2023届高考数学一轮复习解答题之解析几何专项练习（含解析）

届高考数学一轮复习解答题之解析几何专练1.已知椭圆经过点,且点A到椭圆C右顶点的距离为.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线与椭圆C交于点,原点O到直线l的距离为1.记椭圆的右焦点为F,求证:的值为定值.2.已知椭圆的上顶点为,左焦点为F,直线与直线平行.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为坐标原点,点在C上,且,求面积的最大值.3.已知，分别是双曲线的左、有焦点，，P是C上一点，，且.（1）求双曲线C的标准方程.（2）经过点的直线l与双曲线C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D，过点O作（O为坐标原点），垂足为M.则在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.4.已知抛物线的焦点为F，B是圆上的动点，的最大值为6.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若斜率为的直线经过点，过点G作直线与抛物线C交于点M，N，设，直线EM，EN与直线分别交于点P，Q，求证：点P，Q到直线的距离相等.5.已知分别为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由.6.已知椭圆的离心率为，且经过点，F是C的右焦点.抛物线的准线为l，M是l上的动点，直线AM与C的交点为B(异于点A).(1)当B是C的上顶点时，求的面积；(2)若l与x轴的交点为N，且M异于点N，求证：.7.如图所示，抛物线的准线为l，焦点为F，点A是l与x轴的交点，点M，N，Q是抛物线C上的点，直线MN经过点A，直线MQ经过点，且的面积为1.(1)求抛物线的标准方程；(2)直线QN是否过定点？若过定点，请求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.8.已知椭圆的长轴长为且.（I）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，坐标原点O到直线l的距离为，求弦长的最大值.9.如图，已知椭圆，椭圆C的离心率为，且经过点，过点的直线l与椭圆C相切于第一象限的点M，点O是坐标原点，于点N.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：的值为定值.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为M，直线与E的另一个交点为P，连接，若的周长为，且的面积为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线与椭圆E交于A，B两点，当m为何值时，恒成立？

答案以及解析1.答案：(1)(2)见解析解析：(1)因为椭圆经过点,所以.因为点A到椭圆C右顶点的距离为,所以,解得或(舍去).将代入,解得或(舍去).所以椭圆C的方程为.(2)证明：因为原点O到直线l的距离为1,所以,即.设.联立方程组.消去y并整理,得,所以,,所以.又,所以.同理,得.所以,所以.所以的值为定值4.2.答案：(1)(2)解析：本题考查椭圆方程、直线与圆锥曲线的位置关系、最值问题.(1)依题意得,得,所以,所以椭圆C的方程为.(2)由知直线斜率存在,则设直线,,联立消去y得,,则.因为,所以,得,即,化简得,解得或.因为直线不过,所以,所以.所以直线,则点O到直线的距离,所以.令,则,所以,因为在上单调递增,所以,所以,当且仅当,即时,的面积最大,所以面积的最大值为.3.答案：（1）（2）在x轴上存在定点，使得为定值解析：（1）由题意得，因为，，所以，又，所以，解得，所以，，所以双曲线C的标准方程为.（2）由（1）得，设，，则，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，联立直线l与双曲线C的方程，消去x得，，，.因为直线BD的斜率，所以直线BD的方程为，若在x轴上存在定点N，使得为定值，则直线BD过x轴上的某个定点.在直线BD的方程中，令，得，所以直线BD过定点.因为，所以为直角三角形，取OE的中点，则，为定值.综上，在x轴上存在定点，使得为定值.4.答案：(1)方程为.(2)证明过程见解析.解析：(1)由已知得，所以的最大值为，所以，抛物线C的标准方程为.(2)易得直线的方程为，即.设，由题意知直线的斜率存在，设其方程为，由得，所以.当直线EM和EN的斜率均存在时，易知直线EM的方程为，由得，同理可得，所以，所以点G是线段PQ的中点，又点G在直线上，所以点P，Q到直线的距离相等.当直线EM的斜率不存在时，，则直线EM的方程为，直线的方程为，易得，所以，同理，当直线EN的斜率不存在时可得，所以点P，Q到直线的距离相等，综上，点P，Q到直线的距离相等.5.答案：(1)方程为.(2)存在，.解析：(1)因为双曲线C与x轴两交点间距离为2，所以，则.设点M在x轴的上方，则.因为点M在双曲线C上，所以.因为，所以，所以.因为为等边三角形，所以为直角三角形.在中，，所以.由双曲线的定义可知，故双曲线C的方程为.(2)存在.理由如下：设直线AB的方程为，根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点P，则P点在x轴上，设点，则.将代入得直线AB的方程为，联立消去x得.当时，，则，所以，若为定值和参数m无关，即，解得，故定点坐标为.综上，存在一个定点使为定值.6.答案：(1)面积为.(2)证明过程见解析.解析：(1)由题可知，，，直线AB的方程为，由题意得，，，到直线AB的距离，.(2)解法一：根据对称性，不妨设点M位于第一象限，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，则，又，.由(1)知椭圆C的标准方程为，将代入，得，，，.又，，，.解法二：根据对称性，不妨设点M位于第一象限，由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，则，故.由(1)知椭圆C的标准方程为，将代入，得，，，又，，直线BF的方程为，即，过点M作，垂足为Q，则点M到直线BF的距离，，易得，.7.答案：(1)方程为.(2)该直线过定点.解析：(1)点A是抛物线的准线l与x轴的交点，点A的坐标为，点F的坐标为.在中，.又点B的坐标为，则点B到x轴的距离为1，即的高为1，，解得，抛物线C的方程为.(2)设，直线AM的方程为.联立得，，，直线MQ的方程为，代入得，，(*).同理直线QN方程为，即.根据(*)式可知该直线过定点.8.答案：（I）（Ⅱ）2解析：（I）椭圆C的长轴长为，.又，，椭圆C的方程为.（Ⅱ）设，，设直线AB的方程为，.，化简得.联立与椭圆C的方程，整理得，，，，，当且仅当，即时，等号成立，.9.答案：(1)方程为.(2)证明过程见解析.解析：(1)由已知可得解得所以椭圆C的方程为.(2)证明：设直线l的方程为，联立消去y得，则，，故切点，即，所以OM的方程为，所以，.又因