圆锥曲线的几何性质与应用

第三章解析几何专题11圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等.在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1.(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)【答案】A【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a，b，c满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM经过OE的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．详解：法一：数形结合法如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,2m)＝1，因此点M的坐标为－c，eq\f(2ma－c,a).又△OBN∽△FBM，所以eq\f(|FM|,|ON|)＝eq\f(|FB|,|OB|)，即eq\f(\f(2ma－c,a),m)＝eq\f(a＋c,a)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,3).法二：交点法同法一得直线AE的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,2m)＝1，直线BN的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,m)＝1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PF⊥x轴，可设M(－c，n)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－c,－a)＋\f(n,2m)＝1，,\f(－c,a)＋\f(n,m)＝1，))消去n，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,3).法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为eq\f(x,－a)＋eq\f(y,2m)＝1，由题意可知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c,a)))))，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则eq\f(2m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c,a)))－m,－c)＝eq\f(m,－a)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,3).法四：方程法设M(－c，m)，则直线AM的方程为y＝eq\f(m,a－c)(x＋a)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(ma,a－c))).直线BM的方程为y＝eq\f(m,－c－a)(x－a)，与y轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(ma,a＋c)))，由题意知，eq\f(2ma,a＋c)＝eq\f(ma,a－c)，即a＋c＝2(a－c)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,3).法五：几何法在△AOE中，MF∥OE，所以eq\f(MF,OE)＝eq\f(a－c,a).在△BFM中，ON∥MF，所以eq\f(\f(OE,2),MF)＝eq\f(a,a＋c)，即eq\f(OE,MF)＝eq\f(2a,a＋c).所以eq\f(MF,OE)·eq\f(OE,MF)＝eq\f(a－c,a)·eq\f(2a,a＋c)＝1，即a＋c＝2(a－c)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,3).例2.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】分析:通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.详解:如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．例3.（2019·浙江高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______.【答案】【解析】分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.详解:方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.例4.（2019·全国高考真题（理））设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.【答案】【解析】分析:根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.详解:由已知可得，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．例5.（2019·全国高考真题（文））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A． B．C．2 D．【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A．例6.（2018全国卷I））已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选B.例7.（2018浙江卷）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设，由得因为A,B在椭圆上,所以，与对应相减得，当且仅当时取最大值.例8.（2019·北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A.① B.② C.①② D.①②③【答案】C【解析】分析：将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.详解：由x2+y2=1+所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2+由x2+y2=1+xy得,x2+如图所示,易知A0,-1四边形ABCD的面积SABCD=12×1×1+1×1=故选C.【压轴训练】1．（2019·天津南开中学高考模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线准线交双曲线左支交于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设抛物线准线与横轴的交点为,∴的坐标为，设在第二象限，由双曲线的对称性可知:，，∴的坐标为，焦距为，∴设，又，把的坐标代入双曲线方程中，得，故本题选C.2．（2019·山东高考模拟（文））如图，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且始终平行于轴，则的周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线的准线，焦点，由抛物线定义可得，圆的圆心为，半径为4，∴的周长，由抛物线及圆可得交点的横坐标为2，∴，∴，故选C.3．（2019·四川棠湖中学高三期末（文））已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.4．（2019·张家口市第四中学高二月考（文））已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．5．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|＝24b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得∴双曲线渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，渐近线与抛物线的准线的交点坐标为：，，三角形的面积为：.故选：C.6．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为，若，则此双曲线的标准方程可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可知，又的斜率为，所以易得，在中，由余弦定理得，由双曲线的定义得，所以，则，所以此双曲线的标准方程可能为.故选D7．（2019·天津高考模拟（理））设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A． B． C．2 D．不确定【答案】C【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为，焦距为，则：，解得：，由勾股定理可得：，即：，整理可得：.故选：C.8.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.9．（2019·天津高考模拟（理））己知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】C【解析】设，则由双曲线方程可得渐近线方程为：若为抛物线与交点，则，可得即：由对称性可知，为抛物线与交点时，结论一致本题正确选项：10．（2019·天津高考模拟（理））已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得双曲线的方程为，所以.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得.联立双曲线的方程和抛物线的方程得.由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.11．（2019·天津高考模拟（文））已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为()A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得：，即,由题意可得，，抛物线方程为，其准线方程为.故选：C.12．（2018·全国卷II）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.13．（2019·天津高考模拟（理））以双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一点M为圆心作圆，该圆与x轴相切于CA.2 B.3 C.2 D.5【答案】B【解析】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得Mc,由圆的弦长公式可得：|PQ|=2R结合PQ=23整理变形可得：3c4-10双曲线中e2>1，故故选：B.14.（2019·广东佛山一中高二月考（文））在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________.【答案】【解析】，因为，所以渐近线方程为.15．（2019·广东高考模拟（理））已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为-4，直线，分别交抛物线于，两点，若A，B，F三点共线，则_______.【答案】2【解析】设，，则直线的方程为：，代入抛物线方程可