数学-高数强化讲义第七章全

考研高等数主讲第七章多元函数积分 二重积（甲）内容要（40Dx,y|axb,1xy2其中1x，2x在a,b上连续，fx,yD上连续，fx,ydfx,ydxdybdx2xfx, 1x Dx,y|cyd,1yx2其中1y，2y在cd上连续fx,yD上连 2yfxydfxydxdyc

fx, 1yIIDIDIID的DIII中先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D，然后根据D再把二重积（41进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I D,|,12其中1，2在上连续fxyfcos,sinD上连续。fx,ydfcos,sinddd2fcos,sin 模型 D

其中在上连续fxyfcos,sinD则fx,ydfcos,sindddfcos,sin （乙）典型例1ey2dxdyDyxy1yDey2dxdy1dx1ey2 D那么先对ey2ey2dxdy1dyyey2 Dxey2原式1yey2dy1ey21112e02eyx2yx2x

yx1 yx1

xydy

1x21xx2 x2

y1y1y)d(y)=21

y

3y2

dx21y

x2y232

y2 2

3

yx2=31

dx3

2dx 3ID

x2y

x2y2D:x12y2D

D大圆D小x2y2yd

x2y2d0（对称性 2d2r2dr16 2

x2y2d02d r2drD小圆D小

D

x2y2yd1639ydDx2y2d2

x2y2原式2D

x2y2dD

x2y2d上

上 =22d

r2dydr

22=24416163339 339

fx,ydy的积分顺D

fx,2axx其中D由y 和y 以及2axxD yy

y解出x2ax2axxa2y解出xaa2ya2ya2原式=0dy2

fx,ydx0dy

fx,ydx

dya

fx,a2ya2．设fa2yaaxxIadxx f dyfaxx ay ayay ay2x 2 xayaysintdxaycostdt ayIafydy2 dt

afydyfaf 2

a2

3Iex20解I2ex2dxey2dyex2y2 2er 2er

rdrrdr2

0 I2例1．求两个底半径为R的正交圆柱面所围的体解：设两正交圆柱面的方程为x2y2R2和x2z2R2，它们所围在第一卦V1D

R2x2R2xR2R 其中R2xR2R R因此V1R

dy

R

x2dx

2300V

V16R 例2．求球面2和圆柱面x2y22Rx(R0)所围（包含原点一部分）

D

4R2x2y22Rxx4R2r其中D2Rxx4R2rV

4R2r2rdrd42d

2RD32R3

221

R3 3 3 三重积分（数学一（甲）内容要设 x,y,zz(x,y)zz(x,

(x,y)Dxyz1(xyz2x,yD上连续函数f(x,yz在

f(x,y,z)dvdxdyz2(x,y)f(x,y, z1(x,设(xyz)zxyDzz

f(x,y,z)dvdzD(z

f(x,y,f(x,y,z)dxdydzf(rcos,rsin,z)rdrd 相当于把(x,y化为极坐标(r,zxsin ysinsin

0z 02 f(x,y,z)dxdydzf(sincos,sinsin,cos)2sin （乙）典型例1xy2z3dxdydz，其中zxyyxx1z0域解：xy2z3dxdydz1dxxdyxyxy2z3 dx

1x5y6dy11x12x

0y z2

0

x2 y z2a2

dxdydz，其中由曲 c a c

1 xasincosybsinsinzccos（广义球坐标x2 y z222

c

x2y2z2dxdydz，其中x2y2z2z解：用球坐标（2coscosx2y2z224

2cos4sind 4．计算x2y2dxdydz，其中x2y22zz20x2y2dxdydz0 r 2

r62

3x

yb2

zc

zc围成物体的重心（解：设重心坐标x,y,z物体所占空间区域为x0yz 由锥体体积公式可知dxdydz xarcosybrsinz而zdxdydzabc22d1rdr1 2abc 21r(1r2abc

dr

x0y0z42RP0是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该P0的距离平方成正比（k0，求球体重心的位置0x2y2z2R2，P为R,0,0，球体的重心坐标为xy0y0zxkxR2y2z2x

y

z22Rxdv于是xR2y2z2dvx2y2z2dvR2 2ddR4sindR24

32

xxR2y2z2dv2R 2Rx2y2z2dv8R6 xR，重心坐标为R 0 2R2，P0,0,0，重心坐标x,y,0x0yzkx2y2z2z

2

yz2 2

2Rcos

z

y z2

420

0d8

5

R62cos7sind

3

2 2

2Rcos

32x2 y

z2

420

0d

4 于是z5R，重心坐标 0,0,4R 曲线积分（数学一（甲）内容要（对弧长的曲线积分）Lxxtyytzztt则

fx,y,zdsfxt,yt,zt

（假设fx,y,zxt，ytzt皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行算（对坐标的曲线积分）LxxtyytzztA对应参数为B（的大小不一定Pxyz，Qxyz，Rx,yzxtytzt也都连续，则LPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,LPxyzQxyRxyzLPx,y,zdxQx,y,zdyRx,y,Px,y,zcosQx,y,zcosRx,y,zcos其中coscoscosAB上点xyzAB方向的切线四、公1（ DLPx,yQx, D

P dxdy PdxPx,yQx,y在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等LABDLPxydxQxydxD内任意逐段光滑闭曲线CCpxydxQxydyPxydxQxydyduxyD

（乙）典型例IL(zx)dx(xz)dy(xx2y2L是曲线xyz2ZLLx2y21xyz2的交线，是一个椭圆周，它的参数方程（不是唯一的选法）xcosysin，z2xy2cossinL的定向，则从2变到0I02cossin22cossincoscossinsincos02sincos2cos2L1Iexsinybxydxexcosyaxdy，其中a，b为正的常数L2axx为从点2a,0沿曲线y 2axx 于是ILLPdxQdyLPdxQdyI1I2 令exsinybxyexcosyaxQ，根 公I1LLPdxQdy

D y L1y0dy0，故1I21

PdxQdy

2abxdx2a2bIII2a2ba32 2 x x I3中，由又看出

exsiny，故积分与路径无cos 因此Iexsiny I4Lxaacostyasintt0到于是I

a2bsinta2bsintcosta2bsin2ta3costa3cos2t0a32a222II

2a2b2 2

xdy4x4xL

，其中L是以1,0为圆心R1为半径的圆周P

4x2y

，Q

4x2y当x,y0,0时

P因此，不能在L的区域用公设法用曲线C在L的又包含原点在C的，这样在C与L围成的二连通区域内x今取曲线C：

Rysin从20令C与L围成区域为D（二连通区域） 0D

dxdy PdxQdy 用C的参数公式代入后，得1I2 d ［CCxcos，ysinI

24cos2sin2d例3．设函数y具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲(y)dx

2x2y

x0内的任意分段光滑简单闭曲线Cydx 2x2y

0求函数y的表达式设Cx0内的任一分段光滑简单闭曲线，在CMN，作围绕原点的闭曲线，同时得到另一围绕原点的闭曲线。 (y)dx2 2x

(y)dx2xydy 2x 解：设Py ，Q ，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连2x2y 2x2y由（I）知，曲线积分QP

dx2x2y

x0 Q2y2x2y44x2xy4x2y2 2x2y4 2x2y4Py2x2y4

2x2yyy4 2x2y4 2x2y4③y2③yy44yy32y

yy2c，将y代入

2y54cy32y5所以c0，从而yy2

Fyzizxj

2xy2a

zc

1上第一卦M,,问

,,F作功WWmax解：设线段OMxtytzt0t1F在OMW

OMF OMF

yzdxzxdy1OM01OM

t2dt用日乘子法求条件极值。构造函2aG,,,12a

2c2G2

aG2

bG2

c G1 a c2

123得321

由（1）得

2 2

，则

3a同理得

a3b，33

3c33Wmax

abc3

9故原点到

33

33

3c作功最大，最大功3

39 曲面积分（数学一（甲）内容要SzzxyxyzxyDfxyzSfx,y,zds

fx,y,zx, 11xyzz P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,SSzzxyxyZxyDxyRxyzSRx,y,zdxdyRx,y,zx, SZ轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。

cos

cos 其中coscos

S在点x,y,zFP,QR

cos,cos,cos 四、公定 设是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域Pxyz,QxyzRxyz在 Rx

zdv

S(外侧PcosQcosRcosS其中coscos

S在点xyz五、公PQR定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的（取法向量的指向符合右手法则函数Px,y,z,Q x,y,z在包含S的PQRPdxQdyRdzLS

Q

R

PyzdydzzxdzdxxyS cosPQRLPdxQdyRdz S

uu梯 设uux,y,z，则gradu

称为的梯度，令xyz graduF散 设Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,F则divFPQR FdivFdvFn0 其中n0coscoscos3F设Px,yz,Qx,yzRx,yFiikj rotFF Q

Pyzizxj

y F公式可写成FrotFn00LS0其中dxdydz0

cos,cos,cos（乙）典型例

x2y2

z2

1Pxy

S

SP xyz为原点到S

x,y,

xyz，设X,YZ为上任一点，则

即xXyYzZ1 000x000x y2 2 z124x2yx2 y2Sz

1

2z z 4x2y21 xy2 2S

x,y,

dS14x2y24Dx2y24

原式12d24r2rdr34 axdydzza2x2y2x2y2zS

（a0常数a2x2y2其中S:za2x2y2x2y2a令曲面S1:z 下S1S设其区域为，令D为xy平面上圆域x2y2I

1axdydzz

1

a a 113a2zdv 12a42zdva4aaaa

a 1a42

a2r zdza2ra

2I

x1dydzy1dzdxz

S x12y12z12S面2的外 Rdxdy通过计算可知PQR 当S 公式可知I当S 1Sx12y12z12a21选a充分大，使S在S1 ，于是S和S1是二连通区域的边界曲面，现 Rx

zdv 根据公式（二连通区域 外侧内侧I

S外侧 内侧 11S（外侧）上x12y12z12a21IS1S1外侧

x1dydzy1dzdxz1令是以S（外侧）为边界的空间区域x12y12z12a2再 1式I

3dv3a3a

4a343x0Sxfxdydzxyfxdzdxe2xzdxdyS其中fx在0,内有一阶连续导数，且

fx1，求f设为由曲面S包围的空间区域，由题设和公式xfxfxxfxe2xdvSx0xfxfxxfxe2xfx11fx1e2xxxx xx exxfx

e2x1x

得c10c则exxf x 例1．设F2yi3xjzIrotFn0S

S

x2y2z292 公式IFdr2ydx3xdy

dzLSx2y2z

（逆时针方向Lx3cosy3sinz0，由0到00I229sin2d329cos2d182700例2．计算I y2z2dx2z2x2dy3x2y2dz，其中L是平Lxyz2x