2023学年陕西师大附中高考冲刺模拟数学试题（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，则()A． B． C． D．2．若集合，则=（）A． B． C． D．3．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则（）A．0 B．1 C．-1 D．4．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为()A． B．0 C． D．5．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（）m．A．1 B． C． D．26．已知函数在上单调递增，则的取值范围（）A． B． C． D．7．设函数满足，则的图像可能是A． B．C． D．8．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（）A． B． C． D．9．在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面：④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．410．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）A．147 B．294 C．882 D．176411．函数的图象大致为A． B． C． D．12．已知，，则（）A． B． C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.14．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．15．已知非零向量的夹角为，且，则______.16．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l过右焦点F，且与椭圆C交于A、B两点，已知Q点坐标为，求的值．18．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若成等比数列，求a的值。19．（12分）设为实数,在极坐标系中,已知圆（）与直线相切,求的值．20．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（1）请利用正态分布的知识求；（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费：②每次获赠的随机话费和对应的概率为：获赠的随机话费（单位：元）概率市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？附：①；②若；则，，.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值.22．（10分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.【题目详解】由于，，故.故选：B.【答案点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.2、C【答案解析】

求出集合，然后与集合取交集即可．【题目详解】由题意，，，则，故答案为C.【答案点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．3、C【答案解析】

由题意可知，代入函数表达式即可得解.【题目详解】由可知函数是周期为4的函数，.故选：C.【答案点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.4、D【答案解析】

运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【答案点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5、C【答案解析】

由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解【题目详解】由题中图像可得，由变速直线运动的路程公式，可得．所以物体在间的运动路程是．故选：C【答案点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.6、B【答案解析】

由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【题目详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【答案点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.7、B【答案解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．8、D【答案解析】

设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；【题目详解】解：设，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故选：D【答案点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.9、B【答案解析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断是的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误．【题目详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结，则，即与不垂直，又，①不正确；对于②，连结，，在中，，而，是的中点，所以，②正确；对于③由②可知，在中，，连结，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；，，，，，；，；异面直线与所成角为，，故．④不正确．故选：．【答案点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．10、A【答案解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.【题目详解】依题意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选：A【答案点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.11、D【答案解析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．12、A【答案解析】

根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果.【题目详解】因为，所以，解得则.故选：A.【答案点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，，由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【题目详解】在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，连接.由，得，，由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,又由已知可得平面平面，平面，，，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【答案点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.14、52【答案解析】

设从第2天开始,每天比前一天多织尺布,由等差数列前项和公式求出,由此利用等差数列通项公式能求出.【题目详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,

则,

解得,即每天增加的数量为，

，故答案为，52.【答案点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.15、1【答案解析】

由已知条件得出,可得，解之可得答案.【题目详解】向量的夹角为,且,,可得:,

可得,

解得，

故答案为:1.【答案点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.16、【答案解析】

点在的平分线可知与向量共线，利用线性运算求解即可.【题目详解】因为点在的平线上，所以存在使，而，可解得，所以，故答案为：【答案点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）．【答案解析】

（1）根据椭圆的离心率为，得到，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到，从而求得，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【题目详解】（1）由离心率为，可得，，且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，因与直线相切，则有，即，，，故而椭圆方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，，，由于；②当直线l的斜率为0时，，，则；③当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由及，得，有，∴，，，，∴，综上所述：．【答案点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.18、（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.【答案解析】

（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．【题目详解】（1）由直线l的参数方程消去参数t得,，即为l的普通方程由，两边乘以得为C的直角坐标方程.（2）将代入抛物线得由已知成等比数列，即，，，整理得（舍去）或.【答案点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．19、【答案解析】

将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【题目详解】解:将圆化成普通方程为,整理得．将直线化成普通方程为．因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得．【答案点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.20、（1）；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费【答案解析】

（1）根据正态分布的性质可求的值.（2）设某家长参加活动可获赠话费为元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额.【题目详解】（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得又，，所以；（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为，得10元的情况为低于平均值，概率，得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率，得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为，得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为.所以变量的分布列为：某家长获赠话费的期望为.所以估计此次活动可能赠送出100000元话费.【答案点睛】本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）【答案解析】

（1）取的中点，连接，易得，进而可证明四边形为平行四边形，即，从