微积分跌日俄名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

利用直接积分法求出不定积分是很有限.一.凑微分法例计算分析:此不定积分被积函数是复合函数,在积分表中查不到.§4.2换元积分法为了求出更多函数不定积分,下面建立一些有效地积分法.这是因为被积函数cos2x变量是“2x”,与积分变量“x”不一样.但假如能把被积表示式改变一下,使得被积函数变量与积分变量变得相同,那么就可用公式求出此不定积分.

(u是x函数)第1页1注:这种方法实质是当被积函数为复合函数时,可采取恒等变形将原来微分dx凑成新微分d(x)(可无须换元),使原积分变成一个可直接用积分公式来计算.这种方法称为凑微分法.其理论依据为第2页2定理1

证利用不定积分定义及复合函数求导法则即可.注1.定理1中,若u为自变量时,当然有当u换为(x)时,就有成立.——不定积分这一性质称为积分形式不变性.注2.

凑微分法关键是“凑”,凑目标是把被积函数中间变量变得与积分变量相同.即成立.第3页3(1)依据被积函数是复合函数特点和基本积分公式形式,依据恒等变形标准,把dx凑成d(x).如

(2)把被积函数中某一因子与dx凑成一个新微分d(x).如“凑微分”方法有:方法1较简单,而方法2则需一定技巧,请同学们务必记牢以下常见凑微分公式！第4页4第5页5例1求以下各式不定积分结论1:第6页6第7页7例2求以下各式不定积分结论2:第8页8同理可得例3求以下各式不定积分第9页9结论3:第10页10或原式同理可得第11页11注:对于同一个不定积分,采取方法不一样,有时得到原函数表示式就完全不一样,但这些不一样表示式之间仅相差一个常数.如法一:法二:法三:第12页12例4求以下各式不定积分同理可得结论4:普通地,对形如这么不定积分第13页13当n为偶数时应先降次后再积分；当n为奇数时应先凑微分再积分；普通地,对形如这么不定积分若n≠m，且一奇一偶时，则应凑奇次幂三角函数；若同为偶，则化为第14页14对形如这么不定积分应先积化和差后再积分.第15页15课堂练习:求以下各式第16页16第17页17二.第二类换元法注:用直接积分和凑微分法是不易计算此积分.但作变换从而注:这种经过适当选择变量代换x=(t)将积分求出此积分后回代t.称此方法为换元积分法.化为积分例5第18页18定理2设函数ƒ(x)连续,

x=(t)单调可微,且,而证实即只是在此方法中要注意两个问题:1.函数原函数存在.2.要求代换式x=(t)反函数存在且唯一.则第19页19注1:换元积分法是先换元,再积分,最终回代.这与凑微分法(先凑后换元)不一样.注2:本节利用换元积分法来求解被积函数为无理函数不定积分.换元目标是将无理函数不定积分转换为有理函数积分.分两类讲:1.根号里是一次式,即2.根号里是二次式,即主要讲1.被积函数含有因子时,可令例6求以下各式化简函数后再积分.第20页20第21页21第22页22但在详细求解时要依据被积函数所含二次根式不一样情况作不一样三角代换,作法以下：2.被积函数含有因子时,可作三角变换,利用三角函数恒等式使二次根式有理化.第23页23例7求以下各式第24页24›tax如图第25页25›tax如图第26页26›tax第27页273.倒代换——当被积函数分母次数与分子次数之差大于1时,利用倒代换可消去被积函数分母中变量因子x.例8求第28页28例9求法一:三角代换令法二:根式代换令法三:凑微分法,原式=原式=›tx1第29页29法四:倒代换令解由题意知则例10(1)设函数ƒ(