有一个交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－eq\f(2b2c,4c2＋b2)，(11分)因为eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(－2c,c＋x1)＝eq\f(4c2＋b2,b2)＝eq\f(3c2＋a2,a2－c2)＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)以下同解法1.16、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上．若点A(－a,0)，