2023年三垂直模型相关练习(含答案)

2023年三垂直模型相关练习一．选择题〔共13小题〕1．〔2023•雅安〕如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，那么AB的长是〔〕A．5B．C．D．2．〔2007•玉溪〕如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是〔〕A．50B．62C．65D．683．〔2023•郯城县一模〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么cosα=〔〕A．B．C．D．4．如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合．然后绕直角顶点顺时针旋转30°，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上．上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于〔〕A．：1B．〔﹣1〕：1C．〔+1〕：1D．2：5．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+2S2+2S3+S4=〔〕A．7.5B．6.5C．4.5D．46．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，∠D=∠E=90°，那么以下结论正确的个数有〔〕①CD=AE；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AD=BE．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，假设CD=4cm，那么AB的长度为〔〕A．4cmB．8cmC．9cmD．10cm8．〔2023•乐山〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A、C重合〕，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有以下结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个9．〔2023•拱墅区一模〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A、C重合〕，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有以下结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是〔〕A．①④B．②③C．①②④D．①②③④10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，那么AC的长为〔〕A．2B．3C．4D．11．两个全等含30°、60°角的三角板ADE与三角板ABC按如下图放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么∠MEC等于〔〕A．30°B．60°C．45°D．80°12．〔2006•菏泽〕如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA=∠B，假设AC=cm，AB=3cm，那么AD的长为〔〕A．cmB．cmC．2cmD．cm13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，那么每个小正方形的边长为〔〕A．6B．5C．D．二．填空题〔共4小题〕14．〔2023•绥化〕如下图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，假设DE=8，BF=5，那么EF的长为_________．15．〔2023•攀枝花〕如下图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①BE=AF，②S△EPF的最小值为，③tan∠PEF=，④S四边形AEPF=1，⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时〔点E不与A，B重合〕，上述结论始终正确是_________．16．〔2023•昆都仑区一模〕如下图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A，C重合〕，且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有以下结论：①△DEF是等腰直角三角形②四边形CEDF不可能为正方形③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化④点C到线段EF的最大距离为其中正确的有_________〔填上你认为正确结论的所有序号〕17．如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，那么CF=_________．三．解答题〔共6小题〕18．〔2023•东营〕〔1〕如图〔1〕，：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．〔2〕如图〔2〕，将〔1〕中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；假设不成立，请说明理由．〔3〕拓展与应用：如图〔3〕，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E三点互不重合〕，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，假设∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．19．〔2005•扬州〕〔此题有3小题，第〔1〕小题为必答题，总分值5分；第〔2〕、〔3〕小题为选答题，其中，第〔2〕小题总分值3分，第〔3〕小题总分值6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第〔2〕小题评分．〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．〔1〕当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；〔2〕当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；〔3〕当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第〔2〕、〔3〕小题你选答的是第2小题．20．〔2002•崇文区〕：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD．求证：S四边形EDFC=S△ABC．21．〔2000•河南〕如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G，求证：BD=CG．22．如图，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线AB经过点C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分别为A、B，试说明AC=BE的理由．解：因为DA⊥AB，EB⊥AB〔〕所以∠A=∠〔_________〕因为∠DCA=∠A+∠ADC〔_________〕即∠DCE+∠RCB=∠A+∠ADC．又因为∠DCE=90°，所以∠_________=∠ECB．在△ADC和△ECB中，所以△ADC≌△ECB〔_________〕所以AC=BE〔_________〕23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，〔1〕当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，并说明理由；〔2〕当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，写出DE、AD、BE具有的数量关系，不必说明理由；〔3〕当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，问DE、AD、BE具有怎样的数量关系，不必说明理由；2023年三垂直模型相关练习参考答案与试题解析一．选择题〔共13小题〕1．〔2023•雅安〕如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，那么AB的长是〔〕A．5B．C．D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：由三角形ABC为等腰直角三角形，可得出AB=BC，∠ABC为直角，可得出∠ABD与∠EBC互余，在直角三角形ABD中，由两锐角互余，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，及AB=BC，利用AAS可得出三角形ABD与三角形BEC全等，根据全等三角形的对应边相等可得出BD=CE，由CE=3得出BD=3，在直角三角形ABD中，由AD=2，BD=3，利用勾股定理即可求出AB的长．解答：解：如下图：∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∴∠CBE=∠DAB，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴BD=CE，又CE=3，∴BD=3，在Rt△ABD中，AD=2，BD=3，根据勾股定理得：AB==．应选D点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解此题的关键．2．〔2007•玉溪〕如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是〔〕A．50B．62C．65D．68考点：全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．解答：解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG∴AF=BG，AG=EF．同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S=〔6+4〕×16﹣3×4﹣6×3=50．应选A．点评：此题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是此题的关键．3．〔2023•郯城县一模〕如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么cosα=〔〕A．B．C．D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠CDF，根据正方形的每条边都相等可得AD=DC，然后利用“AAS〞证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AE，再利用勾股定理列式求出AD的长度，然后根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式计算即可得解．解答：解：如图，过点D作DE⊥l1于点E并反向延长交l4于点F，在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，∵∠α+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDF=180°﹣90°=90°，∴∠α=∠CDF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF〔AAS〕，∴DF=AE，∵相邻两条平行直线间的距离都是1，∴DE=1，AE=2，根据勾股定理得，AD===，所以，cosα===．应选A．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出全等三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．4．如图，有三条相互平行的直线，一块等腰直角三角板的一直角边与最上面的直线重合．然后绕直角顶点顺时针旋转30°，恰好B点在中间的一条直线上，A点在下面的一条直线上．上、中两平行线间的距离是m，中、下两平行线间的距离是n，那么n：m等于〔〕A．：1B．〔﹣1〕：1C．〔+1〕：1D．2：考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形．专题：计算题．分析：过A作AD⊥CE，交CE于点D，过B作BE⊥CE，交DC于点E，可得出一对直角相等，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到AC=BC，∠ACB=90°，利用平角的定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADC与三角形CEB全等，由全等三角形的性质得到CE=AD，而AD=m+n，可得出CE=m+n，在直角三角形CBE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到BC=2m，利用勾股定理列出m与n的关系式，整理后即可求出n：m的值．解答：解：过A作AD⊥CE，交CE于点D，过B作BE⊥CE，交DC于点E，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∠BCE=30°，∴∠ACD=∠EBC=60°，在△ACD和△CBE中，∵，∴△ACD≌△CBE〔AAS〕，∴AD=CE=m+n，又∵在Rt△BEC中，∠BCE=30°，BE=m，∴CB=2EB=2m，利用勾股定理得：BC2=CE2+BE2，即〔2m〕2=〔m+n〕2+m2，整理得：n2+2mn﹣2m2=0，方程两边同时除以m2，得〔〕2+2•〔〕﹣2=0，解得：=﹣1或=﹣﹣1〔舍去〕，那么n：m=〔﹣1〕：1．应选B点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．5．如图，在直线L上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1、3、3.5，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+2S2+2S3+S4=〔〕A．7.5B．6.5C．4.5D．4考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．专题：计算题．分析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，那么可根据“AAS〞判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有DE2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=3，S3+S4=3.5，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5．解答：解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE〔AAS〕，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴DE2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=3，S3+S4=3.5，∴S1+2S2+2S3+S4=1+3+3.5=7.5．应选A．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A，∠D=∠E=90°，那么以下结论正确的个数有〔〕①CD=AE；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④AD=BE．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：推理填空题．分析：根据直角三角形的性质推出∠2=∠3，然后利用AAS证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．解答：解：∵∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，A为直角顶点，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，AB=AC，∴∠2=∠3，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD〔AAS〕，∴CD=AE，AD=BE，∠1=∠4，故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，所以结论正确的有①④共2个．应选B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形直角边相等的性质，根据直角三角形的性质得到∠2=∠3是证明三角形全等的关键，也是解题的突破口．7．如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，假设CD=4cm，那么AB的长度为〔〕A．4cmB．8cmC．9cmD．10cm考点：全等三角形的判定与性质．分析：运用等角的余角相等，得出∠A=∠BFE，从而得到，△ABE≌△BCD，易求．解答：解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠ACD=90°∴∠AEB+∠A=90°∵AE⊥BD∴∠BFE=90°∴∠AEB+∠FBE=90°∴∠A=∠BFE，又∵AB=BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD=4cm，AB=BC∵E为BC的中点∴AB=BC=2BE=8cm．应选B．点评：此题综合运用了等角的余角相等，三角形全等的判定，性质等知识．需注意当题中出现两个或两个以上垂直时，一般要从中找到一对相等的角．8．〔2023•乐山〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A、C重合〕，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有以下结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．解答：解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确；故正确的有2个，应选：B．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．9．〔2023•拱墅区一模〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A、C重合〕，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有以下结论：①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是〔〕A．①④B．②③C．①②④D．①②③④考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；③由②△ADE≌△CDF，就有S△ADE=S△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．解答：解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；②①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF〔SAS〕；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；③∵△ADE≌△CDF，∴S△ADE=S△CDF．∵S四边形CEDF=S△CED+S△CFD，∴S四边形CEDF=S△CED+S△AED，∴S四边形CEDF=S△ADC．∵S△ADC=S△ABC=4．∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值==2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确．应选D．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．10．在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，那么AC的长为〔〕A．2B．3C．4D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质．专题：数形结合．分析：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，先证明RT△ACB≌RT△BFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．解答：解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，那么可得OM是梯形ACFD的中位线，∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CAB=∠FBD，在RT△ACB和RT△BFD中，∵，∴RT△ACB≌RT△BFD，∴AC=BF，BC=DF，设AC=x，那么OM==，CM==，在RT△OCM中，OM2+CM2=OC2，即2〔〕2=18，解得：x=4，即AC的长度为4．应选C．点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大．11．两个全等含30°、60°角的三角板ADE与三角板ABC按如下图放置，E、A、C三点在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，分别连接ME、MC，那么∠MEC等于〔〕A．30°B．60°C．45°D．80°考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理．专题：计算题．分析：连结AM，利用三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°、60°角的三角板得到∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，易得△DAB为等腰直角三角形，那么AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，那么∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°，由M点为BD的中点，AM=DM=BM，于是可根据“SAS〞判断△DEM≌△ACM，所以ME=MC，∠6=∠5，由于∠AMD=90°，即∠6+∠EMA=90°，得到∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，可判断△MEC为等腰直角三角形，根据等呀沤珠槿艳三角形的性质即可得到∠MEC=45°．解答：解：连结AM，如图，∵三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°、60°角的三角板，∴∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，∴∠DAB=90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∴AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，∴∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°∵M点为BD的中点，∴AM=DM=BM，在△DEM和△ACM中，∴△DEM≌△ACM〔SAS〕，∴ME=MC，∠6=∠5，∵∠AMD=90°，即∠6+∠EMA=90°，∴∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∴∠MEC=45°．应选C．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．12．〔2006•菏泽〕如图，D为△ABC的AB边上的一点，∠DCA=∠B，假设AC=cm，AB=3cm，那么AD的长为〔〕A．cmB．cmC．2cmD．cm考点：相似三角形的判定与性质．分析：先判断△ADC与△ACB相似，再利用相似三角形对应边成比例求解即可．解答：解：∵∠A=∠A，∠DCA=∠B，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∵AC=cm，AB=3cm，∴AD：=：3，解得AD=2cm．应选C．点评：此题主要考查相似三角形的判定及性质．13．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，那么每个小正方形的边长为〔〕A．6B．5C．D．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．专题：压轴题．分析：如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，可以得到△BGF∽△PGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长．解答：解：如下图：∵正方形ABCD边长为25，∴∠A=∠B=90°，AB=25，过点G作GP⊥AD，垂足为P，那么∠4=∠5=90°，∴四边形APGB是矩形，∴∠2+∠3=90°，PG=AB=10，∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠FGB，∴△BGF∽△PGE，∴，∴，∴GB=5．∴AP=5．同理DE=5．∴PE=AD﹣AP﹣DE=15，∴EG==5，∴小正方形的边长为．应选D．点评：此题主要考查了利用相似三角形的判定和相似三角形对应边成比例的性质和勾股定理，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．二．填空题〔共4小题〕14．〔2023•绥化〕如下图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，假设DE=8，BF=5，那么EF的长为13．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．解答：解：∵ABCD是正方形〔〕，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD〔等量代换〕；∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴在Rt△AFB和Rt△AED中，∵，∴△AFB≌△AED〔AAS〕，∴AF=DE=8，BF=AE=5〔全等三角形的对应边相等〕，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．故答案为：13．点评：此题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与长度的线段DE和BF数量关系．15．〔2023•攀枝花〕如下图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①BE=AF，②S△EPF的最小值为，③tan∠PEF=，④S四边形AEPF=1，⑤当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时〔点E不与A，B重合〕，上述结论始终正确是①②④⑤．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．专题：综合题；压轴题．分析：根据全等三角形的判定和等腰三角形的性质，对题中选项一一证明，得出正确结果．解答：解：连接PA．∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中点，∴PA=PC，∠APC=90°，∠PAE=∠PCF=45°．∵∠FPE=∠APC=90°，∴∠CPF=∠APE．∵PA=PC，∠PAE=∠PCF，∴△CFP≌△AEP．∴AE=CF．∵AB﹣AE=AC﹣CF，∴BE=AF，故①始终正确；∵△CFP≌△AEP，∴PE=PF．∵∠EPF=90°，∴△EPF为等腰直角三角形．∴∠PEF=45°．∴tan∠PEF=1，故③错误；∵PA=BP，∠B=∠PAF，BE=AF，∴△EBP≌△PAF．∵S△EBP+S△AEP+S△PAF+S△CFP=S△ABC，S△AEP+S△PAF=S四边形AEPF∴S四边形AEPF=S△ABC=〔2×2÷2〕=1，故④正确；∴S△EPF的最小值为，故②正确；∵EP+BE＞BP，BP=AP=CP，∴BP＞EP．∴以P点为圆心，EP为半径的圆不会与A、B、C三点相交，即点E不会与A、B重合．故⑤正确．应选①②④⑤．点评：此题把全等三角形的判定和等腰三角形的性质结合求解．综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．16．〔2023•昆都仑区一模〕如下图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动〔点E不与点A，C重合〕，且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有以下结论：①△DEF是等腰直角三角形②四边形CEDF不可能为正方形③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化④点C到线段EF的最大距离为其中正确的有①④〔填上你认为正确结论的所有序号〕考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定．分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．解答：解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=2，∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确；故正确的有①④．故答案为：①④点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．17．如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，DF=5，AF=3，那么CF=8．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFC≌△CDB，然后由全等三角形的对应边CD=AF，从而求得CF=AF+DF=5+3=8．解答：解：∵BD⊥CF，∠ACB=90°，AF⊥CF，∴∠DCB+∠DBC=∠DCB+∠ACF=90°，∴∠DBC=∠ACF；∴∠CAF=∠BCD〔等角的余角相等〕；在△AFC和△CDB中，，∴△AFC≌△CDB〔ASA〕，∴CD=AF=3，∴CF=CD+DF=3+5=8．故答案是：8．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．三．解答题〔共6小题〕18．〔2023•东营〕〔1〕如图〔1〕，：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．〔2〕如图〔2〕，将〔1〕中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；假设不成立，请说明理由．〔3〕拓展与应用：如图〔3〕，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E三点互不重合〕，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，假设∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：压轴题．分析：〔1〕根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS〞可判断△ADB≌△CEA，那么AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；〔2〕与〔1〕的证明方法一样；〔3〕与前面的结论得到△ADB≌△CEA，那么BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，那么∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，那么∠DBF=∠FAE，利用“SAS〞可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．解答：证明：〔1〕∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA〔AAS〕，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；〔2〕∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，∴△ADB≌△CEA〔AAS〕，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；〔3〕由〔2〕知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，∴△DBF≌△EAF〔sas〕，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．19．〔2005•扬州〕〔此题有3小题，第〔1〕小题为必答题，总分值5分；第〔2〕、〔3〕小题为选答题，其中，第〔2〕小题总分值3分，第〔3〕小题总分值6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第〔2〕小题评分．〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．〔1〕当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；〔2〕当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；〔3〕当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第〔2〕、〔3〕小题你选答的是第2小题．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：〔1〕根据可利用AAS证明①△ADC≌△CEB，由此可证②DE=AD+BE；〔2〕根据可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=AD﹣BE；〔3〕根据可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=BE﹣AD．解答：解：〔1〕①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．〔2〕∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．〔3〕当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD〔或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等〕．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．点评：此题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．20．〔2002•崇文区〕：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD．求证：S四边形EDFC=S△ABC．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：连接CD，由等腰直角三角形的性质用ASA证得△CFD≌△AED，△CED≌△BFD即可．解答：证明：连接CD，∵△ABC是等腰直角三角