剩余计量课件-自相关

（第2版第159页）（第3版第135页）6.1

非自相关假定：Cov(ui,

uj)

=

E(ui

uj)

=

0, (i,j

T,

i

j)如果

Cov(ui,uj)

0,(i,j

T,i

j)则称误差项

ut

存在自相关。自相关又称序列相关。也是相关关系的一种。自相关按形式可分为两类。（1）一阶自回归形式。ut

=f

(ut-1)（2）高阶自回归形式。ut

=f(ut-1,ut

-2

,…)经济计量模型中自相关的最常见形式是一阶线性自回归形式。ut

=

1

ut-1

+

vtE(vt

)

=

0,

t

=

1,

2

…,

TVar(vt)

=

v2,

t

=

1,

2

…,T。Cov(vi,vj

)

=

0,

i

j,

i,

j=

1,

2…,

TCov(ut-1,

vt)

=

0,t=

1,

2

…,

T依据

OLS

公式，模型

ut

=1

ut

-1

+vt

中1

的估计公式是TT

ut

12t

2

ut

ut

1aˆ1

=

t

2

。T

TTt

2

t

2ut

ut

1若把

ut,

u

t-1

看作两个变量，则它们的相关系数是

ˆ

=

t

2

。ut

2

ut

12对于充分大的样本显然有T2T2

t

t

1t

2

t

21ˆˆu

u

。代入上式得

TT

t

2

ut

12ut

ut

1t

2对于总体参数有

=1。ut

的一阶自回归形式可表示为，ut

=

ut-1

+vt（第2版第159页）（第3版第136页）。序列的自相关特征分析。-4-202410

20

30

40

50

60

70

80

90

100Xa.

正自相关序列b.

正自相关序列散点图-6-4-20246102030

40

50

60

708090

100Xc.负自相关序列-3-2-1012310

20

30

40

50

60

70

80

90

100Ue.非自相关序列f

非自相关序列散点图-6-4-20246-6-4-20246X(-1)X-6-6

-4

-2

0d.

负自相关序列散点图-4-2024624（第6

2版161页）（第3版137页）X(-1)X-4-2024-4-2024U

(-1)U6.2自相关的来源与自相关的来源：1．模型的数学形式不妥。惯性。大多数经济时间序列都存在自相关。回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。（第2版163页）（第3版139页）04812162024280.00.20.40.60.81.01.2Y

YF1

YF2X-3-2-10123478

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

00

02RESID

06.2

自相关的来源与（第2版164页）（第3版140页）模型存在自相关的1.回归系数的最小二乘估计量ˆ

j仍具有无偏性。j2.Var(

ˆ

)不再具有最小方差性。3.有可能低估误差项ut

的方差（估计小了）。1u，4.由于ut

存在自相关时，Var(

ˆ

)和s

2都变大都不具有最小方差性。用依据普通最小二乘法得到的回归方程去

， 无有效性。012345-1.0-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5B1F1

B1F2

B1F36.3

自相关检验图示法：依据残差et

对时间t

的序列图作出判断。DW（Durbin-Watson）检验法使用DW

检验，应首先满足如下三个条件。（1）误差项ut

的自相关为一阶自回归形式。（2因变量的滞后值Yt-1不能在回归模型中作解释变量。（3）样本容量应充分大（T

15）DW

检验步骤如下。H0:

=

0 (ut

不存在自相关)。H1:

0 (ut

存在一阶自相关)用残差值

et

计算统计量

DW。DW

=T

et2t

1

et

1

)

2(et

t

2

=TT

T

T

T

et

2

et

12

2

et

et

1

t

2

t

2

t

2

et

2t

1T

T

T因为在样本容量充分大条件下有et

2

≈

et

12

≈et

2t

2

t

2

t

1Tet

12t

2T

T2et

1

2et

et

12所以

DW

可以近似表示为，

DW≈

t

2

t

2

=2(1-TTet

12t

2et

et

1

t

2

)=2(1-

ˆ

)（第2版167页）（第3版142页）当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（1）加大样本容量或重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其它检验方法。DW检验临界值与三个参数有关。（1）检验水平，（2）样本容量T

,(3)原回归模型中解释变量个数k（不包括常数项）。

的取值范围是[-1,

1]，所以DW统计量的取值范围是[0,

4]。6.3

自相关检验（第2版168页）（第3版144页）

与DW

值的对应关系及意义DW ut

的表现

=

0DW

=

2ut

非自相关

=

1DW

=

0ut

完全正自相关

=-1DW

=

4ut

完全负自相关0

<

<

10

<

DW

<

2ut

有某种程度的正自相关-1

<

<

02

<

DW

<

4ut

有某种程度的负自相关DW=

2

(1-

ˆ

)6.3

自相关检验（第2版169页）（第3版145页）（3）LM检验（亦称BG检验）法LM

统计量既可检验一阶自相关，也可检验高阶自相关。LM

检验是通过一个辅助回归式完成的，具体步骤如下。Yt

=

0

+

1

X1

t

+

2

X2

t

+…

+

k

Xk

t

+

ut考虑误差项为n

阶自回归形式ut

=1

ut-1

+…+nut

-n

+vtH0:

1

=

2

=

…=

n

=

0用多元回归式得到的残差建立辅助回归式，et

=

ˆ1

et-1

+…

+

ˆ

n

et-n+0

+1

X1

t

+2

X2

t

+

…

+

k

Xk

t

+

vt估计并计算确定系数R2。构造LM

统计量，LM

=TR2若LM=T

R2

2(n)，接受H0；若LM=T

R2

>2(n)，H0。6.4

自相关的解决方法（第2版171页）（第3版146页）如果自相关是由于错误地设定模型的数学形式所致，那么就应当修改模型的数学形式。方法是用残差et

对解释变量的较高次幂进行回归。如果自相关是由于模型中省略了重要解释变量造成的，那么解决办法就是找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型。怎样查明自相关是由于略去重要解释变量引起的？法是用残差

et对那些可能影响被解释变量，但又未单列入模型的解释变量回归，并作显著性检验。只有当以上两种引起自相关的原因都排除后，才能认为误差项

ut

真正存在自相关。在这种情况下，解决办法是变换原回归模型，使变换后模型的随机误差项消除自相关。这种估计方法称作广义最小二乘法。6.4

自相关的解决方法（第2版172页）（第3版147页）Yt

=0

+1X1t+2

X2t+…+

k

X

kt

+ut

，ut

=

ut-1

+vt（vt

满足假定条件）Yt

=

0

+

1

X1t

+2

X2

t

+

…

+

k

Xkt

+

ut-1

+

vt求(t

-1)

期关系式，并在两侧同乘

Yt

-1=

0

+

1X1t

-1

+

2

X2

t-1

+

…

+

k

X

kt-1

+

ut-1上两式相减：Yt-Yt-1

=0

(1-)+1

(Xt

-

X1

t-1)+…+k

(Xk

t

-

Xk

t

-1)+vt作广义差分变换：Yt*

=

Yt

-

Yt

-1，

Xj

t*

=

X

j

t

-

Xj

t-1,

j

=

1,

2

,

…

k，

0*

=

0

(1-

)则模型如下Yt*

=

0*+

1

X1t*

+

2

X2

t*

+…

+

k

Xkt*

+

vt(

t

=

2,

3,…

T)vt

满足通常假定条件，上式可以用

OLS

法估计。6.4

自相关的解决方法（第2版173页）（第3版148页）注意：（1）上式中的

1,

…,

k

就是原模型中的

1,

…,

k。0*与原模型中的1k,…,

ˆ

ˆ0

有如下关系，

0

=

0*/

(1

-

)。上述方法得到的

ˆ0

,

称作回归系数的广义最小二乘估计量。当误差项

ut

的自相关具有高阶自回归形式时，仍可用与上述相类似的方法进行广义差分变换。用回归与时间序列组合模型克服自相关。6.5

自相关系数的估计用DW

统计量的值计算。ˆ

=

1

-（DW

/

2）直接拟合估计。（第2版177页）（第3版151页）6.6

案例分析2004006008001000120014000500100015002000XY-60-40-2002040608010078

80

82

84

86

88

90

92RESIDYt和Xt

散点图残差图（第2版177页）（第3版152页）例6.1市城市城镇居民人系研究。先定义不变

（Yt

=CONSUMXt

=

INCOME假定所建立的回归例6.1

市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。（1）估计线性回归模型并计算残差。tˆY

=111.44

+

0.7118

Xt(6.5)

(42.1)

R2

=

0.9883,

s.e.

=

32.8,

DW

=

0.60,T

=

23（2）分别用

DW、LM

统计量检验误差项

ut

是否存在自相关。已知

DW

=0.60，若给定

=0.05，查附表

4，得

DW

检验临界值

dL

=1.26，dU

=1.44。因为

DW

=0.60

1.26，认为误差项

ut

存在严重的正自相关。LM（BG）自相关检验辅助回归式估计结果是et

=0.6790et

-1

+3.1710–0.0047

Xt

+vt(3.9)

(0.2) (-

0.4)

R2

=

0.43,

DW

=

2.00LM

=

T

R2

=

23

0.43

=

9.89。因为2

=

3.84，LM=

9.89

>

3.84，所以

LM

检验结果0.05(1)也说明误差项存在一阶正自相关。EViews

的LM

自相关检验操作：点击最小二乘回归窗口中的

View

键，选

ResidualTests/SerialCorrelationLM

Test…，在随后弹出的滞后期

框中给出最大滞后期。点击

OK键。例6.1

市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。（3）用广义最小二乘法估计回归参数。22首先估计自相关系数

ˆ

。ˆ

=1-DW

=1-0.60

=0.70对原变量做广义差分变换。令GDYt

=

Yt

-

0.70

Yt

-1GDXt

=

Xt

-

0.70

Xt–1以GDYt,GDXt，（1979

~

2000

年），为样本再次回归，得GDYt

=

45.2489

+

0.6782

GDXt(3.7)

(20.0)R2

=

0.95，DW

=

2.31，T

=

22，(1979

~2000)DW

=2.31。查附表

4，dL

=1.26，dU

=1.43。因为

DW

=2.31<(4-1.43)=2.57，误差项已消除自相关。200-20-404060-6078

80

82

84

86

88

90

92

94

96

98

00RESID例6.1市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。ˆ0

*=45.2489。ˆ0

=

ˆ0

*／(1-

ˆ

)

=

45.2489/(1-0.70)

=

150.8297t原模型的广义最小二乘估计结果是

Yˆ=

150.8297

+

0.6782

Xt市城镇居民人均消费性支出平均占人均可支配收入的

67.82%。（第2版179页）（第3版154页）注意：R2值有所下降。不应该不相信估计结果。原因是两个回归式所用变量不同，所以不可以直接比较确定系数R2的值。两种估计方法的回归系数有差别。计量经济理论认为回归系数广义最小二乘估计量优于误差项存在自相关的OLS估计量。所以0.6782应该比0.7118更

。特别是最近几年，

市城镇居民人均收入的人均消费边际系数为0.6782更

。（3）用EViews生成新变量的方法：从工作文件主菜单中点击Quick键，选择Generate

Series…功能。打开框。在

框中输入如生成序列（Generate

Series

by

Equation）下命令（每次只能输入一个命令），Y

=

CONSUM

/

PRICEX

= E

/

PRICE按OK键。变量Y和X将自动显示在工作文件中。例6.1市城镇居民人均消费与人均可支配收入的关系。例6.2

市保费收入和人口的回归关系本案例主要用来展示当模型误差项存在2阶自回归形式的自相关时，怎样用广义差分法估计模型参数。1967~1998年市的保险费收入（Yt，万元）和人口（Xt，万人）数据散点图见图。Yt与Xt的变化呈指数关系。对Yt取自然对数。LnYt与Xt的散点图见图。可以在LnYt与Xt之间建立线性回归模型。LnYt

=0

+1

Xt

+ut0100000200000300000XY650

700

750

800

850

900

950Yt和Xt散点图468101214LnY700

800LnYt和Xt散点图（第2版181页）（第3版155页）-0.6-0.4-0.20.00.20.40.67075808590950.8RESID例6.2市保费收入和人口的回归关系（第2版183页）（第3版157页）案例2

市保费收入和人口的回归关系（1）估计线性回归模型并计算残差。LnYt=

-11.18

+

0.0254

Xt(-20.9)

(37.2)R2

=

0.9788,

DW

=0.36,T

=

32,(1967-1998)（2）检验误差项ut

是否存在自相关。DW

=0.36，查附表4，dL

=1.37，dU

=1.50。因为DW

=0.36

1.37，依据判别规则，认为误差项ut

存在严重的正自相关。例6.2案例2市保费收入和人口的回归关系市保费收入和人口的回归关系对残差序列的拟合发现，ut

存在二阶自相关。et

=

1.186

et

-1

-

0.467

et

-2

+

vt(6.9)

(-2.5) R2

=

0.71,

DW

=

1.97(1969-1998)（3）用广义差分法消除自相关。首先推导二阶自相关

ut=1ut

–1+2ut

–2+vt

条件下的广义差分变换式。设模型为LnYt

=

0

+

1

Xt

+

ut写出上式的滞后

1

期、2

期表达式并分别乘以1、2，1LnYt-1

=

10

+

11Xt-1

+

1ut-12

LnYt-2

=

20

+

21Xt-2

+2ut

-2用以上

3

式做如下运算，nYt

-1LnYt-1-2LnYt-2

=