2021年广西壮族自治区桂林市伟江中学高三数学理测试题含解析

2021年广西壮族自治区桂林市伟江中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆，为左、右焦点，、、、分别是其左、右、上、下顶点，直线交直线于点，若为直角，则此椭圆的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略3..已知复数z满足（是虚数单位），则（

）A.0 B. C.1 D.参考答案：C【分析】先求出复数z,再求|z|得解.【详解】由题得故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若且，则()．参考答案：B5.设，则＝()A．

B．

C.

D.参考答案：A6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是A. B.C. D.参考答案：C【分析】将原问题转化为两个函数有六个交点的问题，结合函数的解析式利用导数研究函数图像的变化情况，由函数图像即可确定实数的取值范围.【详解】函数有6个零点，等价于函数与有6个交点，当时，，当时，，，当时，递增，当时，递减，的极大值为：，作出函数的图象如下图，与的图象有6个交点，须，表示为区间形式即.故选：C.【点睛】本题主要考查导函数研究函数图像的性质，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设，，则S∩T=（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，，则故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．8.为了考察两个变量x、y的线性相关关系，李明与李达分别独立做了30次、50次试验.

已知两人试验中x、y的平均值恰好相等，均为，两人分别求得回归直线,那么A．相交于点（m,n)

B．重合C．平行

D．垂直参考答案：A9.已知直线和平面、满足，，．在，，这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数是A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：答案：C10.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由题意可得，故答案选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=．参考答案：π【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为==1﹣cosa，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cosa=﹣1，又a∈（0，2π），∴a=π，故答案为：π【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．12.若是上的奇函数，则函数的图象必过定点

参考答案：略13.直线的倾斜角是__________．参考答案：直线为，倾斜角，．14.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则

．参考答案：－11试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案－11．

15.设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为

．参考答案：

16.已知数列{an}中，a1=,an+1=an+，则an=________．参考答案：或或17.已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为

参考答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分）已知函数（1）若，解关于的不等式；（2）若对都有是常数）,求的取值范围．参考答案：解：（1）当时，不等式即显然，当时，原不等式可化为：

当时，原不等式可化为：或或∴

综上得：当时，原不等式的解集为（2）∵对都有，显然即对，恒成立对，设，，则对，恒成立，∵当时

∴函数在上单调递增，∴--9分

又∵＝，当即时，对于，

∴函数在上为减函数∴.当，即时，当，

当，

∴在上，（或当时，在上，，当时取等号）又∵当时，要即还需满足解得∴当时，；---13分

当时，．略19.如图，在直三棱柱中，分别是的中点.(I)证明：；(II)求二面角的余弦值参考答案：【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G4【答案解析】解析：(I)证明：如图，E是的中点，取为BC的中点G，连接EG、AG、ED，在中，四边形ADEF为平行四边形，，又所以

(II)解：如图，以B为原点，BC，BA，,分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系则直三棱柱，，如图，连接BD，在，即，BD是CD在平面内的射影，，所以二面角的余弦值为【思路点拨】根据已知条件可判定直线与平面平行，再建立空间坐标系求出二面角的余弦值.20.如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）求证：圆心O在直线AD上．（2）求证：点C是线段GD的中点．参考答案：考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：（1）根据题意，易得CD=BD，又由△ABC是等腰三角形，即AD是∠CAB的角分线，即可证明；（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，结合圆切线的性质，易得CG=CF=CD，即可证明．解答： 证明：（1）∵AB=AC，AF=AE∴CD=BE又∵CF=CD，BD=BE∴CF=BD又∵△ABC是等腰三角形，∴AD是∠CAB的角分线∴圆心O在直线AD上．（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°又∵∠G+∠FHD=90°∴∠FDH=∠G∵⊙O与AC相切于点F∴∠AFH=∠GFC=∠FDH∴∠GFC=∠G∴CG=CF=CD∴点C是线段GD的中点．点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．21.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，可化为①或②或③，…（3分）解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．…（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…（8分）又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．22.（14分）已知函数f（x）=xlnx﹣2x，g（x）=﹣ax2+ax﹣2，（a＞1）．（I）求函数f（x）的单调区间及最小值；（II）证明：f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．参考答案：见解析【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（I）首先对f（x）求导，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；即可得到单调区间与最值；（II）要证f（x）≥g（x）在x∈[1，+∞）上恒成立，可令h（x）=f（x）﹣g（x），判断h（x）的单调性即可．【解答】解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=xlnx﹣2x，∴f'（x）=lnx+1﹣2=lnx﹣1，令f'（x）＞0，即lnx﹣1＞0，得x＞e；令f'（x）＜0，即lnx﹣1＜0，得0＜x＜e；∴函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），单调递减区间为（0，e）；∴函数f（x）的最小值为f（e）=elne﹣2e=﹣e；证明：（II）令h（x）=f（x）﹣g（x），∵f（x）≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）min≥0，x∈[1，+∞）．∵h（x）=xlnx+ax2﹣ax﹣2x+2，∴h'（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，令m（x）=lnx+2ax﹣a﹣1，x∈[1，+∞），则m'（x）=+2a，∵x＞1