2023学年安徽省干汊河中学高考数学二模试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（） A．45 B．60 C．75 D．1002．已知复数，则的虚部为（）A．－1 B． C．1 D．3．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．4．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（）A．12 B．16 C．20 D．85．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．6．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线7．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B9．（）A． B． C．1 D．10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．11．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A． B． C． D．12．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.14．己知双曲线的左、右焦点分别为，直线是双曲线过第一、三象限的渐近线，记直线的倾斜角为，直线，，垂足为，若在双曲线上，则双曲线的离心率为_______15．在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，，则三棱锥外接球的表面积的最小值为________.16．已知的终边过点，若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18．（12分）设实数满足.（1）若，求的取值范围；（2）若，，求证：.19．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：.20．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．21．（12分）为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案，光照设备每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为，求的分布列及期望.22．（10分）已知函数（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】

根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【题目详解】由题意，．故选：B.【答案点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．2、A【答案解析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【题目详解】，故的虚部为.故选：A.【答案点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3、D【答案解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【题目详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.4、A【答案解析】

先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.【题目详解】先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.故选：A【答案点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.5、B【答案解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【题目详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【答案点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.6、C【答案解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【题目详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．【答案点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．7、B【答案解析】

通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.【题目详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，利用列举法，可得下表，原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选：B.【答案点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.8、C【答案解析】试题分析：集合考点：集合间的关系9、A【答案解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【题目详解】，，因此，.故选：A.【答案点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.10、B【答案解析】

模拟程序框图运行分析即得解.【题目详解】；；.所以①处应填写“”故选：B【答案点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、C【答案解析】

根据程序框图的运行，循环算出当时，结束运行，总结分析即可得出答案.【题目详解】由题可知，程序框图的运行结果为31，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.此时输出.故选：C.【答案点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.12、C【答案解析】

根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.【题目详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C.【答案点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.【题目详解】当时，令，解得，所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，单调递减，且，作出函数的图象如图：（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；（2）若，则当时，方程整理得，则，，此时各有1解，故当时，方程整理得，有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，或有0解同时有3解，则，解得，故，（3）若，显然当时，和均无解，当时，和无解，不符合题意．综上：的范围是，故答案为：，【答案点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．14、【答案解析】

由，则，所以点，因为，可得，点坐标化简为，代入双曲线的方程求解.【题目详解】设，则，即，解得，则，所以，即，代入双曲线的方程可得，所以所以解得.故答案为：【答案点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.15、【答案解析】

设，可表示出，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积．【题目详解】设则，由两两垂直知三棱锥的三条棱的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为，∴当时，．故答案为：．【答案点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．16、【答案解析】

】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【题目详解】∵的终边过点，若，．即答案为-2.【答案点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【答案解析】试题分析：(1)连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.试题解析：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.18、（1）（2）证明见解析【答案解析】

（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；【题目详解】解：（1）由及，得，考虑到，则有，它可化为或即或前者无解，后者的解集为，综上，的取值范围是.（2）要证明，即证，由，得，即证.因为（当且仅当，时取等号）.所以成立，故成立.【答案点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.19、证明见解析【答案解析】

由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【题目详解】因为凸边形的面积为1，所以，所以（由柯西不等式得）（由均值不等式得）【答案点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.20、（1）答案见解析．（2）答案见解析【答案解析】

（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【题目详解】（1）两式相加得（2）由（1）知于是，．【答案点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.21、（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，.【答案解析】

（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望.【题目详解】（1）第一组数据平均数为千斤/亩，第二组数据平均数为千斤/亩，可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（（2）（i）对于采用延长光照时间的方法：每亩平均产