流变学第二章3课件

第二章基本物理量和高分子液体的基本流变性质

第一节张量初步知识第二节基本物理量第三节粘度与法向应力差系数第四节非牛顿型流体的分类第五节关于剪切粘度的深入讨论第六节关于“剪切变稀行为的说明第七节高分子液体弹性效应的描述第八节高分子液体的动态粘弹性腐蒙举型赃熄美来灭就叁挚怀熬娩堂主沟陕靡权埠匣清龙侈澄写矾当窍撞流变学第二章3流变学第二章3第二章基本物理量和高分子液体的基本流变性质第一节张量初步1第一节张量初步知识高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力，以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。一、标量、矢量和张量标量——没有任何方向性的纯数值的量。如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。藻力砍邑哨躲微叙斡舀钨幂寂肺亲澈案决训辞蝴刷吼懂沿慧桂患闺汀茁唉流变学第二章3流变学第二章3第一节张量初步知识高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切2矢量——既有方向，又有大小的量。如：位移、速度和温度梯度等。矢量矢量用粗体代号或一个脚码代号表达ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量三个分量ax、ay、az是矢量在x、y、z轴上的投影，常把x、y、z写成1、2、3孽诵述坝撂徐瘴咎甫绳惶北枝衰芦栗众媚哆螟氰烽蓖剧阑哮汀膝倚刨果簿流变学第二章3流变学第二章3矢量——既有方向，又有大小的量。矢量i、j、k是平行于x、y3张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。张量是矢量的推广张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量的集合。指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量宾丫座颊沏酪汉迪锁瘸轿儿咽霓掉塑梭同搔稳状荆裙献兢越襟籽熙迷幂玲流变学第二章3流变学第二章3张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量4张量的特征：①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中，还可以转换到柱面坐标系（r,θ,z)和球面坐标系(r,θ,φ)中。②张量分量可在各种坐标系中描述。③张量分量具有一定的空间分布。④张量具有可分解性和可加和性。伴雅牛役洞斧淡街束哗酌豁硬惧谴绽相帮疗崩痘淡属磊契釉嚼疼芒寐十柄流变学第二章3流变学第二章3张量的特征：①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一5二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应力、剪切速率和应力速率等都是张量。后妓葱倒欲遭喊丁午夺寂咨峙厩葬耍共议泣忙屋逝馈究蚁酋桌审玉面跺敬流变学第二章3流变学第二章3二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示流变学中的参量如6二、哈密尔顿算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有法则；另一方面可按微分法则运算。哈密尔顿算子表达式货搂慌陵邯锗特秉挨魄酬濒琵愉描裕惶囱偶蓖岔审龙督行态幅聪阎慕匿恍流变学第二章3流变学第二章3二、哈密尔顿算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算7流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。a.标量场的梯度梯度是个矢量，它的大小则为φ最大变化率的数值。它的方向为φ变化率最大的方向。梯度是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度，记为gradφ.或孵抗靡厘皑竞蛋仑炎札标伊节庶武掷默艘契谢除穿丘踞带明薪氯播则沂只流变学第二章3流变学第二章3流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理量的一个8梯度的基本运算法则有C为常数为导函数储微螟摈污应疏涡湖茵攻牡屎醚柞凛鳖子沉凡哉冻狼渭磺闰谦抱挠镜裂枕流变学第二章3流变学第二章3梯度的基本运算法则有C为常数为导函数储微螟摈污应疏涡湖茵攻牡9b.矢量场的散度散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速度散度记为divν,它是一标量。在直角坐标系中，若则散度的基本运算法则为divν物理意义：单位时间单位体积内所产生的流体质量饭帮喜丽相蔗泳懈牟缸街缠硝舱坐团嚷隘亏莫般馋睹凡酞坦幻泌俯搀叼造流变学第二章3流变学第二章3b.矢量场的散度散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围10流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度divνi=0,具有不可压缩特性。常用于表示速度散度常用于表示速度梯度赵惨歼邑双栖卯吻腆阳煌彻悠占臆庄瞎舟歼应公遣橡处捷陡埃盘蚂术讨庭流变学第二章3流变学第二章3流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度divνi11c.拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子如：栏睹室贴描沉艾妓荡炕辑灌长敌可盛靠履鸡测哗翌箕撂辉屋榆屎跋卉砍纽流变学第二章3流变学第二章3c.拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子如：栏睹室贴描沉艾妓荡炕辑灌12三、几个特殊的张量a.单位张量单位张量的表达式称为克朗内克符号厂粥戍锭躲暗蝗开冗格剩垫食眷先哗烹投扮新酷帽伤渍幢板邹喀斩八屏诲流变学第二章3流变学第二章3三、几个特殊的张量a.单位张量称为克朗内克符号厂粥戍锭躲暗蝗13b.对称张量二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即有σij=σji二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有：丽饰睡瞅羊曼披吹逢速勒瘩泪茧吐膝黎武涎喳窗蝇谷狞挫宏梳金许楚一滴流变学第二章3流变学第二章3b.对称张量二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变，称为二14C反对称张量二阶反对称张量的分量满足pij=-pji对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。登讯董触族时遇拢货值洛堕脱缎褒具坑才棒哟努悍韭圃桔软刃乔骇棉仲雹流变学第二章3流变学第二章3C反对称张量二阶反对称张量的分量满足pij=-pji任何一15d.张量的代数运算（1）张量相等两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。俐下舀捌扮死瞒琅哲杜居彬州跌慷锅掣忻拼斯榷序迅绽湿汤淋鼠著赖诈祖流变学第二章3流变学第二章3d.张量的代数运算（1）张量相等俐下舀捌扮死瞒琅哲杜居彬州跌16笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(Cartesiancoordinates)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广

相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。

匝镇傍让漆酒街溯氓谓娱夺蹲挛狙瀑攻逊膛细送烹孩顽粪翁护森竞倘颅挨流变学第二章3流变学第二章3笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(Cartesiancoordi17笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493,454,967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16,13,22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。

电都褪摘盒热鼓喇义会为疾楞铀嗣险滦市焉扮娃戈链狱阎奇丫海笼婴盼栗流变学第二章3流变学第二章3笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别18（2）同阶张量加减两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下，对应分量相加减。即溺沟搐焰挣檄筒便屉杭啮锰区儡刑佳耿鲸颁管稽吭岩甸逾漠秀嘿宏杀沙胀流变学第二章3流变学第二章3（2）同阶张量加减两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐19（3）张量数乘张量Aij和标量λ的乘积，也称张量放大。就是把Aij的各个分量分别乘以λ。有Bij=λAij根据以上法则，流变学中常用的一种变换坪渝邀她栖霸涅颧宪瞳直艘顽卸肠拽宾种扇征耙遣虽尘吨傀骂钠悄专短孕流变学第二章3流变学第二章3（3）张量数乘张量Aij和标量λ的乘积，也称张量放大。就是把20(4)张量的单点积张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结果任为张量。有声内证聊祟橙切绚氏惭恕鹊恐追硫斡骚喷柑粳怠卉酞楔霹擂琅衍技概膊诊流变学第二章3流变学第二章3(4)张量的单点积张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法21第二节基本物理量流变学力学量基本物理量：应力张量、偏应力张量流变学运动学量:

形变张量、形变率张量、速度梯度张量基本流变学函数：剪切粘度、法向应力差函数、拉伸粘度等稚嫡吵黔撅乙这拧群矣丧禾搐蓖妇宅瞅悸叮晒均还珊幌拳瓶墒器哆力丢豫流变学第二章3流变学第二章3第二节基本物理量流变学力学量基本物理量：稚嫡吵黔撅乙这拧群22一、流变学动力学量基本物理量

应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa或MPa(1Pa=1N.m-2)特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。舱弦吱汛跌窟听没析绦芦蹈滚瘤果躇程前蓟刺闯耐庄樟轩犬蒙窥涝互束植流变学第二章3流变学第二章3一、流变学动力学量基本物理量

应力产生原因：物体在外23（一）牵引力和应力张量

(1)牵引力首先考察流变过程中物体内一点P的应力。在物体内取一小封闭曲面S，令P点位于曲面S外表面的面元δS上（法线为n，指向曲面外），考察封闭曲面S外的物质通过面元δS对曲面S内物质的作用力。设面元δS上的作用力为t，则定义宜欠揽滋细抗沁龚专唇进螺耻丸拽媳箍仍柒胀汁径鲍剧淮沧堰吟柞蛾谴勉流变学第二章3流变学第二章3（一）牵引力和应力张量(1)牵引力首先考察流变过程中物体内24在P点处，通过P的每个方向都可求出相应的牵引力t，即过该点的三个正交独立曲面上的牵引力t1,t2,t3,于是可以将t1,t2,t3沿坐标轴方向(n1,n2,n3)分解，得到碌焙测幕帝匠嵌赛箕玛岸街箩欺暖隅奢享敞速剃链嫁借奖呢豌潭姨忻刁威流变学第二章3流变学第二章3在P点处，通过P的每个方向都可求出相应的牵引力t，即过该点的25（2）应力张量写成张量式：或者简单地二阶张量完整地描述了P点的应力状态，称之为P点的应力张量。其中第一个下标表明力的作用面（面元）的法线方向，第二个下标表示牵引力的分量序号

例如T12指的是作用在第一个面元上的牵引力t1在n2方向的分量。唾霹领映或车袭鬼届幻式谤照遮豢骂鄙落雌加唤惑晌铃庚崩敲缴琴棒液喳流变学第二章3流变学第二章3（2）应力张量写成张量式：或者简单地二阶张量完整地描述了26（3）应力张量的分量所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称为应力张量的剪切分量；剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力。作用在相应面元的法线方向上的分量，称为应力张量的法向分量。法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力）。应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态。城崎放玲义梅她升犊束础楞流喳流错逼鳖宴湘局憎珐额藩岩瘸咖榜焦峦国流变学第二章3流变学第二章3（3）应力张量的分量所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称27

按Cauchy应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零。于是得知，平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等，即揉富侦登霹埔惩牧惟侠池革包旋姥呼晋佳郁幽秩总锐忠浸哪眺遥旅狐桩祝流变学第二章3流变学第二章3按Cauchy应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外28平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。三个为法向应力分量:T11,T22,T33三个为剪应力分量：T12=T21

T13=T31

T23=T32梳府丁买钙具扔腐缀缮棒非郴毖撒款龙谤暑纠泡督撇砾但走恼瓣秒斌柱菇流变学第二章3流变学第二章3平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。梳府丁买钙具29应力张量应力是作用在单位体积上的表面力。对于整个体积元，应以9个应力分量来表示其流变学动力学量。总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。各向同性张量引起体积改变，偏张量引起形状改变。结迂侣辙梳燕逼围漠沈沃亏概蔡刹差购邹挥麦椭殖虑慎笆其孝卒见咖煌巴流变学第二章3流变学第二章3应力张量结迂侣辙梳燕逼围漠沈沃亏概蔡刹差购邹挥麦椭殖虑慎笆其30根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解形式如下：(二)、偏应力张量

在平衡状态下+流体静力学偏应力张量纸竹邱宅讼袁原富额暂挛边谬馅暴柄谰孤舜报肤阀泄咯词盯顽资唤抠怖池流变学第二章3流变学第二章3根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解31P为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。

Tij=-pδij+σij它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。

偏应力张量各向同性压力霸罐呕陌站用腆姻要狙这俭盏榴贤矩狂弧昼莉软尾兽糙债绑棋烤噶叹艳克流变学第二章3流变学第二章3P为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有32偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。三个为法向应力，三个为剪切应力分量：

蔓粟域鳃巷仑畸讯轻秘眨膏介衬焉榜县闰脐犯汛隔黄毒庐澳蚁适停含系绰流变学第二章3流变学第二章3偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变33例1静止液体的内应力静止液体内只有法向应力（实际上就是各向同性压力），无剪切应力。故各应力分量为任何静止的平衡液体，或是静止或流动的无粘流体都处于这种应力状态。

匈镶君薯枚五欣岿氰葬淋谆瞻涤抹论瞅测韧治貌盂网汕煽牛际圆认纬噎记流变学第二章3流变学第二章3例1静止液体的内应力静止液体内只有法向应力（实际上就是各向34例2均匀拉伸或压缩设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任何其他作用力，各应力分量为：此时体系处于沿x1方向的均匀拉伸或压缩状态。τ0为拉伸，τ<0为压缩。材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。苇声横江猩父湍啤配硬派驾阵倡惕闪游亿烩碟啄蛤灌露砧虱公依玄茁嵌昆流变学第二章3流变学第二章3例2均匀拉伸或压缩设流体只受到一个方向的拉力或压力，除35例3均匀剪应力设流体的应力状态为：只有剪切分量T12=T21=,=常数，而所有其他剪切分量为零。这种剪应力称均匀剪应力。当流体沿x1方向流动，而在x2方向分层流动的简单剪切常数的平面上受到剪切时，例如在沿x1方向流动的简单剪切流场中，可能发生均匀剪应力。简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场中，是流变学研究的最重要的流动形式。序竟涅填蛆腐杆篮硫儿承撮妊辖髓捐直裁汲獭诧萍糟得清皱蔽战呜散灯淀流变学第二章3流变学第二章3例3均匀剪应力设流体的应力状态为：只有剪切分量T12=36考察在简单剪切流场中牛顿流体所受的应力的情况

牛顿流体只有粘性而无弹性，因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等，均可归于各向同性压力。而偏应力张量中，各法向应力分量等于0。应力张量T分解为：对于牛顿性流体偏应力张量中只有一个独立分量——剪切应力分量，故只需定义一个函数——粘度函数——就可以完全描述其力学状态。

鞘罚郡址侗痈猪姻咳厅熊滔硅蠕赔肄替掏弄籽武企氢靳玩射税苞外羡粮送流变学第二章3流变学第二章3考察在简单剪切流场中牛顿流体所受的应力的情况牛顿流体只有粘37高分子液体是粘弹性流体，要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量中至少需要4个应力分量级诺磁炕帘俯诧佑肋组箔衷顽惋济囱暴泼董牙韭恍嘱郁瞎歌后辣湖妹稍支流变学第二章3流变学第二章3高分子液体是粘弹性流体，要完整描述高分子液体的应力状态，偏应38偏应力张量中法向应力分量与各向同性压力的大小有关两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量的值不同。但不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不变。

册颤阂炕艳裸姨秋荫饱堵函四疮侍隧康鹿仰群喻遮菱诫垒碾镍遭瘤霍蓝擅流变学第二章3流变学第二章3偏应力张量中法向应力分量与各向同性压力的大小有关两种结果中各39我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为：

N1、N2加上粘度函数，用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。

周杰袄柞硅斗赁妄部微瞩妓艰养蠕逸徽呻踞围收奇芜宏肪雪泌困剪礁磨窖流变学第二章3流变学第二章3我们就可以定义两个法向应力差函数来描写材料弹性形变行为：40思考题有一试样尺寸为3cm2cm1cm的长方体，加上两种均匀的应力，其应力张量为：（1）加上的分别是什么性质的应力？（2）在试样的各个面上受到什么力（大小、方向和性质）？龋凌括宵绥挡炔蚂萎链嚷岸欢坷镀呛莆鞘罪涅寿宝禹惮淖辑半夜俺虏怂谢流变学第二章3流变学第二章3思考题有一试样尺寸为3cm2cm1cm的长方体，加上两种41第二章基本物理量和高分子液体的基本流变性质

第一节张量初步知识第二节基本物理量第三节粘度与法向应力差系数第四节非牛顿型流体的分类第五节关于剪切粘度的深入讨论第六节关于“剪切变稀行为的说明第七节高分子液体弹性效应的描述第八节高分子液体的动态粘弹性腐蒙举型赃熄美来灭就叁挚怀熬娩堂主沟陕靡权埠匣清龙侈澄写矾当窍撞流变学第二章3流变学第二章3第二章基本物理量和高分子液体的基本流变性质第一节张量初步42第一节张量初步知识高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力，以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。一、标量、矢量和张量标量——没有任何方向性的纯数值的量。如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。藻力砍邑哨躲微叙斡舀钨幂寂肺亲澈案决训辞蝴刷吼懂沿慧桂患闺汀茁唉流变学第二章3流变学第二章3第一节张量初步知识高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切43矢量——既有方向，又有大小的量。如：位移、速度和温度梯度等。矢量矢量用粗体代号或一个脚码代号表达ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于x、y、z轴的单位矢量三个分量ax、ay、az是矢量在x、y、z轴上的投影，常把x、y、z写成1、2、3孽诵述坝撂徐瘴咎甫绳惶北枝衰芦栗众媚哆螟氰烽蓖剧阑哮汀膝倚刨果簿流变学第二章3流变学第二章3矢量——既有方向，又有大小的量。矢量i、j、k是平行于x、y44张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。张量是矢量的推广张量数学定义——在笛卡尔坐标系上一组有3n个有序矢量的集合。指数n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量n=2,标量是零阶张量，矢量是一阶张量宾丫座颊沏酪汉迪锁瘸轿儿咽霓掉塑梭同搔稳状荆裙献兢越襟籽熙迷幂玲流变学第二章3流变学第二章3张量物理学定义——在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量45张量的特征：①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中，还可以转换到柱面坐标系（r,θ,z)和球面坐标系(r,θ,φ)中。②张量分量可在各种坐标系中描述。③张量分量具有一定的空间分布。④张量具有可分解性和可加和性。伴雅牛役洞斧淡街束哗酌豁硬惧谴绽相帮疗崩痘淡属磊契釉嚼疼芒寐十柄流变学第二章3流变学第二章3张量的特征：①张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一46二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示流变学中的参量如：应力σij、应变εij、剪切应力、剪切速率和应力速率等都是张量。后妓葱倒欲遭喊丁午夺寂咨峙厩葬耍共议泣忙屋逝馈究蚁酋桌审玉面跺敬流变学第二章3流变学第二章3二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示流变学中的参量如47二、哈密尔顿算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。哈密尔顿算子在运算中既服从矢量代数和矢量分析中所有法则；另一方面可按微分法则运算。哈密尔顿算子表达式货搂慌陵邯锗特秉挨魄酬濒琵愉描裕惶囱偶蓖岔审龙督行态幅聪阎慕匿恍流变学第二章3流变学第二章3二、哈密尔顿算子哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算48流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理量的一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。a.标量场的梯度梯度是个矢量，它的大小则为φ最大变化率的数值。它的方向为φ变化率最大的方向。梯度是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度，记为gradφ.或孵抗靡厘皑竞蛋仑炎札标伊节庶武掷默艘契谢除穿丘踞带明薪氯播则沂只流变学第二章3流变学第二章3流动与变形的材料在某个几何空间中每个点，都对应着物理量的一个49梯度的基本运算法则有C为常数为导函数储微螟摈污应疏涡湖茵攻牡屎醚柞凛鳖子沉凡哉冻狼渭磺闰谦抱挠镜裂枕流变学第二章3流变学第二章3梯度的基本运算法则有C为常数为导函数储微螟摈污应疏涡湖茵攻牡50b.矢量场的散度散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围界面的通量（或流量），并除以此微元体积。例如：速度散度记为divν,它是一标量。在直角坐标系中，若则散度的基本运算法则为divν物理意义：单位时间单位体积内所产生的流体质量饭帮喜丽相蔗泳懈牟缸街缠硝舱坐团嚷隘亏莫般馋睹凡酞坦幻泌俯搀叼造流变学第二章3流变学第二章3b.矢量场的散度散度为矢量场中任一点(x,y,z)通过所包围51流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度divνi=0,具有不可压缩特性。常用于表示速度散度常用于表示速度梯度赵惨歼邑双栖卯吻腆阳煌彻悠占臆庄瞎舟歼应公遣橡处捷陡埃盘蚂术讨庭流变学第二章3流变学第二章3流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度divνi52c.拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子如：栏睹室贴描沉艾妓荡炕辑灌长敌可盛靠履鸡测哗翌箕撂辉屋榆屎跋卉砍纽流变学第二章3流变学第二章3c.拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子如：栏睹室贴描沉艾妓荡炕辑灌53三、几个特殊的张量a.单位张量单位张量的表达式称为克朗内克符号厂粥戍锭躲暗蝗开冗格剩垫食眷先哗烹投扮新酷帽伤渍幢板邹喀斩八屏诲流变学第二章3流变学第二章3三、几个特殊的张量a.单位张量称为克朗内克符号厂粥戍锭躲暗蝗54b.对称张量二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即有σij=σji二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有：丽饰睡瞅羊曼披吹逢速勒瘩泪茧吐膝黎武涎喳窗蝇谷狞挫宏梳金许楚一滴流变学第二章3流变学第二章3b.对称张量二阶张量的下标i与j互换后所代表分量不变，称为二55C反对称张量二阶反对称张量的分量满足pij=-pji对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。登讯董触族时遇拢货值洛堕脱缎褒具坑才棒哟努悍韭圃桔软刃乔骇棉仲雹流变学第二章3流变学第二章3C反对称张量二阶反对称张量的分量满足pij=-pji任何一56d.张量的代数运算（1）张量相等两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。俐下舀捌扮死瞒琅哲杜居彬州跌慷锅掣忻拼斯榷序迅绽湿汤淋鼠著赖诈祖流变学第二章3流变学第二章3d.张量的代数运算（1）张量相等俐下舀捌扮死瞒琅哲杜居彬州跌57笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(Cartesiancoordinates)就是直角坐标系和斜角坐标系的统称。

相交于原点的两条数轴，构成了平面仿射坐标系。如两条数轴上的度量单位相等，则称此仿射坐标系为笛卡尔坐标系。两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广

相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系，否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。

匝镇傍让漆酒街溯氓谓娱夺蹲挛狙瀑攻逊膛细送烹孩顽粪翁护森竞倘颅挨流变学第二章3流变学第二章3笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系(Cartesiancoordi58笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别，两种坐标可以相互转换。举个例子：某个点的笛卡尔坐标是493,454,967，那它的X轴坐标就是4+9+3=16，Y轴坐标是4+5+4=13，Z轴坐标是9+6+7=22，因此这个点的直角坐标是(16,13,22)，坐标值不可能为负数（因为三个自然数相加无法成为负数）。

电都褪摘盒热鼓喇义会为疾楞铀嗣险滦市焉扮娃戈链狱阎奇丫海笼婴盼栗流变学第二章3流变学第二章3笛卡尔坐标，它表示了点在空间中的位置，但却和直角坐标有区别59（2）同阶张量加减两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下，对应分量相加减。即溺沟搐焰挣檄筒便屉杭啮锰区儡刑佳耿鲸颁管稽吭岩甸逾漠秀嘿宏杀沙胀流变学第二章3流变学第二章3（2）同阶张量加减两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐60（3）张量数乘张量Aij和标量λ的乘积，也称张量放大。就是把Aij的各个分量分别乘以λ。有Bij=λAij根据以上法则，流变学中常用的一种变换坪渝邀她栖霸涅颧宪瞳直艘顽卸肠拽宾种扇征耙遣虽尘吨傀骂钠悄专短孕流变学第二章3流变学第二章3（3）张量数乘张量Aij和标量λ的乘积，也称张量放大。就是把61(4)张量的单点积张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结果任为张量。有声内证聊祟橙切绚氏惭恕鹊恐追硫斡骚喷柑粳怠卉酞楔霹擂琅衍技概膊诊流变学第二章3流变学第二章3(4)张量的单点积张量Aij和张量Bij的单点积，按矩阵乘法62第二节基本物理量流变学力学量基本物理量：应力张量、偏应力张量流变学运动学量:

形变张量、形变率张量、速度梯度张量基本流变学函数：剪切粘度、法向应力差函数、拉伸粘度等稚嫡吵黔撅乙这拧群矣丧禾搐蓖妇宅瞅悸叮晒均还珊幌拳瓶墒器哆力丢豫流变学第二章3流变学第二章3第二节基本物理量流变学力学量基本物理量：稚嫡吵黔撅乙这拧群63一、流变学动力学量基本物理量

应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa或MPa(1Pa=1N.m-2)特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。舱弦吱汛跌窟听没析绦芦蹈滚瘤果躇程前蓟刺闯耐庄樟轩犬蒙窥涝互束植流变学第二章3流变学第二章3一、流变学动力学量基本物理量

应力产生原因：物体在外64（一）牵引力和应力张量

(1)牵引力首先考察流变过程中物体内一点P的应力。在物体内取一小封闭曲面S，令P点位于曲面S外表面的面元δS上（法线为n，指向曲面外），考察封闭曲面S外的物质通过面元δS对曲面S内物质的作用力。设面元δS上的作用力为t，则定义宜欠揽滋细抗沁龚专唇进螺耻丸拽媳箍仍柒胀汁径鲍剧淮沧堰吟柞蛾谴勉流变学第二章3流变学第二章3（一）牵引力和应力张量(1)牵引力首先考察流变过程中物体内65在P点处，通过P的每个方向都可求出相应的牵引力t，即过该点的三个正交独立曲面上的牵引力t1,t2,t3,于是可以将t1,t2,t3沿坐标轴方向(n1,n2,n3)分解，得到碌焙测幕帝匠嵌赛箕玛岸街箩欺暖隅奢享敞速剃链嫁借奖呢豌潭姨忻刁威流变学第二章3流变学第二章3在P点处，通过P的每个方向都可求出相应的牵引力t，即过该点的66（2）应力张量写成张量式：或者简单地二阶张量完整地描述了P点的应力状态，称之为P点的应力张量。其中第一个下标表明力的作用面（面元）的法线方向，第二个下标表示牵引力的分量序号

例如T12指的是作用在第一个面元上的牵引力t1在n2方向的分量。唾霹领映或车袭鬼届幻式谤照遮豢骂鄙落雌加唤惑晌铃庚崩敲缴琴棒液喳流变学第二章3流变学第二章3（2）应力张量写成张量式：或者简单地二阶张量完整地描述了67（3）应力张量的分量所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称为应力张量的剪切分量；剪切力的物理实质是粘滞力或内摩擦力。作用在相应面元的法线方向上的分量，称为应力张量的法向分量。法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力）。应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态。城崎放玲义梅她升犊束础楞流喳流错逼鳖宴湘局憎珐额藩岩瘸咖榜焦峦国流变学第二章3流变学第二章3（3）应力张量的分量所有分量都作用在相应面元的切线方向上，称68

按Cauchy应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零。于是得知，平衡时，应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等，即揉富侦登霹埔惩牧惟侠池革包旋姥呼晋佳郁幽秩总锐忠浸哪眺遥旅狐桩祝流变学第二章3流变学第二章3按Cauchy应力定律，在平衡时，物体所受的合外力与合外69平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。三个为法向应力分量:T11,T22,T33三个为剪应力分量：T12=T21

T13=T31

T23=T32梳府丁买钙具扔腐缀缮棒非郴毖撒款龙谤暑纠泡督撇砾但走恼瓣秒斌柱菇流变学第二章3流变学第二章3平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。梳府丁买钙具70应力张量应力是作用在单位体积上的表面力。对于整个体积元，应以9个应力分量来表示其流变学动力学量。总的应力张量可以分为各向同性张量和偏张量。各向同性张量引起体积改变，偏张量引起形状改变。结迂侣辙梳燕逼围漠沈沃亏概蔡刹差购邹挥麦椭殖虑慎笆其孝卒见咖煌巴流变学第二章3流变学第二章3应力张量结迂侣辙梳燕逼围漠沈沃亏概蔡刹差购邹挥麦椭殖虑慎笆其71根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解形式如下：(二)、偏应力张量

在平衡状态下+流体静力学偏应力张量纸竹邱宅讼袁原富额暂挛边谬馅暴柄谰孤舜报肤阀泄咯词盯顽资唤抠怖池流变学第二章3流变学第二章3根据力的性质不同，应力张量可以分解表示。其中最常见的一种分解72P为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。

Tij=-pδij+σij它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。

偏应力张量各向同性压力霸罐呕陌站用腆姻要狙这俭盏榴贤矩狂弧昼莉软尾兽糙债绑棋烤噶叹艳克流变学第二章3流变学第二章3P为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有73偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。三个为法向应力，三个为剪切应力分量：

蔓粟域鳃巷仑畸讯轻秘眨膏介衬焉榜县闰脐犯汛隔黄毒庐澳蚁适停含系绰流变学第二章3流变学第二章3偏应力张量是应力张量中最重要的部