高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大选修4-5

第2章几个重要的不等式学业分层测评10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4-5(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．已知，b为正数，且a＋＝1，则＝(ax＋by)2与＝ax2＋by2的关系是( )abPQA．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q【剖析】设m＝(ax，by)，n＝(a，b)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.【答案】A2．已知x＋＝1，那么22＋3y2的最小值是()yx56A.6B．52536C.D．3625【剖析】2x22x2＋321＋16＋3＝(2)·yy23562x·2＋3y·32626≥＝(x＋y)＝.52355【答案】B1493．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则x＋y＋z的最小值为( )A．24B．30C．36D．48149【剖析】(x＋y＋z)x＋y＋z1232＝36，≥x·＋y·＋z·zxy149x＋y＋z≥36.1【答案】Cmn4．设x，y，m，n>0，且x＋y＝1，则u＝x＋y的最小值是()A．(m＋n)2B．mC.nD．(＋)2mnxy(xy)mnmn2(m【剖析】＝＋·＋≥x·＋y·＝依照柯西不等式，得＋xy＋xyn)2，当且仅当xy＝时，等号建立，mn2这时u取最小值为(m＋n).【答案】A5．函数y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B．5C．3D．5【剖析】依照柯西不等式，知y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5.【答案】B二、填空题6．函数y＝x＋3－x的最大值为__________．【剖析】由x，3－x非负且(x)2＋(3－x)2＝3，所以x＋3－x≤2[x2＋3－x2]2×3＝6.【答案】6927．设x，y为正数，且x＋2y＝8，则x＋y的最小值为__________.【导学号：94910031】(x＋2y)92【剖析】x＋y322＝(x)2＋(2y)2]＋2xyx·3y·22≥＋2y＝25，x又x＋2＝8，y29225∴x＋y≥8.25【答案】88．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cza＋b＋c30，则x＋y＋z＝________.【剖析】由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.abc当且仅当x＝y＝z＝k时取“＝”，由k2(x2＋2＋z2)2＝25×36，解得＝5，yk6a＋b＋c5所以＋＋＝k＝6.xyz5【答案】6三、解答题9．已知实数x，，z知足x＋2＋＝1，求t＝x2＋42＋z2的最小值．yyzy【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(2＋4222221x＋z)≥1，即x＋4y＋z≥.y31111当且仅当x＝2y＝z＝3，即x＝3，y＝6，z＝3时等号建立．故x2＋4y2＋z2的最小值为1.310．已知θ为锐角，a，b均为正数．2a2b2求证：(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.ab【证明】设m＝cosθ，sinθ，nθ，sinθ)，＝(cosaθ·cosb则|a＋b|＝cosθ＋sinθ·sinθ＝|m·n|≤|m||n|322abcosθ＋sinθ·1a2b2cos2θ＋sin2θ，2a2b2∴(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.能力提升]1．已知x，y为正数，且xy＝1，则1＋11＋1的最小值为()xyA．4B．21C．1D．411【剖析】1＋x1＋y122＝12＋1x·12＋y11212≥1×1＋×＝1＋xy＝22＝4.xy【答案】Aa＋a＋＋an12n1，则P，Q间的大2．设a1，a2，，an为正数，P＝n，Q＝11＋＋＋a12n小关系为()A．>B．≥QPQPC．P<QD．P≤Q【剖析】12n1＋1＋＋1n2(1＋1＋＋1)＝n，n个a1＋a2＋＋ann.∴≥1n11＋＋＋ana1a2即≥.PQ【答案】B3．已知函数y＝3x－5＋46－x，则函数的定义域为__________，最大值为__________．【剖析】函数的定义域为5,6]，且y＞0，4y＝3x－5＋46－x≤32＋42×x－52＋6－x2＝5，当且仅当36－x＝4x－5，134即x＝时取等号．25ymax＝5.【答案】5,6]54．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.2221112求证：(a＋b＋c)sin2A＋sin2B＋sin2C≥36R.【证明】由三角形中的正弦定理得：sinA＝a，所以212＝4R2，2RsinA