大学专业试卷华南理工大学 理工科专业 《概率论与数理统计》试卷及参考解答

……………诚信应考考试作弊将带来严重后果！…… 华南理工大学期末考试………号 … 《概率论与数理统计》试卷A卷位 …座 …注意事项：1.考前请将密封线内各项信息填写清楚；… 2.可使用计算器；线 3．考试形式：闭卷；… 4.本试卷共100120。…… 5.本试卷的六、七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。… …… …… …业 …专 …

— 二 三 四 五 六 七 八 总分…可能用到的分位点：…… u…

1.96,u0.005

2.58, 20.9772, 0.99865,40.99997…_ ) 封_ 题…

t0.025

2.45, t0.025

2.36, t0.025

2.31__ 答…__ 院…_学…_…

20.05

(6)12.6,

20.05

(7)14.1,

20.05

(8)15.5_ 线…封…_封…__ 密…_ …( …

（10）一部五本头的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列概率：第一卷出现在旁边。第一卷及第五卷出现在旁边。第一卷或第五卷出现在旁边。第一卷及第五卷都不出现在旁边。第三卷正好在正中。1）p24!25! 5… （2）p23!1号 … 5! 10学密学… （3）p2217… 5 5 10 1073…73（4）p1 … 10 10…… （5）p14!1… 5! 5…名 …姓 … 二、(12分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3……………件次品,3件合格品.3件产品放入乙箱后,求(1)X的数学期望;(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.解(1)X0,1,2,3,X的概率分布为 CkC3k PXk 3 3 k0,1,2,3C36X0X0123P120920920120因此EX01192931 320 20 20 20 2(2)设A{从乙箱中任取一件产品是次品},根据全概率公式有PA

PXkPAXk

10

91

92

131k0

20 20 6 20 6 20 6 4（12）某保险公司对一种电视机进行保险，现有90000.001，参加保险的客户每户52000元，求保险公司在投保期内:（１）亏本的概率；（２）获利不少于10000元的概率。设＝1

第i台电视机坏解 i 0 第台电视机正常,9000i1,2,,9000P{i

0.001 i

0}0.999Ei0009ii1

D0.000999i0009ii1保险公司亏，则电视机坏的台数:>9000*5/2000=22.5000E000 i1D000i1D000i1i1i

22.5P i i 22.591(4.5)09 ii1 9 i 保险公司获利不少于10000元，则电视机坏的台数:<(9000*5-10000)/2000=17.5000E000 i1D000i1D000i1i1i

17.5P i i 17.59(2.83)9 9 i1

(2)(3)(2)(2.832)0.97720.021450.830.99532（15分)设二维随机变量X,Y的概率分布为X-101-1a00.200.1b0.2100.1cY其中a、b、c为常数，且X 的数学期望EX0.2,0X0.5,记YZXY.求: (1) a、b、c的值; (2)Z的概率分布律; (3)解(1)由概率分布的性质可知, abc0.61,即abc0.4.EX0.2,可得ac0.1.0X

PX0,Y0

ab0.10.5,解得ab0.3.PXab0.5解以上关于a、b、c的三个方程可得, a0.2,b0.1,c0.1(2)Z的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则PZ2PX1,Y10.2PZ1PX1,Y0PX0,Y10.10,Y0.30,Y0.30.1所以Z的概率分布为Z-2-1012P0.20.10.30.30.1(3) Z0b0.10.10.10.2.五、(15分)X121

当1x0f xX

当0x20 其他令YX2Fxy为二维随机变量X,Y的分布函数.求:(1)Y的密度函数fy; (2) covX,Y; (3) F1,4.Y解(1)Y的分布函数为FY

2 yPYyPX2y当y0时, FY当0y1时,

y0,fY

y0.yFyPyY

X yP

XP0X yy3y438 yfYyy3y438 y当1y4时,1y4FyP1XP0X y11y4Y 218 yfy18 yY当y4时,FY

y1,fY

y0.所以Y的概率密度为

fy Y

0y1 38y8 1 38y8 EXxf X

0 其他xdx01xdx21xdx112 04 4EYEX2

x2f

xdx01x2dx514 6EXYEX3x3f X

xdx01x3dx21x3dx712 04 8故 covX,YEXYEXEY23(3) F1,4

1,Y4

1,X242

PX 2

PX 2 1

1

1 1PX2,2X2P2X2P1X24 （2学分）(10分)X与Y独立,X的概率分布为1 2X~0.3 0.7 而Yfy,求随机变量UXYgu.解Fy是Y的分布函数,则由全概率公式可知,UXY的分布函数为GuYYuX0.7PYuX0.3PYu1X10.7PYu2X2由于X与Y独立,得Guuu10.7F2因此,U的概率密度为guGu0.3Fu10.7Fu20.3f10.7f22学分0分）是色盲患者，女子中有%是色盲患男性的概率是多少？解A抽到一名男性}B抽到一名女性}C抽到一名色盲患者}，由全概率公式得1 P(C)P(C|A)P(P(C|B)P(B)5% 0.25% 2.625%1 2 2由贝叶斯公式得

P(AC)P(A)P(C| 5%2.5%121P(AC) 20P(A|C)

P(C) 21（2学分）(16分)设X,X, ,X 2为独立同分布的随机变量，且均服从N1 2 n记X

1n1X，Yn i i2

XX i

n.求Y1 n

0.袋中有a只黑球。从袋中任取1dk次取到红球的概率。解（1）YY1 n

XXX1

XX1

2n1XXn i i2上式是相互独立的正态随机变量的线性组合,所以Y1

Y服从正态分布.n由于EY1

Y0,故nPYY1 n

012bb+ck次取到红球的概率为：apkabca（如果对k{1，2时求出结果，没用归纳法求一般结果，则给4分）六（3、4学分）(16分)设X,X, ,X 2为来自总体N2的简单随1 2 n机样本,其样本均值为X.记Yi

XXi1,2,,n,n.求Yi

DYi

，i1,2,,n;求Y与Y的协方差,Y,n;1 n 1 n若c1

Y2是2的无偏估计量，求常数c;n;若与 相互独立均为2的无偏估计量且它们的方差存在试给出一1 2个比它们更有效的无偏估计量。解(1) DYDXD11

1

n12

i1,2,n ni i

n,nk,n

k ncov,YEEYEYEX

X1 n 1 1 n n 1 nEXX EX2EXEXEX X1 n 1 nEXEX DX1EX21

EXX1EX21n1EXX1 n n1

1 ni2

1 i

n n i i1 2nEcYY2cDYYcDYDY2covY,Y

1 n 1 n 1 n 1 n n1 n c

2n2

2 n故 c

n n nn 2n22

D1

，则3

1

1 1

是比与1

更有效的无偏估计量。2D3

1

1

,D2（34学分（2分）假设0X的简单随机样本值.已知YlnXN求:X的数学期望EX(记EX为b); (2)的置信度为0.95的置信区间;(3b0.95的置信区间解(1Y的概率密度为21fy ey221

y令ty,则bEXEeY

eyey2/2dy2121

1 etet2/2dt222e1/22

1 et/2dte1/2(2)当置信度10.95时, 0.05,u/2

u0.025

1.96.Y~N,1/4,可得PY1.96

P1.9614 14

0.951414其中 Y10.5ln0.8ln1.25ln21ln104 4于是有 0.95因此0.95的置信区间为0.98,0.98.(3)由ex的严格递增性,可知 1

1 0.95P0.4821.48Pe0.48

e 2 因此b0.95

e0.48,.（3、4学分（8分）5,9个居民,236.5元,49个样本算出的标准差S3.5元.X服从正态分布,试在0.01时,均伙食费较之上个月无变化”的假设.解H0235.5,H1235.5.由于方差2未知,故采用t检验法,其拒绝域为nn0Wt S

t/2

已知n49,X236.5,S3.5,计算得nSnS0由于4914830,故可用u/2

4949236.5235.53.5/2

2491.当0.01时, u0.0052.582,故接受H0.即本月该市居民平均伙食费较上个月无显著变化.……………诚信应考考试作弊将带来严重后果！…… 华南理工大学期末考试………号 … 《概率论与数理统计》试卷(A)位 …座 …注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；… 2.允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上线 3．考试形式：闭卷；… 4.100120。…… 题号 一 二 三 … 得分… 评卷人……可能用到的表值：…

五 六 七 总分业 …(1.285)0.9, (1.645)0.95, (1.96)0.975, (2.33)0.99专 ……t0.025

(35)2.0301,

0.025

(36)2.0281,

0.05

(35)1.6896,

0.05

(36)1.6883…………_ ) _ 题__ 答_不…

一．单项选择题（本大题共五小题，每小题3分，共15分：本大题中每个小题都列有四1。A．如果AB，则BA B.BAC.如果事件A、B独立，则P(AB)P(A)P(B) D.AB(AB)A_ 院_ 学

2X… 1

,...,X2

X1

~pPXk/n)（C。_ 线…封…_封…__ 密…

A．pC．Ckpk(1p)nkn

B．1pD．Ck(1p)kn

pnk…_ ( … 3.设连续随机变量X的密度函数满足f(x)f(x)x…

X的上分位数，则…P(X x…

)（D。… A.2 B.1……

21

D.……4X,Y…

0（D。XY号 … A.X,Y不存在任何函数关系 B.X,Y独立学 密… C.D(XY)DXDY D.D(X)DX4DY……5.设X… 1

,...,X2

X~N(,2的样本，则下述说法中正确的是（D。…… A.X~N(,2) ………名 …姓 ………………

1 (Xn2 ni1

X)2~2(n)n(X)C. ~n(X)S

n12

(Xi

~2(n)二．填空题（520。如果事件A、B独立且不相容，则Max{P(A),P(B)}= 1 。(X,YP(1,0)(X,YP(1,0)0.4(1,1)0.2(2,0)a(2,1)b若E(XY)0.8，a{ 0.1 。3.设X~NY~N，且X与Y相互独立，则P(XY 0.5 。4.设X

,...,X

X~N1XX1(XX的数学期1 2 5

6 1 2 3

2 4 5望是_2 。（本大题10分。一个盒子中装有46投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求：a）所取的全是白球的概率。b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？CjP(B

)1/6，P(A|

) 4

j4j j Cj1,

j4P( P(Bjj

)P(A|Bj

)=2/21=0.095P(B3

|A)

P(B3

)P(A|B)3P(A)

=7/120=0.058（本大题10分设某次概率统计考试考生的成绩X~N(,2)36位考生的成绩，算得平均成绩为x66.5s150.95的置信区间。n在显著性水平=0.0570n）

X

~t(n1)，

t0.975

35152.03015.075256S2n学生成绩数学期望（61.42,71.5S2n（2）H0

:70, H1

:70,66.566.57015236A

tX70S2n

1.4

0.975

352.0301不拒绝原假设。可以认为这次考试的平均成绩为70分。（本大题14分。设（X,Y）的联合密度函数是：A(x21

xy)

0x1,0y2f(x,y)

2 ，0 其它A=6/7；X的密度函数及c）P(X>Y)。）f(x,y)dxdy1dx2(x2

xy)dyA1(2x2x)dx0A67（2）X

0 0 27A162(x2 1xy)dy 12x26

0x10f xf(x,y)dy 2 7 70X

,

x0andx1EXxf(x,y)dx1x(12x26x)dx5 0 7 7 7（3）P(XY)

f(x,y)dxdy1dxx(x21

xy)dy1

5A x3

D15

0 0 20 4 56（本大题14分。假设一条生产线生产的产品合格率是要使一批产品的合格率达到在与84%b)使用中心极限定理。解：使用契比雪夫不等式，P{76%

1n Xn i1

84%}

1n Xn i1

0.8P{|

1n Xn i1

80}1D(1nni1

X)/(0.04)2i1100/n0.9n1000这批产品至少要生产1000件使用中心极限定理P{76%

1n Xn i1

84%}n Xn i1

0.8|1n X

0.8|i10.16/n1ni10.16/n

0.04P{|

Xn i1

0.8

}0.16/n0.040.16/n2( )10.040.16/n0.16/0.16/n

1.645，n270.6025这批产品至少要生产271件（本大题17分。设总体X

f(x;)

1e|x|2

，其中

>0是参数。样本X,X1

,...,X

来自总体X。求的矩估计；MME求的最大似然估计；MLE证明是的无偏估计，且是的相合估计（一致估计。MLE MLE）

EX1xe|x|dx0，，EX2

x2e|x|dx1 22xx x

xedx0xx2e 2xedx ， 00 x

x xe edx2e 2 0 0 02n12n1X2ii1MME

ˆ ˆ SDXEX2

22

2，S

DX2

2，

MME2n 1 |xi|2

1 n|xi| 1 n（2）似然函数：L e，L2i1

i1n

，lnLn) xii1ed Le

n 1n n 1n

ˆ 1n x

，令，ˆ

ˆ x 0， Xd 1

ii1x

x

ii1x

MLE

n

ii13）EX xedxxe edxe 0 0 0 0ˆ 1n ˆ 2EMLE

ni1

EX EX ，i

MLE

是的无偏估计，EX

EX222，nin 2 1n nin

DX2DX EX2EX

2，D X

i1 P

Eˆ

0是的相合估计MLE

MLE

n

MLE……………诚信应考考试作弊将带来严重后果！…… 华南理工大学期末考试………号 … 《概率论与数理统计》试卷(B)位 …座 …注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；… 2.允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上线 3．考试形式：闭卷；… 4.100120。…… 题号 一 二 三 … 得分…… 评卷人…

五 六 七 八 总分…业 …可能用到的数表值：31.732, 21.414…专 …0.8413,(1.285)0.9,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2.33)0.99…… t0.025……

(6)2.45,

0.025

(7)2.36,

0.05

(6)1.943,

0.05

(7)1.895_ )_ _ __ 院_ 学_ _

…（本大题15分封… 525… （1）求所抽的牌中含有方块K…… （2）求所抽的牌中含有红桃KK… （3）…_ 封…_ 密…_ …(

1）C451

/C552

（2）2C451

/C552

-C350

/C552

（3）1C513

(C1)54

/C552…（本大题12分）…… 3317…一个球。现安排甲从盒子中任抽两个球。…… （1）求甲抽出两个球都是白球的概率。…… （2）如果你现场看到甲随机抽到的两个球都是白球，试求丢失的那个球是白色的概率。号 … 解答：分别记B为事{甲抽出的是白}、乙抽出的两个都是白。学 密 （1）…… P(B)P(A)P(B|P(A)P(B|… 16 C2 17 C

16 1514 17 1615 15… 15

16 … 33 C232

33 C232

33 3231 33 3231 66… （2）……名 …姓 ………………P(A|B)

P(A)P(B|P(B)161514151433 3231 66 31（本大题12分。100702010现从箱中随机抽取一件，引入随机变量若取出的产品是一等， 若取出的产品是一或等品，X ，Y0，

否则。

0，

否则。试求X2,Y的联合分布律，并求CovX2,Y。解答：XX2X 。同理，Y2YP((X2,YP((X,YP(10/100P((X2,YP((X,YP(20/100P((X2,Y)P((X,Y)0P((X2,YP((X,YP(70/100XX2Y01010.10.00.20.7Cov(X2,Y)E(X2Y)E(X2)E(Y)E(X2Y)E(X2)E(Y)10.70.70.90.07（本大题12分。设工厂生产的一种元件其寿命X（单位：小时）的密度函数为Aex

, xf(x) ,100

否则.A200300小时之间的概率。54300解答：(1)

1

f(x)dx0

xAe100dxA，A0.01．P(200X300)

300200

1100

xe100dxe-2-e-3．(2) P(X300)

300

1100

xe100dxe-31C0(e3)0e3)5C1(e3)1e3)41e3)5

5 5e3)4e3（本大题12分。某制药厂宣称其新研制的一种药的有效率达到80%1001007680%，试用中心极限定理近似求此药能被批准生产的概率有多大。（可用数表数据见试卷首页）解答：i个患者用药有效，记X i

否则。

，而S n

n X 。i1 i由设知{Xi

Xi

~B(1,0.80)E

)0.80,D(

)0.80

S 1000.80P(i

100Xi1

76)

P(S

100

76)P( )100100 0.800.20761000.80100 0.800.201(1)100100 0.800.20761000.80100 0.800.20（2学分，本大题15分。设随机向量(X,Y)的密度函数为21x2y , x2yf(x,y)

0 , 其他X和YfX

，fY

。EXE(YDX和CovX,YX与Y是否不相关？是否独立？解答：(1)f

(x)

21x2ydy21x2(1x4),1x1，X x24 8y214yf(y x27y5/20y1y214yY 2(2)E(X)1

x21x2x4)dx8EY)1y7y5/2dy7,0 2 9D(X)1x221x21x4)dx0

21(2

2)

21,8

8 5 7 70yyCo(X,Y)1( xy21x2x)yE(X)EY)0。可见X与Y不相关。yy0 4由f (x)f(y)f(x,y)知X与Y不独立。X Y（2学分，本大题12分。X的指数分布，其密度函数为ex, xf(x) x0.X, X随机变量YgX)2X, X

,求YFY

y在0y2上的表达式。解答：0y2时F(y)P(Yy)P(Yy,X1)P(Yy,X1)YP(2Xy,X1)P(Xy,X1)P(Xy/XXy)P(Xy/2)Xy) ( 0y2)y/2e-xdxye-xdx0 1e-y/2)(e-e-y)1e-e-y/2e-y（2学分，本大题10分。i次若套中标杆则记i1+2+3=60、并游戏结束。记参与者结束时总抛掷次数为XY0.20.5。（1）求X的分布律。 （2）求参与者平均得分EY 解答：（1） p P(Xk)0.8(0.2m10.5m1), k2m k EYE[12.5((21]5m1X(X)2.2 80m21( 1[

(0.,.m1

2m(2m1)

0.1m] 2.mm

k22.

m1 21[ (2m1)m1)0.80.m1

m(2m1)]（2）均得分

m11[1.6 m(m1)0.m10.8

(m1)0.m12

m(m1)0.m

m]2 m1 m1 m1 m1