专题04 通过向量转化研究向量问题（原卷版）

专题04通过向量转化研究向量问题一、题型选讲题型一运用基底转化法求参数的值考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，选择一对基底表示其他向量，然后研究系数的关系。例1、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则λμ＝________．例2、(2017苏锡常镇调研（一））在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝1，则实数λ的值为________．例3、(2016苏北四市摸底）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的值为________.题型二运用基底转化求线段的长运用运用基底转化求线段的长，主要就是研究向量的平方，例4、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝5，则AE的长为________．例5、(2019常州期末）平面内不共线的三点O，A，B，满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，点C为线段AB的中点，∠AOB的平分线交线段AB于D，若|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝________．题型三运用基底转化法求向量的数量积基底向量在解决向量问题中的应用．当然，首先必须利用向量运算及简单的轨迹知识去将问题逐步向基底向量转化，解题过程需要有较强的目标意识．；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，则eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为________．例7、(2018无锡期末）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝eq\f(π,3)，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝________．题型四运用基底转化法研究向量数量积的范围向量的数量积是高考中的C级要求，对于此类问题的处理方法通常有两种手段，一是应用基底的方法来进行研究，一般地，用基底的方法进行研究时，过程较为简洁、明快，但它的难点在于如何将所要研究的向量表示为基底的形式．为方便问题的研究，有时要充分利用图形的性质来研究问题；例8、(2017苏北四市一模）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范围是________．二、达标训练1、(2018南京学情调研）.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)).若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(17,3)，则实数λ的值为________．2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值为________．3、(2017南京学情调研）在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在边AB上，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).若eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝3，则边AC的长是________．4、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，AD＝eq\f(2\r(7),3)，则AC的长为________．(2017扬州期末）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值是________.6、(2019镇江期末）已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．7、(2019南京学情调研）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为边BC上一点，且eq\o(AB,