2022年八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版华东师大版

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解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×12ab+c2,即(a+b)2=4×12ab+c2,化简得a2+b2=c答案:(a+b)24×12ab+c2a2+b2=c4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是 ()A.SΔEDAC.S四边形CDAE=3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.

5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35 B.43 C.89 D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=SΔACD又∵S四边形ADCB=SΔADB+S∴12b2+12ab=12c2+12∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,

∵S五边形ACBED=又∵S五边形ACBED=∴,

∴a2+b2=c2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积和是12ab×4=13-1=12,即2ab=12,则(a-b)2=a2-2ab+b2=13-12=1.2.D(解析:由SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD,可知12ab+12c2+12ab=12(a+b)2,∴c2+2ab=a2+2ab3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c2=4×12ab+(a-b)2=a2+b2.(2)如图所示.(3)∵2ab=(a+b)2-(a2+b2)=196-100=96,∴ab=48,∴S=12ab=124.440(解析:如图所示,延长AB交KL于P,延长AC交LM于Q,则ΔABC≌ΔPFB≌ΔQCG,∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴矩形KLMJ的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a2+b2=大正方形的面积=13,2ab=四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab=6,则a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=132-2×62=169-72=97.故选D.)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a2+b2,∵它们的面积都等于边长为a+b的正方形的面积-4个直角边分别为a,b的直角三角形的面积和,∴a2+b2=c2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,RtΔDAB和RtΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S,则S=12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,又S=SRtΔDBD'+2SRtΔABD=12c2+2×12ab=12c2+ab,∴12(a2+b2)+ab=12c2+ab,因此a2+8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD,EFGH,MNKT是正方形,∴CG=NG,CF=DG=NF=GK,∴S1=(CG+DG)2=CG2+DG2+2CG·DG=GF2+2CG·DG,S2=GF2,S3=(NG-NF)2=NG2+NF2-2NG·NF,∴S1+S2+S3=GF2+2CG·DG+GF2+NG2+NF2-2NG·NF=3GF2=16,∴GF2=163,∴S2=163.故答案为9.证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABE+SΔADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定