极坐标与参数方程学案

极坐标与参数方程学案极坐标与参数方程学案极坐标与参数方程学案资料仅供参考文件编号：2022年4月极坐标与参数方程学案版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：极坐标与参数方程专题复习一、教学目标1、理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2、会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化；3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.4、了解参数方程,了解参数的意义；5、能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程；6、掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相关问题。重点难点1、教学重点：能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；2、教学难点：能进行极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化；三、教学策略与方法师生互动法、自主学习法、小组讨论探究、一帮一导师制四、教学过程（一）、高考目标导航：2017年高考文科数学考纲要求考纲研读1.坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程（1）了解参数方程,了解参数的意义.（2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.（3）了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.（4）了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.从近几年的高考来看，本部分重点考查直线和圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；参数方程侧重于直线、圆及椭圆参数方程与普通方程的互化.（二）、课前自主导学：1、要点梳理：(1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式，当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，点的极坐标与直角坐标的相互转化公式为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)，x≠0.))(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：①柱坐标化为直角坐标公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z))②球坐标化为直角坐标公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ))（3）参数方程： ①参数方程的定义：在取定的坐标系中。如果曲线上任意一点的坐标都是某个变量的函数(tT)（1）这里T是的公共定义域。并且对于t的每一个允许值。由方程（1）所确定的点。都在这条曲线上；那么（1）叫做这条曲线的参数方程，辅助变数t叫做参数。②过点倾斜角为的直线的参数方程（=1\*ROMANI）（t为参数）（=1\*romani）通常称（=1\*ROMANI）为直线的参数方程的标准形式。其中t表示到上一点的有向线段的数量。t>0时，p在上方或右方；t<0时，p在下方或左方，t=0时，p与重合。（=2\*romanii）直线的参数方程的一般形式是：（t为参数）这里直线的倾斜角的正切（时例外）。当且仅当且b>0时.（1）中的t才具有（=1\*ROMANI）中的t所具有的几何意义。③圆的参数方程:圆心在点半径为r的圆的参数方程是（为参数）④椭圆的参数方程:（为参数）⑤双曲线的参数方程：（为参数）⑥抛物线的参数方程:（t为参数）（4）坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。（5）“坐标法”是解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。（6）【热门考点】高考题中这一部分主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程。冷点是推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。盲点是柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，摆线在实际中的应用，摆线在表示行星运动轨道中的作用。涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用。2、基础自测：（1）点M的直角坐标是(－1，eq\r(3))，则点M的极坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)（2）已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝eq\f(π,6)，直线l的参数方程为_____________________．（3）在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为。（三）、课堂典例讲练：题型一极坐标与直角坐标的相互转化：例1：①在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()A．2B.eq\r(4＋\f(π2,9))C.eq\r(1＋\f(π2,9))D.eq\r(3)②若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为______________________解析：1极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化为直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，即(1，eq\r(3))．圆的极坐标方程ρ＝2cosθ可化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)．则由两点间距离公式d＝eq\r(1－12＋\r(3)－02)＝eq\r(3).故选D.2解析：根据已知ρ＝2sinθ＋4cosθ＝2·eq\f(y,ρ)＋4eq\f(x,ρ)，化简可得：ρ2＝2y＋4x＝x2＋y2.所以解析式为：x2＋y2－4x－2y＝0点拨：本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只是将公式x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以ρ及方程两边平方是常用的变形方法．跟踪练习：极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为____。题型二参数方程与普通方程的相互转化：例2：已知两曲线参数方程分别为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它们的交点坐标为___________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))表示椭圆eq\f(x2,5)＋y2＝1(－eq\r(5)<x≤eq\r(5)且0≤y≤1).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))表示抛物线y2＝eq\f(4,5)x.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋y2＝1(－\r(5)<x≤\r(5)且0≤y≤1),y2＝\f(4,5)x))x2＋4x－5＝0⇒x＝1或x＝－5(舍去)．又因为0≤y≤1，所以它们的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).点拨：常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方程与参数方程等价．跟踪练习：已知圆C的圆心是直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋t))(t为参数)，与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为题型三极坐标与参数方程的综合应用：例3（2016年全国卷Ⅰ，22,10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【解析】试题分析：（I）由（为参数）得（）所以曲线表示以为圆心，半径为的圆由得：因为，，所以所以的极坐标方程为（II）由得因为，，所以所以曲线与曲线的公共弦所在的直线方程为，即由，其中满足得，所以，因为，所以题型四易错、易混、易漏-----参数方程与普通方程互化时应注意参数的取值范围例4将参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为（）A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：转化为普通方程：y＝x－2，且x∈[2,3]，故选C.【失误与防范】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．本题很容易忽略参数方程中0≤sin2θ≤1的限制而错选A.（四）、归纳与提升：1、方法与指导：解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含