湖南省2021届高三调研考试数学试卷

湖南省届高三调研考数学试卷一选题若集合A

lg

)

B

C．

D．已知命:R，

，则是）A

R

，

B

R

，

C．

R，x

D．

R，x复数zcos，zsinxicos，）22A1B2C．D．4某班同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远米跑合格的人数分别为30和35两项都不合格的人数为5。现从这45名学中按测试是否合格分(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米合格、两项都不格四)抽出9人行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的()A.1人

B.2人

人

D.6人如图，地球近似看作球体，设地球表面某地正午太阳高度角

为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为地的纬度值．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即

天门广场汉白玉华表高为米，北京天安门广场的纬度为北纬天的正午刻，测得华表的影长恰好为米则该天的太阳直射纬度为（）A北纬5°5′33C．纬5°54″

B南纬5°5″D．纬5°54′27″若函数xx为函数，则曲线f（）Ay

By

C．y

D．y已知F、分别是双曲线

xa，b的上、下焦点，过点的直线与双曲线的上支b22交于点P，若过原点O作线PF的线，垂足为，OM，

PM

，双曲线的渐近线

方程为（）3Ayx4

4Bx3

3C．5

5D．3已知m2lnπ

22，，则)ln2πAn

Bp

C．m

D在

△

中，

，

，

，则下列结论正确的()A

B

C．

PB

11AB22

D．

AP

34二填题10.

(x

21)()

展开式中含x2的的系数为_．（用数字填写答案）11.一个口袋里装有大小同的小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中意取出小球，其中恰有2个球颜色相同的概率；若变量为取出的三个小球中红球的个数，则数学期望

X．12.如下图是古希腊数学希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为RtABC斜边AB、角边BC，，N为AC的点点D在AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为径的两个半圆的面积之比为，___________.

35

，则13.已知正方形的棱长为，以顶点为心，

23

为半经作一个球，则球面与正方体的表面相交所得的曲线的长等三解题14.已知△的积为42，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）和c的值；（2

sin()

的值．条件①

13

；

中，，，8888中，，，88887cos.条件②A,915.已知数列n和满2n(nNn（1证明：数列列并求其通项公式；n

)，且（2设b

，T为列nn

的前项，求使

310

成立的最小正整数n的值．16.如图，在直三棱柱

ABAC

，

交

于点,

为

的中点（1求证：BE面AB；（2求二面角

D

的余弦值.17.红铃虫Pectinophora）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温（℃）的8组测数据，制成图1所的散点图．现用两种模型①，y分进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步到图所的差图．根据收集到的数据，计算得到如下值：

t

i

()tiii

)

2

i

()()ii

i

(yi

)(t)i2.8964616848.4870308

iiiiiiˆˆiiiiiiˆˆ1表中lny；z；tx8i

1；tt8i

；（1根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2根据）中所选择的模型，求出关x的归方程（计过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为℃，产卵数的报值．参考数据：e

224

245，

268附：对于一组数，，(11

，v，…，(22

，v，其回归直线距最nn小二乘估计分别为

iiii

，

18.已知椭圆:

i22.（1求椭圆C的离心率和长轴长；（2已知直线与圆有个不同的交点,，为x轴一点.否存在实数，使得△是点直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的标；若不存在，说明理由.19.已知函数

x

．（1若函数f取值范围；（2当

1

时，证明：函数

有且仅有零点．参答答案：解析：答案：解析：根据全称命题的否定为特称命题，则

是

R

，

”.故选：D.答案：A解析：答案：解析：由题意，该班级中，两项测试都合格的一共有(45（）

2929所以抽出来复测的同学中，两项测试都合格的一共有25答案：B解析：答案：解析：答案：A解析：答案：解析：答案：BCD解析：10.答案：解析：611.答案：5解析：2412.答案：50解析：

945

（）13.答案：

56

π解析：14.答案：若选择条件①解：（1）在ABC，因为cosC，所以Cπ,2.因为

abCa，所以b由余弦定理，cab48，所以c4.若选择条件②：在△ABC中，因为AC，以.7因为B，以,π2B9

22因为S

1acc2，29所以2.由余弦定理，b

B所以b.（2若选择条件:由正弦定理

bsinAsinsinC

，可得.sin6所以sinA,sin.3π因为B，以cos.所以sin()sinBAB若选择条件②：

65334.39在△ABC中，因为AC，以因为，所以Bπ，sinB1因为Sacc2，29所以2.

4.9由余弦定理，b

B所以b由正弦定理得

b，sinAsin所以sinA

a3241B.b82因为，以.222所以sin()sinBAB.99解析：15.答案：解：）由2Snan①得，当n时，2S

①－②得，

平面，，所以.平面，，所以.所以当时

，所以

，整理得a

（n所以

为等差数列．又2所以，a，所以a，所以n（2由1）可得，b

a

n

2222n

111，22n2n所以T要使

111355n22n313，只需，10210

．解得

，又n

，所以最小值为8解析：16.答案：（）因为三棱柱所以AAAC

AB

为直三棱柱，所以

因为

AC

，

AA

，所以

AC

平面

B

因为平

BBE因为

AB，ABA

，所以平

ABC

（2由1）知

,

两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz

，即.y30ˆˆ，即.y30ˆˆ则(0

B(2,0,4)

D

设E)

，所以

AD(2,0,4),)

，因为，以

4aa所以平面ABC的个向量为

2,0,1)

设平面

ABD

的法向量为

xz

，所以所即z0.

.令

z

，则2,

，所以平面

AB

的一个法向量为

n(2,1,

所以

30n||BE|656

由已知，二面角

C

为锐角，所以二面角

C

的余弦值为.6解析：17.答案：（）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2令

zlny

，与度x可以用线性回归方程来拟合，则

znxiiiiiiiiii

0.29

，

ˆCy故,k2kˆCy故,k2k所以

0.2925

，，则z于x的性回归方程为于是有y0.29x4.36

0.29

所以产卵数y于温度x的归方程为

0.29当时

y

0.295.50245

（个）所以，在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为个．解析：18.答案：解：）由题意：a

，所以因为，所以cc2c2所以a所以椭圆离率为

22

，长轴长为

（2联立

kx

消整得：

kc因为直线与椭圆交于AB两，故，得k

12

设Ay

，则

xx2k设中Gy则

,22k

kx

2k

2

，2假设存在和点(,0)，使得PAB是以

P

为直角顶点的等腰直角三角形，则PG，k

所以

222

解得，P.2k又因为APB

π

，所以所以,

，即

xa整理得k)12

x1

2

.所以

2k

4

)

8k2k

，代入

，整理得k，k.当，点坐标为k时P点标为,0此时，△是以为角顶点的等腰直角三角解析：19.答案：（）因为f

，由函数f

上为增函数，则

a

x

在

上恒成令h

，

x当时

e

，所以

x

恒成立所以h

在

为增函数．所以h

所以．（2由

x

x

x

x

所以

x

，

x

是g

的两个零点．因为

1

，由（1）知