2021年河南省洛阳市西沃乡中学高一数学理联考试题含解析

2021年河南省洛阳市西沃乡中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知角为第四象限角，且，则（A） （B） （C） （D）参考答案：A略2.的值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.已知函数满足，且当时，成立，若，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：D构造函数，由是上的偶函数，是上的奇函数，得是上的奇函数，在递减，在递减，得，，．推出结果，即，故选D．

4.已知f（sinx）=cos4x，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由f（sinx）=cos4x，得到=f（sin30°）=cos120°，由此能求出结果．【解答】解：∵f（sinx）=cos4x，∴=f（sin30°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.方程表示的图形是半径为（）的圆，则该圆圆心在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．．第三象限

D．第四象限参考答案：D略6.若非零实数满足，则

（

）A．

B．

B．

D．参考答案：D7.有以下四个结论（且）：（1）（2）（3）（4）．其中正确结论的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出结果．【详解】解：且．（1），正确；（2），正确；（3）正确；（4），因此不正确．其中正确结论的个数是3．故选：C．【点睛】本题主要考查指数与对数运算，熟记运算性质即可，属于常考题型.

8.下列说法正确的是(

).A.掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上；B.连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件；C.某厂一批产品的次品率为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品D.若P(A+B)=1，则事件A与B为对立事件参考答案：D略9.已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（

）A. B.2π C. D.π参考答案：B【分析】首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案。【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，所以母线长，故圆锥的侧面积；故答案选B【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题10.在下列函数中，最小值为2的是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，是两个不共线的向量，已知=2+k，=+3，=2﹣，若A，B，D三点共线，则k=．参考答案：-4略12.实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数b的值为

________.

参考答案：813.使得函数的值域为的实数对有_______对.参考答案：2略14.函数的值域为____________。参考答案：[1,4]15.设函数的图象在上连续，若满足

，方程在上有实根．参考答案：16.在中，，，，则边

.参考答案：

略17.在数列中，，，（），把数列的各项按如下方法进行分组：()、()、()、……，记为第组的第个数（从前到后），若=，则____________.参考答案：11三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为CD的中点，以AE为折痕把折起，使点D到达点P的位置，且.（1）求证：平面PEC⊥平面PAB；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，进而可得平面平面；（2）先取中点，连结，，证明平面平面，在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量，求向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】（1）因为四边形是正方形，所以折起后，且，因为，所以是正三角形，所以.又因为正方形中，为的中点，所以，所以，所以，所以，又因为，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）取中点，连结，，则，，又，则平面.又平面，所以平面平面.在平面内作于点，则平面.以点为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.设平面的一个法向量为，则由，得，令，得，，∴.因为平面的法向量为，则，又二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟记面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，属于常考题型.19.（12分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： （1）求出f（x）的解析式，求出定义域，判断是否关于原点对称，计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（2）f（x）在（1，+∞）上递增，运用定义法证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．解答： （1）f（x）=x+，且f（1）=2，则1+m=2，解得m=1，f（x）=x+，定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）在（1，+∞）上递增，理由如下：设1＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=m+﹣（n+）=（m﹣n）+=（m﹣n）?由于1＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞1，即mn﹣1＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（1，+∞）上递增．点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．20.设函数f（x）=x2﹣ax+b（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围（Ⅱ）对任意x∈[﹣1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，解关于a的不等式即可；（Ⅱ）方法1：问题转化为4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立，记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]，通过讨论对称轴的位置，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；方法2：根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[0，1]上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜2；（Ⅱ）解法1：由已知，对任意的实数x∈[﹣1，1]．，关于y的方程f（y）=f（x）+y有解，即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程y2﹣（a+1）y﹣（x2﹣ax）=0有解，∴△1=（a+1）2+4（x2﹣ax）≥0，对任意x∈[﹣1，1]恒成立，即4x2﹣4ax+（a+1）2对任意x∈[﹣1，1]恒成立，记g（x）=4x2﹣4ax+（a+1）2，x∈[﹣1，1]，①当≤﹣1时，g（x）min=g（﹣1）=a2+6a+5≥0，故a≤﹣5，②当﹣1＜＜1时，△2=16a2﹣16（a+1）2≤0，故﹣≤a＜2，③当≥1时，g（x）min=g（1）=a2﹣2a+5≥0，故a≥2，综上，a的范围是a≤﹣5或a≥﹣；解法2：即对任意的实数x∈[﹣1，1]关于y的方程f（y）=f（x）+y有有解，即对任意的实数x∈[﹣1，1]，都存在关于y的方程y2﹣（a+1）y=x2﹣ax成立，记A={z|z=y2﹣（a+1）y，y∈R}=[﹣，+∞）；B={z|z=﹣x2﹣ax，x∈[﹣1，1]}，即A?B，记g（x）=x2﹣ax，x∈[﹣1，1]，①当≤﹣1时，B=[1+a，1﹣a]，由A?B得﹣≤1+a，化简得：a≤﹣5，②当﹣1＜＜1时，B=[﹣，max{1+a，1﹣a}]，由A?B得﹣≤﹣，化简得﹣≤a＜2，③当≥1时，B=[1﹣a，1+a]，由A?B得﹣≤1﹣a，化简得a≥2，综上，a≤﹣5或a≥﹣，故a的范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣，+∞）．【点评】本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性、最值、函数恒成立问题以及分类讨论思想，是一道中档题．21.（本小题满分8分）已知，且为第三象限角.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.参考答案：22.扎比瓦卡是2018年俄罗斯世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物以西伯利亚平原狼为蓝本.扎比瓦卡，俄语意为“进球者”.某厂生产“扎比瓦卡”的固定成本为15000元，每生产一件“扎比瓦卡”需要增加投入20元，根据初步测算，每个销售价格满足函数，其中x是“扎比瓦卡”的月产量（每月全部售完）.（1）将利润f(x)表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）.参考答案：（1）；（2）