总结第3章线性方程组的数值解法课件

第3章线性代数计算方法§1高斯消去法§2高斯―约当消去法§3解实三对角线性方程组的追赶法§4矩阵的三角分解§5行列式和逆矩阵的计算§6迭代法

§7迭代法的收敛性解线性方程组的两类方法:直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)一、顺序消去法解方程组①②③(3―6)§1高斯消去法

作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③中的x1,则方程组(3―6)化为①②③(3―6′)对方程组(3―6′)作③-②×,得到三角形方程组①②③(3―6")从方程组(3―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为

2、顺序高斯消去法的计算步骤：在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数项排于系数矩阵的第n+1列，

1）消元过程

对于k=1,2,…,n-1列,若按顺序有某一ark≠0,r≥k,则交换k与r行,然后计算(3―11)2）回代过程

对于k=n,n-1,…,2,1,计算(3―12)二、主元素消去法1.列主元素消去法所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。②+①×12/18,③+①×1/18得

①②③第二列消元时,主元为1.167,交换方程②和③得

①②③列主元素消去法的计算过程:

(1)消元过程。对于k=1,2,…,n-1进行下述运算:①选主元,确定r,使得若ark=0,说明系数矩阵为奇异,则停止计算；否则进行下一步。②交换A的r、k两行③对i=k+1,k+2,…,n,j=k+1,k+2,…,n+1计算(3―14)aij-aik·akj/akk⇒aij

(2)回代过程。对于k=n,n-1,…,1计算(3―16)图3.1图3.12.全主元素消去法

所谓全主元素消去法,就是每步消元时选取系数子矩阵中绝对值最大的元素作主元。说明：若矩阵第i列与第j列对调,则未知数xi与xj也相应地对调了,xi的结果实质上为xj的结果。

例2用全主元素消去法求解方程组

①②③解：这里主元为-18,交换方程①与方程②得①②③①②③全主元素消去法的计算过程:

(1)消元过程。对k=1,2,…,n-1进行下列运算:①选主元,确定r,t使得若art=0,则系数矩阵为奇异的,停止计算否则进行下一步。②交换A中的r、t两行及t、k两列,并记下交换的足码t、k。③对i=k+1,k+2,…,n,j=k+1,k+2,…,n+1计算

(2)回代过程。对k=n,n-1,…,1，计算(3―18)

(3―19)(3―20)图3.2

§2高斯―约当消去法前面所述的消去法均要进行两个过程,即消元过程和回代过程。但对消元过程稍加改变可以把方程组(3―1)化为对角形

(3―21)§3解实三对角线性方程组的追赶法

其中｜a1｜＞｜c1｜＞0｜ak｜≥｜bk｜+｜ck｜,bkck≠0,k=2,3,…,n-1｜an｜＞｜bn｜＞0我们将利用所谓“追赶法”解决

§4矩阵的三角分解

对于线性方程组，若其系数矩阵A能够分解成两个三角形矩阵相乘,譬如,A=LU

L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,则求解方程组(3―1)就化为求解LUx=b

令Ux=y则Ly=b1.克劳特分解方法

设A为n×n阶非奇异矩阵,且各阶主子矩阵为非奇异,则矩阵A的克劳特分解为A=LU其中

这样,L、U中的元素都已求出。计算L的各列与U的各行的次序如下图所示。

图3.4图3.5图3.5例4用克劳特分解方法求解下列方程组解：令

利用矩阵乘法可得到

这样原方程组就化为依次求下列两个三角形方程组代入第二个方程组可求得原方程组的解为

2.杜利特尔分解方法杜利特尔分解方法是令A=LU这里

例5用杜利特尔分解方法求解下列方程组的解:

解：利用式(3―50)、(3―51)可求得求得原方程组的解为§5行列式和逆矩阵的计算5.1行列式的计算1.高斯消去法

2.LU分解法①克劳特分解法:detA=detL·detU=detL=l11l22…lnn②杜利特尔分解法:detA=detL·detU=detU=u11u22…unn③乔累斯基分解法:这里A为正定矩阵。detA=detL·detLT=l211l222…l2nn或者detA=detL·detD·detLT=detD=d1d2…dn5.2逆矩阵的计算前面介绍的求解线性方程组的方法均可用来计算逆矩阵例7设求A-1。解:将方程组写成同一个增广矩阵,即

先对第一列消元,将a11化为1,a21、a31化为0,有再将第二列a32化为0,得

将a33化为1,并将a23、a13化为0,得

最后将a13化为0,得

所以

§6迭代法6.1简单迭代法设所给的线性方程组为Ax=b其中系数矩阵A为非奇异,b≠0。写成等价形式x=G(x)=Mx+f

xk+1=Mxk+f改写的方法很多单步迭代法例如将A分解为两个矩阵之差A=B-C其中矩阵B可逆,于是方程组成为Ax=Bx-Cx=bBx=Cx+bx=B-1Cx+B-1b

令M=B-1C,f=B-1b则x（k+1）=Mx（k）+f

B应该便于求逆,如B为单位矩阵或对角矩阵等雅可比（Jacobi）迭代法

取特别当M的对角元素均不为零且按绝对值来说较大时,则M=B-1C,f=B-1b例8用简单迭代法解下列方程组解：将方程组写成等价形式取初始值x(0)=0,按迭代公式表3―1图3.8

6.2赛德尔(Seidel)迭代法

设方程组的等价形式为

x=Mx+f将矩阵M分解为M=B+C，其中于是x=Bx+Cx+f

x(k+1)=Bx(k+1)+Cx(k)+f,k=0,1,2,…即：故多步迭代法例9用高斯-赛德尔迭代法解方程组

解将原方程组写成等价形式并构造高斯-赛德尔迭代公式表3―2§7迭代法的收敛性充分条件：设x=Mx+f是原方程组的等价形式,M为迭代矩阵,（1）若,则简单迭代法和赛德尔迭代法都收敛。（2）若,则简单迭代法和赛德尔迭代法都收敛。（3）若系数矩阵A满足，或，则雅可比迭代法收敛。（4）若系数矩阵A正定，则高斯-赛德尔迭代法对于任何初始向量收敛。

如果迭代矩阵，是否收敛呢？

谱半径：设n×n阶矩阵A的特征值为λi(i=1,2,…,n),则称为矩阵A的谱半径。定理5对于任意初始向量x(0)和常数项f,由迭代公式

x(k+1)=Mx(k)+f,k=0,1,2,…收敛的充要条件是

ρ(A)＜1例：已知线性方程组AX=b，其中讨论雅可比迭代法及高