专题09 圆锥曲线中的定点（原卷版）

专题09圆锥曲线中的定点、定值问题一、题型选讲题型一圆锥曲线中过定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）、求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点·（2）、从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。例1、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方程．(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．例2、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(eq\r(2)－1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型二圆锥曲线中定值问题圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例3、(2019镇江期末）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4eq\r(2).设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为eq\r(10)，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．例4、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，C2与C1的长轴长之比为eq\r(2)∶1，离心率相同．(1)求椭圆C2的标准方程；(2)设点P为椭圆C2上的一点．①射线PO与椭圆C1依次交于点A，B，求证：eq\f(PA,PB)为定值；②过点P作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，且直线l1，l2与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证k1·k2为定值．例5、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B1，B2是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为4eq\r(2).(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q满足QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．二、达标训练1、(2019苏锡常镇调研）已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，焦点到相应准线的距离为eq\f(\r(3),3).(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：eq\f(PA·PB,PC·PD)为定值．2、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1)当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；3、(2016泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D(－eq\f(6,5)，0).设直线AB，AC的斜率分