高考数学专题《统计与统计案例》习题含答案解析

专题10.1统计与统计案例练基础练基础1．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【答案】C【解析】由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．2．（2021·四川·成都七中高三期中（文））奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（）A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数【答案】B【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B3．（2020·安徽·高三学业考试）已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人.某次学校考试中，两班学生的平均分分别为和，则这两个班学生的数学平均分为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平均数公式可求得结果.【详解】这两个班学生的数学总分为，故这两个班学生的数学平均分为.故选：C.4．（2021·天津·南开中学高三月考）某校有200位教职员工，他们每周用于锻炼所用时间的频率分布直方图如图所示，据图估计，每周锻炼时间在小时内的人数为（）A．18 B．46 C．54 D．92【答案】D【分析】由频率分布直方图求出每周锻炼时间在小时内的频率，由此能求出每周锻炼时间在小时内的人数．【详解】由频率分布直方图得：每周锻炼时间在[10，12]小时内的频率为：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，∴每周锻炼时间在小时内的频率为：∴每周锻炼时间在小时内的人数为：200×0.46＝92．故选：D．5.（2017·全国高考真题（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确.故选A.6.（2017课标1，文2）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B7.（2019·全国高考真题（文））某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生【答案】C【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．8．（2021·吉林·桦甸市第四中学高三月考（理））在“双11”促销活动中，某网店在11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（）A．9万元 B．18万元 C．24万元 D．30万元【答案】D【分析】根据频率分布直方图，利用频率比与销售额的比相等，即可求出对应的值．【详解】解：根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为，所以9时到11时的销售额为：（万元）．故选：D9.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5kmB．甲车以km/h的速度行驶1h消耗8L汽油C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D．若机动车最高限速km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较．【答案】B【分析】结合图象逐项分析即得.【详解】由题可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；甲车以km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h消耗8L汽油，B正确；以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；在机动车最高限速km/h在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D错误.故选：B10.（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：245683040506070根据上表可得回归方程为，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）A．75万元 B．85万元 C．95万元 D．105万元【答案】B【分析】根据表中数据求出和，从而求得样本中心，代入回归方程后求得，再令时，即可求出销售额的预报值.【详解】解：由题意得，，∴样本中心为，∵回归直线过样本中心，∴，解得：，∴回归直线方程为，当时，，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选：B．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·河南·高三月考（理））某校为了解学生体能素质，随机抽取了名学生，进行体能测试.并将这名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（）A．这名学生中成绩在内的人数占比为B．这名学生中成绩在内的人数有人C．这名学生成绩的中位数为D．这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）【答案】C【分析】利用频率分布直方图求解判断.【详解】根据此频率分布直方图，成绩在内的频率为，所以A正确；这名学生中成绩在内的人数为所以B正确；根据此频率分布直方图，，，可得这名学生成绩的中位数，所以C错误﹔根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：所以D正确.故选：C.2．（2021·云南大理·模拟预测（理））在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为，中位数为；乙地：总体平均数为，总体方差大于；丙地：中位数为，众数为；丁地：总体平均数为，总体方差为．则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地【答案】D【分析】通过反例可知甲乙丙三地均不符合没有发生大规模群体感染的标志；假设丁地某天数据为，结合平均数可知方差必大于，由此知丁地没有发生大规模群体感染.【详解】对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.故选：D.3．（2021·广东茂名·高三月考）某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示：其众数，中位数，平均数的估计值分为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据频率直方图计算众数，中位数，平均数的估计值，再比较它们的大小即可.【详解】由直方图知，众数，中位数在上，则，解得，平均数.∴.故选：A．4．（2021·云南·曲靖一中高三月考（文））有20名学生参加数学夏令营活动，分A，B两组进行，每组10人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（）A．A组学生考核成绩的众数是78B．A，B两个组学生平均成绩一样C．B组考核成绩的中位数是79D．A组学生成绩更稳定【答案】C【分析】利用茎叶图逐项求解判断.【详解】A.A组学生考核成绩的众数是78，故正确；B.因为，，故正确；C.B组考核成绩的中位数是，故错误；D.，，，，故正确.故选：C5．（2021·辽宁丹东·高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】设男同学为人，女同学为人，根据平均数公式及方差公式计算可得；【详解】解：设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为即故选：D6．（2021·广东福田·高三月考）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元【答案】ABC【分析】根据频率分布直方图求出该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率即可判断A；根据频率分布直方图求出中位数即可判断B；根据频率分布直方图求出家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率解判断C；根据频率分布直方图求出平均数即可判断D.【详解】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为，所以比率估计为6%，故A正确；对于B，因为，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确；对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确；对于D，该地农户家庭年收入的平均值为，所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故D错误.故选：ABC.7．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））某中学随机抽查了名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：时长（分）人数（1）求这名同学的平均阅读时长（用区间中点值代表每个人的阅读时长）；（2）在阅读时长位于的人中任选人，求甲同学被选中的概率；（3）进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个列联表：阅读迷非阅读迷合计语文成绩优秀语文成绩不优秀合计根据表中数据，判断是否有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）小时；（2）；（3）有，理由见解析.【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数相乘，将所求结果相加后除以可得这名同学的平均阅读时长；（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）设这名同学的平均阅读时长为小时，则，故这名同学的平均阅读时长为小时；（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，从这名学生任取名学生，所有的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙，丁）、（丙、丁），共个，其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁），因此，所求概率为；（3），因此，有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.8．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））某中学随机抽查了名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：时长（分）人数（1）求这名同学的平均阅读时长（用区间中点值代表每个人的阅读时长）；（2）在阅读时长位于的人中任选人，求甲同学被选中的概率；（3）进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个列联表：阅读迷非阅读迷合计语文成绩优秀语文成绩不优秀合计根据表中数据，判断是否有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）小时；（2）；（3）有，理由见解析.【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数相乘，将所求结果相加后除以可得这名同学的平均阅读时长；（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得结果；（3）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）设这名同学的平均阅读时长为小时，则，故这名同学的平均阅读时长为小时；（2）设这名学生分别为甲、乙、丙、丁，从这名学生任取名学生，所有的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁）、（乙、丙）、（乙，丁）、（丙、丁），共个，其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：（甲，乙）、（甲、丙）、（甲、丁），因此，所求概率为；（3），因此，有的把握认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关.9．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择．为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者．（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，其中被调查的男性居民30人，女性居民20人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的，女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的，判断能否在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关？附：，．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（2）某垃圾站的日垃圾分拣量y（千克）与垃圾分类志愿者人数x（人）满足回归直线方程，数据统计如表：志愿者人数x（人）23456日垃圾分拣量y（千克）24294146t已知，，，根据所给数据求t，预测志愿者人数为10人时，该垃圾站的日垃圾分拣量．附：，．【答案】（1）能（2），93.4千克【分析】（1）根据题意，列出2×2列联表，再根据公式计算，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；（2）由表中数据和题中所给数据，可求出的值，再根据参考公式求得线性回归系数和，可得回归直线方程为，再将代入，即可求出结果．（1）解：根据题意，列出的2×2列联表如下：喜欢担任垃圾分类志愿者不喜欢担任垃圾分类志愿者合计男性居民102030女性居民15520合计252550，所以，能在犯错误概率不超过0.5%的前提下，认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关．（2）解：由表中数据可知，，，∴，∴，，∴回归直线方程为．当时，．所以当志愿者为10人时，垃圾分拣量大约为93.4千克.10.（2016高考四川文科）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在[0,0.5]的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1)，(1.5,2]，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.13=36000.（Ⅲ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.2．（2020·全国高考真题（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据的平均数为，方差为.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）；（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，所以男顾客对商场服务满意率估计为,50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为,（2）由列联表可知，所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.（2021·全国高考真题（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.5．（2017·全国高考真题（文））海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）0.62（2）有99%的把握（3）新养殖法优于旧养殖法【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2的观测值k＝≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．