教案量子力学

陈强厦门大学电子科学系

助教：邱雯绮量子力学1第1章波函数和薛定谔方程23电子的行为命题：每个电子不是通过1就是通过2

通过1的电子通过2的电子电子以整颗形式出现到达档板电子惊奇!!!!

发生分裂。与以前假设矛盾电子或许以复杂路径到板上电子枪P1P212x双孔墙壁电子档板P12计数器

以极复杂路径到板。注意：有些x位置，双孔开，几率小；闭一个，几率大，闭孔2增加通过孔1的电子数目。但是在中心处，闭孔2减少通过孔1电子电子数目。

矛盾结论此意义上电子既像波又像粒子

上面的命题不正确！电子以颗粒形式到达，像粒子一样。到达几率分布则像波的强度分布。4物质波德布罗意物质波：任何物质都存在波-粒二相性P12子弹：10-2kg,103m/sl=h/p=6.63×10-35

mDxP12

是一个平滑过得结果无干涉P1P2P1212x双孔铁板吸收木板P12=P1+P2但是§1.1波函数的统计解释

由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。1.波函数用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一个函数，它是位置和时间（t）的复值函数（复数）表示为或。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一

52.量子力学基本假设

↓波函数假设：

微观体系的状态总可以用一个波函数与描写同一量子状态。来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，且C6微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。电子的双孔衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密）→电子投射的数目多→电子投射几率大取的面积大→某位置电子数目多→几率大因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点3.波函数的性质和特点电子枪P1P212x双孔墙壁电子档板P12计数器7德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即：波函数的一个重要性质。⑴玻恩-波函数的几率波解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体积元即表示在点附近小体积元内找到粒子的几率。波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。8波函数的统计解释▲为什么用描述波函数而不用？

因为Ψ是复数，有物理意义的是，而不是Ψ。经典物理：一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。量子力学：所以在量子力学中，用来描述波函数的物理意义。量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方，所以Ψ也叫几率振幅，或几率幅。9波函数的统计解释练习1:设粒子波函数为y，求在空间V范围内发现粒子的几率？

V

解：

10练习2:

设在球坐标中，粒子波函数为

求：①在球壳（

）中找到粒子的几率

)方向的立体角dΩ中找到粒子的几率②在（

解：11①②⑵波函数的归一化量子力学第一基本假设告诉我们，与描写同一微观状态说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布如空间r1与r2点的相对概率：这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。12实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，在整个空间出现的几率为1

数学上表示为：波函数的归一化条件满足上式的波函数

→归一化的波函数为方便引入符号归一化条件：

→

13⑵波函数的归一化量子力学基本假设告诉我们

与描写同一量子状态，即描写同一量子状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归一化的波函数,（，C为常数）通常需要把波函数归一化（利用波函数的归一化条件）。14

归一化常数C的解不确定，可以是正负实数，也可是复数

z为常数，可取任意常实数值为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。不讨论相因子（

z=0），即归一化的波函数不会有相因子的不确定性。

例一已知一维粒子波函数为α（正数），为已知常数，A为任意常数。求：①归一化的波函数

②粒子坐标的几率密度分布

③粒子在何处出现的几率最大？15

即归一化的波函数为①

②粒子坐标的几率密度分布？16由

时有极值

点为极大值粒子在处出现的几率最大

③粒子在何处出现的几率最大？4.自由粒子运动的波函数——平面波自由粒子→不受外场的作用→保持原态→能量E和动量P不随时间变化即：自由粒子→E，P为常量→由德布罗意公式→→数学上为平面波数学上沿力轴正向传播的平面波可表示为：为常数17量子力学中的波函数一般取复数形式，不能用实数形式所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：→沿X轴正向传播

具有确定动量的一维平面波：

单色平面波具有确定的动量、能量。184.自由粒子运动的波函数——平面波具有确定动量某一时刻，如，具有确定动量的平面波函数为：194.自由粒子运动的波函数——平面波§1.2态的迭加原理

我们知道实物粒子波具有波粒二象性

可以用波函数的统计解释表现出来还可以用态的迭加原理表现出来1.态的迭加原理

若体系具有一系列不同的可能状态,…,

,

…,

则这些不同的可能状态的线形叠加态,即为复常数)(也是该体系的一个可能的状态.202.量子力学对态迭加原理的解释

在状态下→无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值在状态下→无论何时测量某物理量G(如能量),都有一个确定值根据态叠加原理:→体系可能态在Ψ态下测量力学量G,能得到什么样的结果呢?

在Ψ态下测量力学量G的结果,每次测得的结果是不确定的,即可能是

,也可能是

但不会是另外的值,而测得

及

的相对概率是确定的.

213.任意波函数的平面波展开以一个确定的动量

运动的粒子的波函数为一个平面波:按照波函数的平面波展开规则有:

取归一化常数

22

上式在数学上即是

的傅立叶展开

即:任意波函数

可以看成是将任意动量值

平面波叠加在一起,

实际上就是数学上的

的傅立叶展开(变换).

233.任意波函数的平面波展开4.动量表象中的波函数

傅立叶逆变换:我们从两个傅立叶变换式子中可看到,两式互为傅氏变换已知

就完全确定了,反之亦然.

←→

描写同一个量子状态,同一状态的两种不同描写方式

24一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布,我们只讨论一维情况如果波函数不随时间变化，则有

25例题一维运动的粒子处在状态

求:①粒子在动量表象中的波函数

②粒子坐标几率密度分布③粒子动量几率密度分布

①②261.算符的引入位置平均值位置函数的平均值动量平均值？错误！函数没有定义，因为x处动量不确定271.算符的引入解决：利用动量空间态函数回到坐标空间：281.算符的引入结论：动量算符引入推广：力学量平均值

动能T和角动量L的算符表示？29§2.3薛定谔方程量子力学基本假设I(波函数假设)→完全描述体系状态通过态的叠加原理→可以以坐标表象

也可以以动量表象

来完全描述

量子力学基本假设II(薛定谔方程假设)体系状态波函数

满足薛定谔方程:

其中

为体系的哈密顿算符

也可以以动量表象

也可以以动量表象

也可以以动量表象

30自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子(

)波函数的一个平面波:

→是自由粒子薛定谔方程的解对时间求其一阶偏导及对坐标求二阶偏导,可得:31对于自由粒子,能量与动量的关系:

(μ为粒子的质量)

两边同乘

→自由粒子的薛定谔方程322.势场中的粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，总能E=动能T+势能

两边同乘

→势场中运动粒子的薛定谔方程33经典分析力学中，通常用哈密顿量H表示粒子总能量等于动能与势能的和，H=T+U

即，

→哈密顿算符自由粒子

，所以

→薛定谔方程或含时薛定谔方程343.多粒子体系的薛定谔方程N粒子体系，其坐标分别为

，体系总波函数

为

的函数，即

体系总能量为：

体系势能（N个粒子在外场中的势能

+粒子间的相互作用能

35两边同乘

且

练习：写出氦原子（核+2e电荷）中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。364.算符小结

能量算符：

动量算符：

动能算符：

势能算符：

哈密顿算符：

37§1.4定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程→波函数如何随时间演化→这个波函数是普遍的，可以描写任意量子态→这些量子态中包括能量本征态（每次测得都是确定的能量值，平面波（自由粒子态）），动量本征态（动量测得确定值的态），能量叠加状态（能量测不出确定值）1.定态能量具有确定值的状态。（

不含时，保守场）

定态时，波函数及薛定谔方程是什么样的数学形式？?38

不显含时间时，薛定谔方程的解含时薛定谔方程：U不含时→分离变量法：设②①②代入①得：整理后可得到两个方程:ⅰⅱ39求ⅰ得：求ⅱ得：→定态薛定谔方程（不含时）→定态波函数40练习1自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：是。无外场→定态。41练习2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能量不确定。42讨论定态问题：▲求体系定态波