2004-2005学年第一学期概率论与数理统计(A)重修课考试试卷答案

2003-20042003-2004学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案第第5页共10页2003-2004学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案（本题满分56分，共有8道小题，每道小题7分．1．根据以往的考试结果分析，努力学习的学生中有的可能考试及格，不努力学习的学生中有的可能考试不及格．据调查，学生中有90%的人是努力学习的，试问：⑴考试及格的学生中有多大可能是不努力学习的人？⑵考试不及格的学生中有多大可能是努力学习的人？解：AB被调查的学生考试格 B由题设，有PA0.90.1A B要求的概率为

PAB和

．由Bayes公式，有 A

0.10.9⑴PAB

A

0.90.90.10.90.012195． A

0.90.9⑵PAB

0.90.90.1

0.5．PAPBAP

APBA房间内有10个人，分别佩带1号到10号纪念章，任意选出5个人记录其纪念章的号码，令X其最小号码，⑴求X的分布律．⑵求解：⑴X的取值为2, 4, 6，并且 C

126

C4 70

C4 35PX1

9 ，PX2 8 ，

X3 7 ，C5 252 C510

252 C510

252 C4 15 C4 5

C4 1PX4 6 ，PX5

5 ，

X6 4 ．C510X的分布律为

252 C510

252 C510

252X1 2 3 4 5 6XP126P252

70252

35 15 5 1252 252 252 252⑵

5 1 6

10.023809523．252 252 252 42（本题满分8分）有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各5杯．如果从中挑4是成功一次．⑴.某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？⑵104区分的能力（设各次试验是相互独立的．解：⑴.A C4 5 1PA 5C410X

210 42

X~B10, 1⑵.

10次成功的次数，则

70

X4

4 61 4 C4 5.8402101 4 BX4BX4是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．设二维随机变量, Y的联合密度函数为fx,

ycx2y 0yx1，0 其它0 ⑴试求常数c；⑵求条件密度函数fYX解：f ⑴由联合密度函数的性质，有

yx．ydxdy1，因此 1 x

c1 c1f x, ydxdydxcx2ydy x4dx ， 0 0所以，c10．⑵当0x1时，

2 100 xf x X

x,

dy10x2ydy5x40所以随机变量X的边缘密度函数为

f x5x4

0x1．其它 fx, y 2y

yx所以当0x1fYX

yxfX

x

x20 其它设二维正态随机变量, Y的边缘分布X~N概率PXY1．

~N，且相关系数X,Y

0．求解：由于, Y服从二元正态分布，且X与Y的相关系数 0，得X与Y相互独立．所以X,YZXY也服从正态分布．EXYEX101，DXYDX415，ZXY~N

5．YPXY101． 25 5一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为、、．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率．（附表：标准正态分布x的数值表：1.891.992.092.190.97060.97670.98170.9857xxx设X 表示该食品店出售的第k只蛋糕的价格, 300，则X 的分布律为XkXk11.21.5P0.30.20.5所以，EXk

10.31.20.21.50.51.29， EX2k

120.31.220.21.520.51.713，所以，DXk

EX2EX 27132920489．k k因此，X, X , , X 是独立同分布的随机变量，故1 2 300300 300 300 X EX 39EX k300DX kk300DX kkkk300DX kk

k k k P

391P kk1

3953953001.293000.048300Xk3000.0489k3000.0489

3001.29 300Xk3000.0489k3000.0489

3001.29

2.091

1981.0183 7．设总体X~N2, 1

, , X2

是取自该总体中的一个样本，X是其样本均值，试求：⑴X,1

X, , X2

的联合密度函数f*,1

x, , x2

Xgx．解： 由于总体X~N,

，所以X的密度函数为

1 2 f x

2 x

x． 2 ⑴1

X, , X 的联合密度函数为2 10f*, x1

, , xn

xf1

1

10

102

exp 1

10xii1

2⑵由于

X~N

, 210

X

x, 2, , 10i 1 gx

22

1 2 ．

10

x 2 2

x 10 设总体X服从区间上的均匀分布，,1求未知参数的矩估计量为ˆ．

X, , X 是取自该总体中的一个样本，2 n解：总体X的密度函数为fxx1，则0 其它

1

1

1 1EX xf xdxxdx x2

122 1 ．

2 2 2 2所以，EX1EXX来替换，得的矩估计量为X1．2 2（本题满分30分，共有3道小题，每道小题10分，设随机变量X~NYX．试求随机变量Y的密度函数f y．Y解：随机变量X的密度函数为2f x 2X

e2e

x．设随机变量YXFY

y，则FyY2003-20042003-2004学年第二学期概率论与数理统计（B）期末考试试卷答案第第10页共10页y0FY

y0．⑵当y0时，FyyXyYyfXy

y22

x2 222dx2

y0

x22dx 2 y x FY

y

e 2dx00

y0．y0 2 y2

yFy e 2Y Y 0

y0．y01公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量X（单位：公斤）是一个随机变量，且X服从区间2000上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该商店应进多少货？解：X的密度函数为

1

1000x2000f x 1000X 0 其它设该商店进货sY是该商店所得利润，则有YHX

100s sX 100X60sX

sX即YH 100s sX60s sX所以， EY EH

HxfX

xdx 1 s160x60sdx

1 200

sdx1000

1000 100

100 1 80s280000000 60 ss1000100s2000s 1000 1000 100 令：gs 1 80s280000000 60 1000

s2000s1000 1000 1000则gs 80 2s 60 2s602001002s2604s1000 1000 1000 25令gs0，得驻点s 1625，并且可以判别s 1625是函数gs的最大值点，因此当该商店进货0 0s 1625公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．0XLaplace分布，其概率密度为fx

1ex x．2其中是未知参数．, X, ,1 2

X ．⑵试n用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计概率PX

0．解：设1

X, 2

X 是从该总体中抽取的一个样本，由于nEXxfxdxx1exdx1xedxx2 2 作变换ux，则dudx，代入上式，得EX

1ueudx

1 uu

uuue2 2

dx e dx2 eudx eudx eu2 0

． 0所以，得EXEXX替换，得的矩估计量为X．⑵EˆEXEX，而D

EX2x

fxdxx21exdxx2exdx2 0 作变换ux，则dudx，代入上式，得DX

u2eudu2．0

DX 2 ．n nChebyshev

PX

DX2

2n2．（本题满分14分，共有2道小题，每道小题7分12X的分布律为XX123P212其中01是未知参数，,1

X , X 是从中抽取的一个样本，试求当样本观测值为2 3x1 解：

2, x3

时，参数的最大似然估计值．PX 1

X 2

X 1PX 3 1 2 3

5．所以当样本观测值为15

x 2, x2

1时，似然函数为4．令0，得40，由此得似然函数在区间上的驻点为0

5．并且6

是似然0函数在区间上的唯一驻点．因此此时似然函数的最大值点为0

5．即当样本观测值为61

x 2, x2

1时，参数的最大似