老师-振动与波动

振动与波动（习题课）

哈尔滨工业大学王志红20140419

1.动力学判据受正比、反向的恢复力作用动力学方程2.能量判据振动系统机械能守恒积分3.运动学判据相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化（一次积分）（二次积分）受正比、反向的恢复力作用什么是简谐振动？-简谐振动的判据1.简谐振动(4)(2)(3)(5)(1)平衡位置弹簧振子mT单摆振动曲线描述旋转矢量描述动力学方程描述运动学方程描述简谐运动的描述简谐振动的解析描述简谐振动的能量常见的简谐运动弹簧振子单摆复摆2.阻尼振动考虑与速率成正比的阻力过阻尼临界阻尼xt0欠阻尼3.受迫振动共振4.1振动的合成O一.两个同方向同频率简谐运动的合成(同相)(反相)4.2.

两个同方向不同频率的简谐运动的合成拍现象t4.3.相互垂直的简谐运动的合成1:1

1:21:32:33:4李萨如图形机械振动小结1简谐振动2阻尼振动3受迫振动（共振）4振动的合成(同方向，同频率振动的合成）机械波一、平面简谐波波函数：(1).当x=x0时：(2).当t=t0时：波函数的物理意义：反映了时间和空间的周期性。波动微分方程：波速：横波波速纵波波速G为剪切模量Y为杨氏模量弦线中的波速T为弦中的张力波的能量平均能流密度（波的强度）能量密度平均能量密度二、波的干涉式中加强减弱(n=012……)相位差

两列相干波，振动方向相同，振幅相同，频率相同，传播方向相反（初位相为0）叠加而成驻波驻波振幅驻波方程二、驻波方程(2).相邻节点间各点振动同相，一节点两侧各点振动反相。特点：(1).相邻的波节（腹）之间的距离是/2。任意两节点间的距离为n/2。(3).没有能量的定向传播，两波节之间能量守恒。3、波源观测者同时相对介质运动1.波源静止，观察者相对介质运动2、观测者静止,波源相对于介质运动三、多普勒效应振动问题的分类：1、已知振动方程，求特征参量2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动4、简谐振动的合成习题选讲1.水平弹簧振子，弹簧倔强系数k=24N/m，重物质量m=6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。习题5.11解：设物体的运动方程为

x=Acos(t+)恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能mkFx–A–sO角频率物体运动到–A

位置时计时，初相为=

所以物体的运动方程为x=0.204cos(2

t+

)(m)习题2：如图所示的振动曲线。求：（1）简谐振动的运动方程（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间（3）状态d的速度和加速度【解】方法1解析法原点：c点：方法2旋转矢量法（1）确定旋转矢量振动方程为-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间分别是多少（3）状态d的速度和加速度-A-A/2AA/2xa3.一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，其振动规律为x1=0.4cos(3t+/3)，x2=0.3cos(3t-

/6)(SI)。求：(1)合振动的振动函数；(2)另有一同方向同频率的谐振动x3=0.5cos(3t+3)(SI)

当3

等于多少时，x1,x2,x3的合振幅最大？最小？解：(1)解析法振动函数另法：相量图法(2)当

f3=f

=0.12

时，

xaf-p/6p/3O当

f3=f

-=-0.88

时，

习题4：一质量为m=10g的物体作简谐振动，振幅为A=10cm,周期T=2.0s。若t=0时，位移x0=-5.0cm，且物体向负x方向运动，试求：（1）t=0.5s时物体的位移；（2）t=0.5s时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达x=5.0cm所需时间；（4）连续两次到达x=5.0cm处的时间间隔。【解】（1）由已知可得简谐振动的振幅角频率振动表达式为

(SI)x0.1O-0.05

由旋转矢量法可得

振动方程

t=0.5s时物体的位移?

（2）t=0.5s时物体受到的恢复力?

由（1）得

N/m(SI)（3）从计时开始，第一次到达x=5.0cm所需时间；

（4）连续两次到达x=5.0cm处的时间间隔。x0.1O-0.050.05第一次到达x=5.0cm时的相位为

故第一次达到此处所需时间为

连续两次到达x=5.0cm处的相位差为

5.已知t=2s时一列简谐波的波形如图，求波函数及

O点的振动函数。x(m)0.5y(m)Ou=0.5m/s123解：波函数标准方程已知A=0.5m，=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函数为O点的振动函数为为什么不取y(t=2,x=0)求？6一波长为λ的平面简谐波，已知A点的振动方程为

y=Acos(ωt+φ)

试求在图中四种坐标选择情况下此简谐波的表达式解：yOAxu（1)yOAxu(2)yxOAlu(3)（1）（2）（3）（4）xOAuy(4)pppp7.平面简谐波沿x

轴正向传播，振幅为A，频率为v，传播速度为u。(1)t=0时，在原点O处的质元由平衡位置向x

轴正向运动，写出波函数；(2)若经反射面反射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函数,并求在x

轴上因两波叠加而静止的各点的位置。解：(1)O处质元的振动函数(2)有半波损失，即相位突变，所以反射波波函数为Ox反射面波疏波密u所以入射波的波函数为Ox反射面波疏波密u入射波和反射波叠加，此题反射点肯定是波节，另一波节与反射点相距/2，即x=/4处。8.振幅为A，频率为，波长为的一简谐波沿弦线传播，在自由端A点反射（如图），假设反射后的波不衰减。已知：OA=7

/8，OB=/2，在t=0时，x=0处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动。求B点处入射波和反射波的合成振动方程。OyxBA解：设入射波的表达式为则反射波的表达式为驻波的表达式为B点(x=/2)的振动方程为:9.一平面简谐波沿x轴正