实际问题的函数建模-完整版课件

§2实际问题的函数建模一、实际问题的函数刻画在现实世界里,事物之间存在着广泛的联系,许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题,是学习函数的重要内容.做一做1

某地为了改善生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果植树总亩数是时间(年数)的一次函数,这个函数的图像是下图中的(

)

解析:由题意知该一次函数的图像必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排除B,C,D.答案:A二、用函数模型解决实际问题函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决.通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的.做一做2

导学号91000164某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(

)

A.45.606 B.45.6C.45.56 D.45.51解析:设在甲地销售量为a,则在乙地销售量为15-a,设利润为y,则y=5.06a-0.15a2+2(15-a)(0≤a≤15,a∈N),即y=-0.15a2+3.06a+30,∵a∈N,∴当a=10时,ymax=45.6.答案:B三、数学建模1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.2.过程:如下图所示.做一做3

某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:

则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数

(

)A.y=a+bx B.y=bxC.y=ax2+b D.解析:画出散点图(如图所示):由散点图可知,此函数图像不是直线,排除A;此函数图像是上升的,是增函数,排除C,D,故选B.答案:B探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一建立二次函数模型解决实际问题

【例1】

导学号91000165设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元.(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多?分析:求解(1)时应明确第二产业的产值不减少的条件是分流之后剩余人员创造的产值应小于没有分流时创造的产值100a,求解(2)时应根据题意求出分流后第二、三产业的总产值每年增加量f(x)关于x的函数关系式,并求其最值.探究一探究二探究三探究四易错辨析∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,∴当x=50时,f(x)max=60a.即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练1

有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.

(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?探究一探究二探究三探究四易错辨析探究二建立指数函数、对数函数模型解决实际问题

【例2】

导学号91000166某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n∈N+)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时,利润yn(元)与n的函数关系式;(2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润.分析:(1)根据题意易得;(2)需借助指数函数的单调性,使得n取某个值时,其前面和后面的取值都比它小即可,探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为m(1+10%)n,利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N+).(2)令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.∴y1<y2<y3<…<y9=y10,令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练2

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数,单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.

(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大?并说明理由.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究三建立分段函数模型

【例3】

导学号91000167WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式.(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?分析:由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)设上网时间为xmin,由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为(2)当x=20×60=1

200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500

min,由解析式可得上网时间为900

min.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练3

为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式:该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.

(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,则(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款,又(100×450-1

200×20-13

200)×12=93

600,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究四拟合函数模型解决实际问题

【例4】

导学号91000168某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:探究一探究二探究三探究四易错辨析该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图(1)(2)所示.探究一探究二探究三探究四易错辨析观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图(1)所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图(2)所示.设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,探究一探究二探究三探究四易错辨析即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练4

某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.

(1)下列几个模拟函数中y=ax2+bx,y=kx+b,y=logax,y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数y=kx+b,y=logax,y=ax+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),探究一探究二探究三探究四易错辨析错误理解题意而致误典例某林区2016年木材蓄积量为200万立方米,由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域;(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.错解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米,经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);经过2年后木材蓄积量为200(1+5%×2);经过x年后木材蓄积量为200(1+5%·x).所以y=f(x)=200(1+5%·x)(x∈N+).探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析正解:(1)现有木材蓄积量为200万立方米.经过1年后木材蓄积量为200+200×5%=200(1+5%);经过2年后木材蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2;所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x.所以y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N+).(2)由200(1+5%)x=300,得(1+5%)x=1.5,取值验证可知8<x<9,所以取x=9,即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.探究一探究二探究三探究四易错辨析1234561.一辆汽车从甲地开往乙地,中途曾停车休息了一段时间,如果用横轴表示时间t,纵轴表示汽车行驶的路程s,那么下面四个图中,较好地反映了s与t的函数关系的是(

)解析:易知s随t的增大而增大,因在中途休息了一段时间,故这段时间s不变.答案:C1234562.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(

)1234563.化学上通常用pH来表示溶液酸碱性的强弱:pH=-lg{c(H+)},其中c(H+)表示溶液中H+的浓度.若一杯胡萝卜汁的pH比一杯葡萄汁的pH小2,那么胡萝卜汁中c(H+)是葡萄汁中c(H+)的倍数为(

)A.2 B.10 C.100 D.200解析:设胡萝卜汁中的c(H+)和葡萄汁中的c(H+)分别为a和b,依题意有lg

b-lg

a=-2,因此答案:C1234564.(2016山东济南实验中学高一测试)某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为

(

)A.亏5.20元 B.亏5.92元C.盈6元 D.盈5元解析:可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.答案:B1234565.在