高数各章综合测试题与答案

第十一章无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数an(x1)n在x1处收敛，则该幂级数在x5处必然()n12(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是().(1)nn;(1)n1n3.(A)(B);(C)(1)n1(1);(D)(1)n1n12n10n1n3n12n1n3、若数项级数an收敛于S，则级数anan1an2()n1n1(A)Sa1;(B)Sa2;(C)Sa1a2;(D)Sa2a1.4、设a为正常数，则级数sinna3).n2(n1n(A)绝对收敛;(B)条件收敛;(C)发散;(D)收敛性与a有关.5、设f(x)x2,0≤x1，而S(x)bnsinnπx,x，n1其中bn21(n1,2,L)，则S(1)等于(f(x)sinnπx,)02(A)1;(B)1;(C)1;(D)1.2442二、填空题1、设un4，则(1un1n)()n1n1222、设anx1n1的收敛域为2,4，则级数nanx1n的收敛区间为()n1n13、设f(x)2,1x≤0为周期的傅里叶级数在x1处收敛于()x3,0，则以2x≤14、设f(x)πxx2,<a0ancosnxbnsinnx,πxπ2n1则b3()5、级数(1)n2n的和为()n12n1!三、计算与应用题1xn1、求级数1nn3;的收敛域n32、求1的和n21nn123、将函数f(x)ln1x2x2展开为x的幂级数，并求f(n1)021xn4、求nn的和函数n02n!5、已知fn(x)满足fn(x)fn(x)xn1ex，n为正整数，且fn(1)e，求函数项级数nfnx的和函数.n16、设有方程xnnx10，其n中为正整数，证明此方程存在唯一正根x0，并证明当1时，级数xn收敛.n1四、证明题π设an4tannxdx0（1）求1anan2n1n（2）试证：对任意常数0，级数an收敛n1n提示：1anan2n1，1anan21.nn1n1n因为anan21,所以an11,an1n1n1nn1nn1n1第十一章无穷级数测试题答案与提示一、1、A；2、D；3、B；4、C；5、B.二、1、1；2、4,2；3、3；4、2π；5、cos1sin1.23三、1、答案：0,6.2、答案：53ln284提示：原式为级数xn的和函数在x1n21点的值.n12而xn1xn1xn,分别求出1xn和1xn的和函数即可.n2n212n2n12n2n12n2n12n2n13、答案：f(x)(1)n2n1xn1,x1,1n0n122f(n1)0n!(1)n2n1.n1提示:f(x)ln1x2x2ln12xln1xn21xnx2xx4、答案：1e21,xn02nn!42n21xnnn提示：nx1x，n02nn!n1n1!2n1n!2而xexn1xn,ex1xnn11!n0n!5、答案：fnxexln1x,x1,1n1提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为fn(x)xexnfnxxexexx，记S(x)x，则可得S(x)ln(1x)n1n1nn1nn1n6、提示:设fn(x)xnnx1,则fn(x)0,x0,故fn(x)在0,内最多有一个正根.而fn(0)10,fn(1)n0,所以有唯一正根x0.由方程xnnx10知,0x01x0n1,故当1时，级数xn收敛.nnn1四、提示：1anan21，1anan21.nnn1n1n因为anan21,所以an11,an1n1n1nn1nn1n1第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题xaydxydya等于()1、已知xy2为某二元函数的全微分，则(A)1;(B)0;(C)1;(D)2.2、设闭曲线c为xy1?ydxxdy的值等于()的正向，则曲线积分cxy(A)0;(B)2;(C)4;(D)6.3、设为封闭柱面x2y2a20≤z≤3，其向外的单位法向量为r，则òxcosycoszcosds等于()ncos,cos,cos(A)9πa2;(B)6πa2;;(C)3πa2;(D)0.4、设曲线c为x2y2z2a2，则?xds等于()xyz0c(A)3a2;(B)0;(C)a2;(D)1a2.35、设为下半球za2x2y2的上侧，是由和z0所围成的空间闭区域，则zdxdy不等于()(A)dv;(B)2πaa2r2rdr;d002πaa2r2rdr;(D)zxydxdy.(C)0d0二、填空题1、设c是圆周x2y2a2，则?xy2ds()urrcry3xx4x2y24的逆时针方向运动2、设质点在力Fi2yj的作用下沿椭圆ur一周，则F所做的功等于()3、设是平面xyz6被圆柱面x2y21所截下的部分，则zds等于()4、设是球面x2y2z21的外侧，则òx2x23dydz等于()y2z25、设2xf(x)ydxf(x)dy与路径无关，其中f(x)连续且f(0)0，则f(x)()c1x2三、计算与应用题1、求Iexsinybxydxeycosyaxdy，其中a,b为正常数，L为从点LA2a,0沿曲线y2axx2到点O0,0的弧.2、计算Iy2ds，其中L为圆周x2y2z2a2.Lxyz0urrrr3、在变力Fyzizxjxyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面222urxyzM,,1上第一卦挂线的点，问,,取何值时，力F所做的功W最a2b2c2大？并求出W最大值.4、设S为椭球面x2y2z21的上半部分，点Px,y,zS，π为S在点P处的切平22面，x,y,z为点O0,0,0到平面π的距离，求zSds.x,y,z5、求Ixzdydz2zydzdx3xydxdy，其中为曲面z1x2y20≤x≤1的上4侧.6、设对于半空间x0内任意光滑有向闭曲面S，都有，òxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0，其中函数f(x)在0,内具有连续的S一阶导数，且limf(x)1，求f(x).x0exx1答案：f(x)ex提示：由题设和高斯公式得0òxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdyóxf(x)f(x)xf(x)e2xdvS由S的任意性，知xf(x)f(x)xf(x)e2x0，解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域Dx,y0≤x≤π,0≤x≤π，L为D的正向边界，试证：sinydyyesinxdxxesinysinxdx（1）xedyye；蜒LL（2）52sinydyyesinxdx2π≤?xeL第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.二、1、3；2、；3、63π；4、4；5、1.πa4π3π1x2三、1、答案：Iπ2a2bπa3.22提示：添加从O0,0沿y0到点A2a,0的有向直线段L1，然后用格林公式.2、答案：I2πa3.322213提示：利用变量“对等性”ILydsLxdsLzds3?Lads.3、答案：a,b,c333Wmax3abc.9提示：直线段OM:xt,yt,zt，t从0变到1，功W为Wyzdxzxdy1t2dtxydz3OM0再求W在条件x2y2z21下的最大值即可.a2b2c24、答案：zds3Sπ.x,y,z2提示：曲面S在点Px,y,z处的法向量为x,y,2z，切平面方程为：xyYzZ0，X22122xyz22点O0,0,0x,y,z到平面π的距离.445、答案：Ixzdydz2zydzdx3xydxdyπ.1为平面xoy上被椭圆2y21所提示：添加曲面x10≤x≤1所围的下侧，在和4围封闭曲面上用高斯公式 .注意到在的积分等于3dd为0.Ixzdydz2zydzdx3xydxdyxyxy1D6、提示：（1）左边=π0πdx，同理，0πesinydyπesinxdxπesinx+esinxπ0ππsinx+esinxd右边=e0xsinysinxπsinx+esinxdsinxsinxπ（2）由（1）得=e，而由和泰勒展开?xedyyedx0xeeL式知道πsin2xdx≤πdx，π2πesinx+esinx00π2d52而π2sinxπ.0x2第九章 重积分测试题一、选择题1、若区域D是xoy平面上以(1,1)，(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限中的部分，则(xycosxsiny)dxdy().D(A)2cosxsinydxdy;(B)2cosxsinydxdyD1D(C)4(xycosxsiny)dxdy(D)0D12、设f(x,y)连续，且(,)(,)dd，其中D是xoy平面上由2fxyxyfxyxyy0,yxD和x 1所围区域，则 f(x,y)等于( ).(A)xy;(B)2xy;(C)xy1;(D)xy183、设I1cosx2y2dxdy,I2cos(x2y2)dxdy,I3cos(x2y2)2dxdy,其中DDDDx,yx2+y2≤1，则().(A)I3I2I1;(B)I1I2I3;(C)I2I1I3;(D)I3I1I24、设空间闭区域由x2y2z2≤1及0≤z确定，1为在第一挂限的部分，则().(A)xdv4xdv;(B)ydv4ydv;11(C)zdv4zdv;(D)xyzdv4xyzdv115、设空间闭区域x,y,zx2+y2≤z≤2x2-y2，Izdv，则下列将I化为累次积分中不正确的是().2π12r22ππ2Irdrzdz;I4dcos2sind(A)0d0r2(B)0d0;01211y22x2y2(C)I0πz2dz1πz(2z2)dz;(D)I40dx0dyx2y2zdz二、填空题221、设区域D为x2y2≤R2，则Ix2y2dxdy的值等于()Dab2、设Dx,yx2+y2≤1，则lim1ex2y2ln(1xy)dxdy的值等于()r0πr2D3、积分I2dx2ey2dy的值等于()0x4、积分If(x2y2z2)dv可化为定积分R(x)dx，则(x)等于()0x2y2z2≤R25、积分I(axby)2dv的值等于()x2y2z2≤1三、计算与应用题1、求Ix2y2ydxdy，其中D是由圆x2y24和(x1)2y21所围的平D面区域.2、求Imaxx2,y2x,y0≤x≤1,0≤y≤1.edxdy，其中DD3、计算I(x2y2z)dv，其中由曲线y22z绕z轴旋转一周而成的旋转曲面x0与平面z4所围的立体.4、计算I(xz)dv，由z=x2y2及z=4x2y2确定.1y1yy5、计算I12dy1yexdx.exdx1dy422y6、设有一高度为h(t)（t为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程zh(t)2(x2y2)，已知体积减少的速率与侧（设长度单位为厘米，时间单位为小时）h(t)面积成正比（比例系数为 0.9），问高度为130cm的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题设函数f(x)在0,1上连续，并设1(x)dxA，证明I111A2.fdxf(x)f(y)dy00x2第九章重积分测试题答案与提示一、1、A；2、D；3、A；4、C；5、B.二、1、x2y2πR2；2、1；3、11e4；4、4πx2f(x2)；5、4πa2+b2.a2b24215三、1、答案：I163π-2.9提示:将D看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可.2、答案：Ie1提示：为确定maxx2,y2，必须将D分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案：I256π3提示:旋转曲面的方程为x2y22z,用柱面坐标计算I2π224z)dz即drdrr2(r2002可.4、答案：πI.8ππ1xdv0,zdv42d4d2sind.提示:cos0005、答案：I3ee.82提示：交换积分次序.6、答案：t100小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积Vh(t)dxdyπ3dzh(t)；0x2y2≤1h2(t)h(t)z42再求出雪堆的侧面积S1zx2zy2dxdy13πh2(t)；x2y2≤1h2(t)122由题意dV0.9S，所以dh(t)13，解出h(t)并令其等于0，则可得结果.dtdt10四、提示：交换积分次序，1y1x111并利用dyf(x)f(y)dxdxf(x)f(y)dy2dxf(x)f(y)dy.000000第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题f(x)在1,1上连续,那么sinx1、已知函数f(t)dt().xcosy(A)f(sinx)f(cosy)(B)f(sinx)cosxf(cosy)siny(C)f(sinx)cosx;(D)f(cosy)siny2、在矩形域D:xx0,yy0内，fx(x,y)fy(x,y)0是f(x,y)c（常数）的（）.(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件;(D).既非充分又非必要条件3、若函数f(x,y)在区域D内的二阶偏导数都存在，则（）（A）xy(,)yx(,)在D内成立；Bxy在D内连续；fxyfxy（）f(x,y),f(x,y)（C）f(x,y)在D内可微分；（D）以上结论都不对4、lim2xy2的值为（）4yx0(A)；(B)不存在；(C)2；(D)0.35、设有三元函数xyzlnyexz1，据隐函数存在定理，存在点0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）.（A）只能确定一个具有连续偏导的隐函数zzx,y；（B）可确定两个具有连续偏导的隐函数zzx,y和yyx,z；（C）可确定两个具有连续偏导的隐函数zzx,y和xxy,z；（）可确定两个具有连续偏导的隐函数xxy,z和yyx,z.D二、填空题1、设f(,)exycos(x)(y1)arctanx）.xy,则fx(1,1)的值为（2y2、设f(x,y)具有连续偏导数，且f(1,1)1,fx(1,1)a,fy(1,1)b，令(x)fx,fx,f(x,x)，则(1)的值为（）.3、设f(x,y,z)exyz2，其中zz(x,y)是由xyzxyz0确定的隐函数，则fx(0,1,1)（）.4、曲线x2y2z23在点M1,1,1处的切线方程为（）.x2yz05、函数ux22y23z2xy3x2y6z在点O0,0,0处沿（）方向的方向导数最大？三、计算和应用题1、设axy3y2cosxdx1bysinx3x2y2dy为某一函数f(x,y)的全微分，求a和b的值2、设zfxy,xygxky，f,g具有二阶连续偏导数，且g0，如果2z22z2z4f22，求常数k的值.x2xyy23、在椭球x2y2z21内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体a2b2c2积最大?4、设yg(x,z)，而z是由方程f(xz,xy)0所确定的x,y的函数，求dzdx5、设f(x,y)有二阶连续偏导数,g(x,y)f(exy,x2y2),且f(x,y)1xyo((x1)2y2),证明g(x,y)在(0,0)取得极值,判断此极值是极大值还是极小值 , 并求出此极值 .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为D x,y

x2+y2

-xy≤75

，小山的高度函数为

h(x,y)

75 x2

y2

xy（1）

设M0

x0,y0

为区域

D上一点，问

h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为 g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式.2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、 证明题设F(u,v)可微，试证曲面

F(x

a,

y

b)

0上任一点处的切平面都通过定点

.z c

z c第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.二、1、πe23x1y1z1；5、rrr.；3、1；4、326gradujk2101oi三、1、答案：a2,b2.提示：利用fxyfyx这一条件.2、答案：k1.提示:zf1f2g，zf1f2kg，xy2zf112f12f22g，2zf112f12f22k2g，x2y22zf11f22kg，2z22z2z4f2212kk2g，xyx2xyy2又因为g0，所以12kk20，k1.3、答案： 23a,23b,23c.3 3 3提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为x,y,z，则求体积V8xyz在条件x2y2z21下的极值就可.a2b2c24、答案：dzf1yf2xf2g1.dxf1xf2g25、答案：故g(0,0)f(1,0)0是极大值.提示：由全微分的定义知f(1,0)0fx(1,0)fy(1,0)1gxf1exyyf22xgyf1exyxf22ygx(0,0)0gy(0,0)0gx2(f11exyyf122x)exyyf1exyy2(f21exyyf222x)2x2f2gxy(f11exyxf122y)exyyf1(exyxyexy)(f21exyxf222y)2xgy2(f11exyxf122y)exyxf1exyx2(f21exyxf222y)2y2f2A=gx2(0,0)2f2(1,0)2Bgxy(0,0)f1(1,0)1Cgy2(0,0)2f2(1,0)2ACB230,且A0,故g(0,0)f(1,0)0是极大值.6、答案:g(x0,y0)y02x022y025x025y028x0y0x0攀登起点的位置:M15,5,M25,5.提示:沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模.然后再求g(x,y)在条件75x2y2xy0下的极大值点就可.四、答案:通过定点Ma,b,c.第六章微分方程测试题一、选择题1、设yf(x)是y2y4y0的解,若f(x0)0且f(x0)0,则在x0点f(x)().(A)取极大值;(B)取极小值;(C)在x0某邻域内单增;(D)在x0某邻域内单减.2、微分方程y4y4y8e2x的一个特解应具有形式()(a,b,c,d为常数).(A)ce2x;(B)dx2e2x;(C)cxe2x;(D)(bx2cx)e2x.3、微分方程yyx21sinx的特解形式可设为().(A)y*ax2bxcx(dsinxecosx);(B)y*x(ax2bxcdsinxecosx);(C) y* ax2 bx c dsinx;y*ax2bxcecosx.4、设线性无关的函数 y1,y2,y3都是非齐次线性微分方程 y p(x)y q(x)y f(x)的解，c1,c2是任意常数，则该方程的通解为 ( ).(A)c1y1c2y2y3;(B)c1y1c2y2c1c2y3;(C)c1y1c2y21c1c2y3;(D)c1y1c2y21c1c2y3.5、方程xyy0满足y(1)2的特解为().(A)xy21;(B)x2y2;(C)xy2;(D)xy1.二、填空题1、已知微分方程y2y3yex有一个特解y1xex,则其通解为().42、以y1ex,y2xex为特解的二阶常系数齐次微分方程是().3、若连续函数f(x)满足f(x)xef(t)dt，则f(x)等于().04、已知函数yy(x)在任意点x处的增量yyx，其中是比x(x0)高1x2阶的无穷小，且y(0)，则y(1)等于().π5、y2yyex).x的通解为(三、计算和应用题1、设ye2x(1x)ex是二阶常系数线性微分方程yyyex的一个特解，求该微分方程的通解.2、设函数yy(x)在,内具有二阶导数，且y0,xxy是yy(x)的反函数.d2x3(1)试将xxy所满足的微分方程ysinxdx0变换为yy(x)所dy2dy满足的微分方程 ;(2)求变换后的微分方程满足条件y(0)0,y(0)3的解.23、已知y1e2xxex,y2exxex,y3e2xxexex都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程4、已知连续函数 f(x)满足5、已知连续函数 f(x)满足

3xf(t)dte2x，求f(x).f(x)03xxuf(u)duex1f(x)2xf(xu)du，求f(x).006f(x)在1,上连续恒正，若曲线yf(x)，直线x1,xtt1与x轴所、设函数围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为πt2f(t)f(1)，试求3yf(x)所满足的微分方程，并求该方程满足f(2)2的特解.9四、证明题证明方程yyf(x)（其中f(x)连续）的通解为yc1cosxc2xsinxf(t)sinxtdt，其中为任意常数.0第六章 微分方程测试题答案与提示一、1、A；2、B；3、A；4、D；5、C.二、1π1、3xxx；、y2yy0；、ln(x1)；、πe4c1ec2exe；45、yc1c2xex1x1ex.4三、1、答案：c1e2xc2exe2x(1x)ex.提示：将ye2x(1x)ex代入原方程，比较同类项系数，求出,,的值，然后再去求解微分方程.2、答案:(1)yysinx;(2)yexex1sinx.23、答案:yy2yex2xex.提示:y1y3ex,y1y2=e2x是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为yy2y0,设非齐次线性微分方程为yy2yf(x),再将其中任意个非齐次特解代入,得出f(x)ex2xex.4、答案:f(x)3e3x2e2x.5、答案:f(x)12x1x2ex.2提示：作代换xut，则2x12xf(t)dt.f(xu)du006、答案:f(x)x.1x3提示：依题意可得：π2f(t)f(1)tf2(x)dx，然后两边求导.tπ31四、略.第五章定积分及应用测试题一、选择题1、设f(x)连续，Is0，则Ittf(tx)dx,t0,s的值是().0（A）依赖于s和t；（B）是一个常数；（C）不依赖于s但依赖于t；（D）依赖于s但不依赖于t.2、下列积分中,等于零的是().1x2)dx31)ex2(A)21cosxln(1(B)(xdx234122sinxcosxdx2(C)(C)(x1)dx1x2x213、设在a,b上f(x)0,f(x)0,f(x)0，令Sbf(b)ba,S1f(a)f(b)baf(x)dx,S，则().1a232(A)S3S2S1;(B)S3S1S2;(C)S2S1S3;(D)S1S3S2.4、已知sinxdxπ，则sin2xdx的值等于().002x2xπ2(A)(B)π;(C)π(D)π-1.;;24xf(xt)dt5、设f(x)在0处可导，且f(0)0，则极限lim0x2的值等于().x0(A)不存在；(B)0;(C)f(0);(D)1f(0).2二、填空题x31x，则f(7)等于(1、设f(x)连续，f(t)dt).03π2、定积分34π(1arctanx)1cos2xdx的值为().43、定积分1(xx)exdx的值为().14、若积分a(2x1)d4,则常数a的值等于().ax5、曲线yx3x22x与x轴所围成的面积值等于().三、计算和应用题1、已知f(π)1，且0f(x)f(x)sinxdx3，求f(0).12x2x(exex)2、计算dx11x23、设f(x)πsin2tdt，求f(1)012xcostx2f(0)πsin3x4、计算2dx.0sinxcosx5、设xf(x)lnxe3f(x)dx，求f(x).e6、设f(x)可导，f(0)1，且1xf(xt)dt与x无关，求f(x).f(x)0四、证明题设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内f(x)0，证明存在唯一的a,b使曲线yf(x)和yf(),xa所围面积S1是yf(x)和yf(),xb所围面积S2的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.二、1、1；2、422；3、2；4、2；5、37.1212三、1、答案：f(0)2.提示：用分部积分 .2、答案：4 π.提示：利用奇偶对称性 .3、答案：1.提示：分别求出f(0)和f(1)的值即可.4、答案：1π1.4πsin3xπcos3x1πsin3xcos3x提示：2dx220sinxcosxsinxdx2sinxcosxdx.0cosx05、答案：f(x)lnx4x.x6、答案：f(x)ex.提示：令Fx1(x)xf(xt)dtf(x)x1f(x)xff(xt)dtxf(u)du，000由Fx0得fxfx0，所以exf(x)0.tb四、提示：ta,b,S1ttaf(t)f(x)dx，S2tf(x)dxbt,0t令(t)S1t3S2t，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题1、f(x)当xx0时的左极限和右极限都存在且相等是limf(x)存在的()条件.xx0(A)充分;(B)必要;(C)充要;(D)无关.12Ln2、设lim(222)().nnnn12n(A)limL0;(B);2lim2lim2nnnnnnL(C)n1;(D)极限不存在.lim1+2+2nn23、设f()=2x3x2，则当x0，有().x(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x是同阶但非等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.1x1，则x4、设f(x)e10是f(x)的().ex1可去间断点;(B)跳跃间断点;(C)第二类间断点;(D)连续点.5、方程x4x10至少有一个根的区间是().(A)(0,11(1,2);(D)(2,3).);(B)(,1);(C)22二、填空题7、若f(x1)x213，则f(x)()．xx28、已知函数f(x)(cosx)x2,x0在x0连续，则a()．a,x09、lim(n3n)n1=()．n3sinxx2cos110、设limx()．x0(1cosx)(ex1)5、已知lima2bn52，则a()，b()．3n2三、计算与应用题1、设f(x)0,x≤0，g(x)0,x≤0x,x0x2,x，求函数项级数f[f(x)]，g[g(x)],0f[g(x)],g[f(x)].、设f(x)xsin1,x0，要使f(x)在(,)内连续，应当怎样选择数a？2xax2,x≤013、设f(x)ex1,x0，求f(x)的间断点，并说明间断点所属类型．ln(1x),1x≤04、计算极限lim(sinx)tanx．xπ25、计算极限lim(2x3)x1x2x16、设f(x)的定义域是[0,1]，求函数f(x1)f(x1)的定义域.22四、证明题证明方程sinxx10ππ在开区间(,)内至少有一个根.22第一章综合测试题答案与提示一、1、C；2、C；3、B；4、B；5、C.二、1、x21；2、1；3、3；4、3；5、任意常数，6.22三、1、答案：f[f(x)]=f(x),g[g(x)]0,f[g(x)]0,g[f(x)]g(x).2、答案：a0．3、答案：x0是第一类间断点，x1是第二类间断点．4、答案：1．5、答案：e.6、答案:x1.2四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题1、若f(x)eax,x0在x0处可导，则a、b的值应为().bsin2x,x≥0(A)a2,b1;(B)a1,b2;(C)a2,b1;(D)a2,b1.x22x2,x1).2、设f(x)1,(x≤1(A)不连续;(B)连续，但不可导;(C)连续，且有一阶导数;(D)有任意阶导数.3、若f(x)为(l,l)内的可导奇函数，则f(x)().(A)必为(l,l)内的奇函数;(B)必为(l,l)内的偶函数;(C)必为(l,l)内的非奇非偶函数;(D)在(l,l)内，可能为奇函数，也可能为偶函数.4、f(x)在x0处可导，则limf(x0x)f(x0)().xx0(A)2f(x0);(B)f(x0);(C)f(x0);(D)f(x0).5、设f(x)sinxcosx，则f(15)(π)().2(A)0;(B)111;115;(C)(D)15.22二、填空题11、f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的（充分）条件，f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的（）条件．12、设f(x)x(x1)(x2)L(xn)(n≥2)，则f(0)()．13、设f(x)为可微函数，则当x0时，在点x处的ydy是关于x的()无穷小.14、已知xa(costtsint)，则dx(1)，d2x()．ya(sinttcost)dyt3πdy2t3π4415、设函数yf(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定，则dy()．dx三、计算与应用题11、讨论函数yxsinx,x0在x0处的连续性和可导性.0,x0x22、已知f(x)ex21,x0，求f(x).1,x03、设yf(ex)ef(x)且f(x)存在，求dy.dx4、设y7xx777，求微分dyx2.5、用对数求导法计算函数yx2(3x)4(1x)5的导数6、求函数ycos2x的n阶导数.四、证明题设f(x)在(,)内有定义，且x,y(,)，恒有f(xy)f(x)f(y)，f(x) 1 xg(x)，其中limg(x) 1，证明f(x)在( , )内处处可导.x 0第二章综合测试题答案与提示一、1、A；2、C；3、B；4、D；5、B．二、1、充要；2、n!；3、高阶；4、 82；5、1．3aπ三、1、答案：连续不可导 .(2x22)ex222、答案：f(x)x3,x0．0,x03、答案：dyef(x)[f(ex)exf(ex)f(x)].dx4、答案：dy [1x7

6x177ln7(x2)]dx；dyx2(72ln77)dx．1445、答案：yx2(3x)4[12)4x5].(1x)52(xx316、答案:y(n)2n1cos(2xnπ2).四、提示:x,y(,)，有Vyf(x)[f(Vx)1]f(x)Vxg(Vx)，f(x)limylimf(x)g(Vx)f(x).xVx0Vx0第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是().(A)ln(lnx);(B)lnx;(C)1;(D)ln(2x).lnx2、设f(x0)f(x0)0，f(x0)0，则().(A)f(x0)是f(x)的极大值;(B)f(x0)是f(x)的极大值;(C) f(x0)是

f(x)的极小值

;

(D)

(x0,f(x0))是曲线

y

f(x)的拐点

.3、设函数

f(x)

在[0,1]上满足

f(x)

0，则

f(1)，f(0)，f(1)

f(0)或

f(0)

f(1)的大小顺序是 ( ).(A)f(1)f(0)f(1)f(0);(B)f(1)f(1)f(0)f(0);(C)f(1)f(0)f(1)f(0);(D)f(1)f(0)f(1)f(0).4、指出曲线f(x)x的渐近线().3x2(A)没有水平渐近线;(B)只有一条垂直渐近线;(C)既有垂直渐近线，又有水平渐近线;(D)只有水平渐近线.55、曲线y(x5)32().(A)有极值点x5，但无拐点;(B)有拐点(5,2)，但无极值点;(C)有极值点x5，且(5,2)是拐点;(D)既无极值点，又无拐点.二、填空题16、设常数k0，函数f(x)lnxk在(0,)内零点的个数为（）．xe若f(x)sin2xe2ax1,x0,)上连续，则a()．17、x在(a,x018、曲线yxln(e10)的渐近线方程为()．)(xx19、limln(1x)ln(1x)ln(1x2))．x4(x05、若f(x)是x的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x轴，那么函数f(x)的表达式是()．三、计算与应用题1、当a为何值时，yasinx1sin3x在xπ3处有极值？求此极值，并说明是极大值还3是极小值.2、求limexln(1x)1.x0xarctanx13、求lim(sinx)1cosx.x0x4、求椭圆x2xyy23上纵坐标最大和最小的点.5、求数列{nn}的最大项.6、曲线弧ysinx(0xπ)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.四、证明题设f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x)≥0.证明对于(a,b)少内任意两点x1、x2及0≤t≤1，有f[(1t)x1tx2]≤(1t)f(x1)tf(x2).第三章综合测试题答案与提示一、1、B；2、D；3、B；4、C；5、B．二、1、2；2、2；3、yx11；5、x44x316x．；4、12三、1、答案：a 2, yπ 3是极大值.32、答案：12.13、答案：e3.4、答案：(1,2)和(1,2)．5、答案： 33.π6、答案: ( ,1)处的曲率半径最小，值为 1.2四、略．第四章综合测试题一、单项选择题1、dx().x(1x)(A) 2arctan x C; (B) arctanx C;(C)1arctanxC;(D)2arccotxC.22、已知f(x)的一个原函数是ex2，求xf(x)dx().(A)2x2ex2C;(B)2x2ex2C;(C)ex2(2x21)C;(D)以上答案都不正确.3、已知f(x)dxF(x)C，则f(bax)dx().(A)F(bax)C;(B)1F(bax)C;a(C)aF(bax)C;(D)1ax)C.F(ba4、已知曲线上任一点的二阶导数y6x，且在曲线上(0,2)处的切线为2x3y6，则这条曲线的方程为().(A)yx32x2;(B)3x32x3y60;(C)yx32x;(D)以上都不是.5、若F(x)f(x)，则dF(x)().(A)f(x);(B)F(x);(C)f(x)C;(D)F(x)C.二、填空题20、设函数f(x)的二阶导数f(x)连续，那么xf(x)dx().21、若f(ex)1x，则f(x)().22、已知曲线yf(x)上任意点的切线的斜率为ax33x6，且x1时，y11是2极大值，则f(x)()；f(x)的极小值是().23、x3ex