第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件

二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的1对于均成立.对于均成立.对于均成立.对于均成立.2

函数的极大值与极小值统称为极值,1.极值的定义有（或）设函数在点的某邻域内有定义，内的任何一点

如果对于去心邻域那么就称是函数的一个极大值（或极小值).值的点称为极值点.使函数取得极一、函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值,1.极值的定义有（或3说明：极值与最值的关系区别：极值概念是局部性的.最值概念是全局性的.极值只能在内部取得,不可在端点处取得.最值可以在内部取得,也可在端点处取得.联系：如果最值在区间内部取得,则必在极值点处取得.极大(小)值唯一吗?极大值一定大于等于极小值吗?说明：极值与最值的关系区别：极值概念是局部性的.最值概念是全4注意:为极大点为极小点不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.例如为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,注意:为极大点为极小点不是极值点对常见函数,极值可能出现在5定理12.极值存在的条件(1)必要条件说明:驻点可导函数:使得的点称为函数的驻点.可疑极值点驻点0)(0xxxf处取得极值，处可导，且在在点设函数则极值点非驻点肯定不是极值点，驻点不一定是极值点定理12.极值存在的条件(1)必要条件说明:驻点可导函数:6(2)充分条件设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导.（1）若时，，而时，，则在处取得极大值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值.定理2（第一充分条件）

-++-（2）若时，，而时，，则在处取得极小值；++--如何判断驻点是否极值点？(2)充分条件设函数在处连续，且在的某去心7证明(1)证明(1)8说明:若在点不连续，则结论未必成立.例如:在处不连续,

在内,在内,在处取得极小值.

说明:若在点不连续，则结论未必成立.例如:在9定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则10说明

当时，在处可能有极值也可能没有极值.例如是极大值点是极小值点不是极值点说明当时，在处可能有极值也可能没113.极值的求法步骤:求函数的导数求出区间内所有的驻点判断驻点是否极值点求出极大值或极小值3.极值的求法步骤:求函数的导数求出区间内所有的驻点判断驻12为极大点为极小点例求：极值解：令得：为极大点为极小点例求：极值解：令得：13例求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得令得3)14例.求函数的极值.

解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点315并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值？有极值？处在解：由题意：所以在处有极大值例：并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值？有极值？处在解：由16

某地区拟建一防空洞,它要求:防空洞的截面要建成矩形加半圆,截面的面积为5平方米,问底宽为多少时才能保证截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？

问题：

归结为：求某一函数（也称为目标函数）的最值问题二、最大值与最小值问题某地区拟建一防空洞,它要求:防空洞的截面要建成矩形加17假定函数

：在闭区间上是连续的；(1)在开区间内除有限个点外可导且至(2)多有有限个驻点.

假定函数：在闭区间上是连续的；(1)在开区间181、最值的求法驻点端点最值点极值点1、最值的求法驻点端点最值点极值点19求最值的步骤：⑴计算导数，求出在内的驻点⑵计算函数在驻点、端点处的函数值；如果函数可导：欲求最值先求导，端点驻点很重要，代入计算需仔细，对应值中比大小。(3)最值为：求最值的步骤：⑴计算导数，求出在内的20第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件21那么它也是的最值点.在一个区间内可导且只有一个驻点,注1注2个驻点，若在定义区间内部只有一定是最大值或最小值.那么不必讨论是不是极值，在实际问题中，由问题的性质就可断定可导函数确有最大值或最小值.就可断

那么它也是的最值点.在一个区间内可导且只有一个驻点22费与公路每公里货运的运费之比为，从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何例铁路线上段的距离为，工厂距为，垂直于。为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路。

为了使货物处？已知铁路每公里货运的运费与公路每公里货运的运费之比为，从供应站运到工厂23解：设那么设铁路上每公里的运费是公路上每公里的运费是设从点到点需要的总运费为那么令得由于所以，当时，总运费最省。当在的左侧临近时，当在的右侧临近时，解：设那么设铁路上每公里的运费是公路上每公里的运费是设从24第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件25例：若某产品的售价实行浮动，规定不超过150件时，每件售价为200元，多于150件时，每超过一件，每件售价比原来减少1元．问销售多少件产品收益最大？解

设Q为件数，R为收益，P为价格，则例：若某产品的售价实行浮动，规定不超过150件时，每件售价为26第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件27用开始移动,例.设有质量为5kg

的物体置于水平面上,受力

作解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.

为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?用开始移动,例.设有质量为5kg的物体置于水平面上28令解得而因而F取最小值.令解得而因而F取最小值.29清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例.302、证明不等式例利用最值证明不等式

证明：设令得计算得：则所以在闭区间上有连续所以：2、证明不等式例利用最值证明不等式证明：设令得计算得：则所31内容小结1.连续函数的极值(1)极值点存在必要条件:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值2.连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.内容小结1.连续函数的极值(1)极值点存在必要条件:使32第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘第六节一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘函数图形的描绘33第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件34第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件35轴轴.....轴轴.....361.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐37二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周二、函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;38例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.239例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y40(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线41二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的极值与最大值最小值二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第五节函数的42对于均成立.对于均成立.对于均成立.对于均成立.43

函数的极大值与极小值统称为极值,1.极值的定义有（或）设函数在点的某邻域内有定义，内的任何一点

如果对于去心邻域那么就称是函数的一个极大值（或极小值).值的点称为极值点.使函数取得极一、函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值,1.极值的定义有（或44说明：极值与最值的关系区别：极值概念是局部性的.最值概念是全局性的.极值只能在内部取得,不可在端点处取得.最值可以在内部取得,也可在端点处取得.联系：如果最值在区间内部取得,则必在极值点处取得.极大(小)值唯一吗?极大值一定大于等于极小值吗?说明：极值与最值的关系区别：极值概念是局部性的.最值概念是全45注意:为极大点为极小点不是极值点对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.例如为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,注意:为极大点为极小点不是极值点对常见函数,极值可能出现在46定理12.极值存在的条件(1)必要条件说明:驻点可导函数:使得的点称为函数的驻点.可疑极值点驻点0)(0xxxf处取得极值，处可导，且在在点设函数则极值点非驻点肯定不是极值点，驻点不一定是极值点定理12.极值存在的条件(1)必要条件说明:驻点可导函数:47(2)充分条件设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导.（1）若时，，而时，，则在处取得极大值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值.定理2（第一充分条件）

-++-（2）若时，，而时，，则在处取得极小值；++--如何判断驻点是否极值点？(2)充分条件设函数在处连续，且在的某去心48证明(1)证明(1)49说明:若在点不连续，则结论未必成立.例如:在处不连续,

在内,在内,在处取得极小值.

说明:若在点不连续，则结论未必成立.例如:在50定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则51说明

当时，在处可能有极值也可能没有极值.例如是极大值点是极小值点不是极值点说明当时，在处可能有极值也可能没523.极值的求法步骤:求函数的导数求出区间内所有的驻点判断驻点是否极值点求出极大值或极小值3.极值的求法步骤:求函数的导数求出区间内所有的驻点判断驻53为极大点为极小点例求：极值解：令得：为极大点为极小点例求：极值解：令得：54例求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得令得3)55例.求函数的极值.

解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.例.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点356并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值？有极值？处在解：由题意：所以在处有极大值例：并求此极值。为何值时它是极大值还是极小值？有极值？处在解：由57

某地区拟建一防空洞,它要求:防空洞的截面要建成矩形加半圆,截面的面积为5平方米,问底宽为多少时才能保证截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？

问题：

归结为：求某一函数（也称为目标函数）的最值问题二、最大值与最小值问题某地区拟建一防空洞,它要求:防空洞的截面要建成矩形加58假定函数

：在闭区间上是连续的；(1)在开区间内除有限个点外可导且至(2)多有有限个驻点.

假定函数：在闭区间上是连续的；(1)在开区间591、最值的求法驻点端点最值点极值点1、最值的求法驻点端点最值点极值点60求最值的步骤：⑴计算导数，求出在内的驻点⑵计算函数在驻点、端点处的函数值；如果函数可导：欲求最值先求导，端点驻点很重要，代入计算需仔细，对应值中比大小。(3)最值为：求最值的步骤：⑴计算导数，求出在内的61第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件62那么它也是的最值点.在一个区间内可导且只有一个驻点,注1注2个驻点，若在定义区间内部只有一定是最大值或最小值.那么不必讨论是不是极值，在实际问题中，由问题的性质就可断定可导函数确有最大值或最小值.就可断

那么它也是的最值点.在一个区间内可导且只有一个驻点63费与公路每公里货运的运费之比为，从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何例铁路线上段的距离为，工厂距为，垂直于。为了运输需要，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路。

为了使货物处？已知铁路每公里货运的运费与公路每公里货运的运费之比为，从供应站运到工厂64解：设那么设铁路上每公里的运费是公路上每公里的运费是设从点到点需要的总运费为那么令得由于所以，当时，总运费最省。当在的左侧临近时，当在的右侧临近时，解：设那么设铁路上每公里的运费是公路上每公里的运费是设从65第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件66例：若某产品的售价实行浮动，规定不超过150件时，每件售价为200元，多于150件时，每超过一件，每件售价比原来减少1元．问销售多少件产品收益最大？解

设Q为件数，R为收益，P为价格，则例：若某产品的售价实行浮动，规定不超过150件时，每件售价为67第五节极值与最值第六节函数图像的描绘描述课件68用开始移动,例.设有质量为5kg

的物体置于水平面上,受力

作解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.

为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?用开始移动,例.设有质量为5kg的物体置于水平面上69令解得而因而F取最小值.令解得而因而F取最小值.70清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例.

一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于解:设观察者与墙的距离为xm,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙2.4m处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角最大)?观察者的眼睛1.8m,例.712、证明不等式例利用最值证明不等式

证明：设令得计算得：则所以在闭区间上有