计算方法的课后答案

《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差什么是计算方法？（狭义解释）一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223利用九韶算法计算多项式P(x)xx3x54x3处的值，并编程获得解。P(x)x50x4x3010-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223所以，多项式P(x)xx3x54在x3处的值P(3)223。5．叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差。舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。答：设x*是某个量的精确值，x是其近似值，则称差ex*x为近似值x的绝对误差（简称误差。若存在一个正数使ex*x，称这个数为近似值x的绝对误差限（简称误差限或精度。r把绝对误差e与精确值x*之比er

ex*x称为近似值x的相对误差，称xx* *xxx* 为近似值x的相对误差限ex*r

，由于真值x*是未知的，所以常常用ex*xe来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。r x x近似值的规格化表示形式如何？答：一般地，对于一个精确值x*，其近似值x的规格化形式为x0.xxx12 p

10m，其中x1

0,xi

0,1,2,9(i1,2,p)，p为正整数，m为整数。有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。答：若近似值x的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。若近似值x的（绝对）误差限为ex*x110mn，则称x为具有n位有效2数字的有效数，或称它精确到10mn位，其中的每一位数字x,x1 2

,xn

都是x的有效数字。设精确值x*的近似值x的规格化形式为x0.xxx12 p

10m，若x具有n位有效数字，则其相对误差限为er

1101n；反之，若x的相对误差限为2x1e r 2(x1

101n，则x至少有n位有效数字。对误差限和有效数字的位数。（1）x1

0.024（2）x2

0.41353

57.50x*x*xxex

60000（5）x5

8105；解1）e x*xx*x*xxex

0.0005；er

0.0021；有三位有效数字。e x*xx*x*xxex

0.00005；er

e x*xx*x*xxex

0.005；er

0.000087；有四位有效数字。e x*x4 4

0.5；er

0.0000084；有五位有效数字。）e x5

x ；e5 r

；有六位有效数字。x* xex1910．为了使 的相对误差x* xex19解：由e)r

的首位数是x*有n位有效数字，由定理4.1可知，相对误差191 101n 解得n ，即取4位有效数字，近似数的相对误差192 4不超过0.1%。11．已知y Px2 x10033，计算y* p100)及y P(3 3并求x和y的相对误差。

100 100)2 100)1150 p() (3 3 3p() (y P

1150 28x* x xe(x)xr

0.0101y* y e(y)ye(y)e(y)yr

0.801587．写出误差估计的一般公式（以二元函数z 为例解：二元函数z 的绝对误差：f| f|xy

e(y)二元函数的相对误差：ef

f

e(y)r z x f|

(x,y)e

z yy f

(x,y)

ze(y)z xr z yr．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流围分别为V220，I100.1A，求这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。解：e(V)2，e(I)0.1，又RV,R

1,RV

。所以：e(R)

RRV| )RV(V,I) I

IV II I2| e(I)(V,I)RVRVRI| ) | e(I) 2 0.10.42(V,I) (V,I) 10 100e(R)e(R)r

1.99102。R14．若x*1.030.01,x*0.450.01，计算yx21ex2的近似值，并估计e(y)及1其上界。y(1.03)2

2 1 21e0.4521 1 12222e(y)y*y(x* ex*)(x ex)(x*x)(x*x) (ex*ex)22221 2 1 2 1 1 1 1 2(x(xx)(xx) (e * * x* x2 2

)2.061021e0.01,(x

,x*)1 1

1 2 2 2 2已测得某场地长为l110m，宽d的值为d80m，已知e(l)l*l0.2m，e(d)d*d，试求面积sld的绝对误差限和相对误差限。sldsd,sl

l，e(l)l*l0.2m，e(d)d*d。可得：

e(s)

ssl(l,d

e(l)s|d

(l,d

e(d)

(l,d

e(l)

(l,d

e(d)slsd1100.2800.1slsde(s)e(s)r

3.4103。s1）加、减运算：由于xy/x1xy/y1,xy/x1,xy/y1,，所以yex

xyx/xye

xyy

y,exyexey, r

exyx/xyexy/xyey,从而有|exyx/xy|x|r r r r r|y/xy|y|r乘法运算：由于xyy,xy所以eyyexxey,ex y |exy||y||ex|x||ey|除法运算：

xyer

xer

y，从而()()x 由于x x1,x yx ，所以e() e(x)xe(y)，()()x y y y y2 y y y2xe()exry

(x)er

(y)xn

由于x

nxn1，所以exn

nxn1ex,exnr

nexr783x256x104（783

27.982。解：x1

56 (56)24112827.98255.78221xc2 x1

155.782

0.017863x216x103解：x1

16 (16)241187.93715.93721xc2 x1

115.937

0.062747所以较小正根为x0.062747。2In

1xnexdx,n,,104。0（1）证明：IenI ,n4；n n1（2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。

1xnexdx1xndexe1nxn1exdxenIn 0 0

n1

n1

1(eI)n n设e I*I，则n n nen1

I*n1

I e1nn1 n1nen2

I*n2

I e1n2n2 n1n21nneI*I e1nn0 0 0 n当n无限大时，e越小，所以该算法稳定。n用递推算法计算积分

1 xn dx,n,210，并验证算法的数值稳定性。n 014x114xnxn1xn1 1

1xn1 1 1

dx (xn1dx dx) In 40 14x 4

014x

4n 4

n1设e I*I，则0 0 01eI*I e1 1 1 40142e I*I e1422 2 2 0e I*10

I e141010 01410所以该算法是稳定的。设计一个计算f(x)x123x2416x36的最小计算量的算法。解：f(x)x123x2416x36xxx2x4x43x12x1216x12x24什么是数值稳定的算法？数值计算应遵循的六条规则是什么？答：一个算法如果原始数据有误差（扰动控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此算法是数值不稳定的。数值计算应遵循的六条规则是：选用数值稳定的算法（计算公式；尽量避免两个相近数相减；尽量避免用绝对值很大的数作乘数；尽量避免用绝对值很小的数作除数；（）小数（即合理安排运算顺序；简化计算步骤，减少运算次数。第二章 非线性方程的数值解法1．叙述零点定理的容。答：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且f(a)f(b)0，则存在x*(a,b)使f(x*)0，即f(x)在区间(a,b)存在实的零点，称区间[a,b]为方程的有根区间。2．方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？答：第一步确定方程f(x)0的有根区间。第二步近似根的精确化。确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法。3．利用作图法确定方程f(x)x3x10的有根区间。解 f(x)x3x1 ：yy101x由于f(0)10,f(2)82150,于是在区间(0,2)至少有一个根取步长h0.5向右进行根的搜索，即计算 f(0.5),ff的值得到f(0.5)0,f0,f0，从而，原方程的有根区间缩小为4．利用逐步搜索法确定方程f(x)x33x24x30的有根区间。f(030f50于是，方程在至少有一个实根，所以，x1h0.5向右进行根的搜索，即计算f(0.5得到f(0.510，从8而，原方程的有根区间缩小为(1,1)。2x34x2100的有根区间。解：由于函数f(x)x34x210的定义域为,，用逐步搜索法：由于f(0100f(2140，于是，方程在(0,2x0,取步长h0.5向右进行根的搜索，即计算f(0.5),ff的值得到f(0.5)0,f(1)0,f(1.5)0，从而原方程的有根区间缩小为(1,1.5)二分发的基本思想是什么？解：二分发的基本思想是将方程f(x)0的有根区间逐步分半，通过判别f(x)在端点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间使方程f(x)0有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。以方程f(x0的有根区间为b为例f(a0f(b0b分半，用区间bab将b分为两个相等2fabfab0x*ab就是方程f(x)0的2 2 2根；否则，若f(ab)0，由于f(x)在左半区间a,ab不变号，所以方程的有根区2 2间变为ab,b。同理，若f(ab)0，则方程的有根区间变为a,ab，从而将新2 2 2的有根区间记为b，且区间b的长度仅为区间b的一半，即b

ba。1 1 1 1

1 1 2ab第二步：对压缩了的有根区间

a,

又可施行同样的方法，即用中点1

1将区1 1 2间a,b再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个1 1新的有根区间

b

a,b的一半。2 2 1 1如此反复可得出一系列有根区间且具有关系a,ba,ba,b，1 1 k k其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间a,bk k

的长度bak

ba，当2kk时，区间bk k

的长度必趋于零，即这些区间最终收缩于一点x*，显然x*就是方程f(x)0的根。以方程f(x)0的有根区间为b，精度要求为，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k的计算公式。解：若事先给定的精度要求为

0，则只需x*xk

ba2k1

，即k

baln，ln2此时x就是满足给定精度要求的近似值，k为二分法的次数。k用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k（编程）（1）f(x)xex2 JD0.0001解：xk

0.852600 k12（2）f(x)x33x24x3 JD0.00001解：xk

1.499992 k15（3）f(x)x34x210 JD0.0005解：xk

1.364746 k10（4）f(x)x3x1 JD0.00005解：xk

1.324707 k13若应用二分法求方程exsinx0在区间上误差不超过1的近似值，应二分2 25多少次？解：其近似根为0.437500，应分k5次。迭代法的基本思想是什么？解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程f(x)0的一个粗糙的初始近似根x，0然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要求为止。迭代法的具体做法如何？解：(1)将方程f(x)0改写成等价形式x(x),在根x*的附近任取一个初始近似根x。0(2)构造近似根序列：将x0

代入(x)计算得到x1

(x0

)，一般x1

x，再把x作101为新的近似根代入(x)得到x2

(x)，重复上述步骤即可。1迭代法的几何意义是什么？xyyxp*的x*。设迭代初值为xyxp，p点的0 0 0 0 0

xyxP

x，0 0 1 0然后过点P引平行线于y轴的直线，并与曲线yx的交点记作p，重复上述过程可得0 1点列p,p,,p,,他们横坐标依次由迭代公式x k所确定。如果1 2 k k1 k点列p,p,,p,,逐步逼近p*，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。1 2 k叙述迭代过程收敛定理的容。解：假设迭代函数满足下列两个条件x有a(x)b；L1x(x)L1。则（1）对任意初值xb迭代过程x (x)均收敛于方程x(x)的根x*，0 k1 k即limxk

x*(k)。(2)误差事后估计公式为x*x k

x1111

x。k试构造收敛的迭代公式求解下列方程：cosxsinx（1）x ； （2）x42x4

2sin(x)（1）将方程xcosxsinx改写为x4

4，从而得到迭代公式4x k1

2sin(xk4

)4 k0,1,2,。（2）将方程x42xx ln(4x)k。kk

改写为xln(4x)，从而得到迭代公式判断迭代法解方程f(x)xln(x2)0在的根时所用的迭代过程的收敛性。解：将方程xln(x2)0改写为xln(x2)，从而得到迭代公式xk1

ln(xk

2),k0,1,2,。则(x)ln(x2)为迭代函数。由(x)

1 1，x24646464646用迭代法计算s

的近似值。牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程f(x)0逐步归结为某种线性方程来求解的方法。具体做法：设已知方程f(x)0有近似根x，将f(x)在x作一阶泰勒展开，于是方k k程f(x)0可近似地表示为f(xf(x)(xx)0是一个线性方程，设f(x)0，k k k k则x

f(x) k

f(xk),k0,1,2,。k f(x)k

k1

f(x)k牛顿法的几何意义是什么？解：牛顿迭代法实质上是用过点(x,f(x))的切线与x轴交点的横坐标x 来逐步逼k k k1近曲线yf(x)与x轴交点的横坐标x*,所以牛顿法又叫切线法。试证：用牛顿法求方程(x22(x)0在x*2是线性收敛的。证明：由牛顿迭代公式x

xf(xk),k0,1,2,，可得，k1

k f(x)k(x)x

f(x)

2x23x6，显然，(2)0，所以该迭代过程是线性收敛的。f(x) 3x4x3a0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。解：设f

(x)

x3a

0，得牛顿迭代公式为x

xk

x3ak3x2k

,k0,1,，牛顿迭代函数(x)2x3a，(x)2x32a(3a)01，所以该迭代公式收敛。3x2 3x3正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？ 解：基本思想：用过两点(x,f(x))，(x ,f(x )) k k k1 k1牛堆迭代公式中的倒数f(x)。k具体做法：对方程f(x)0经过k次迭代后得到近似根x ，x，从而取k1 kf(x

(f(x)f(x ))) k k

， 于 是 牛 顿 迭 代 公 式 变 为k (xk

x )k1x x

f(xk

(xx

)，此公式为正割法迭代公式。k1

k f(xk

)f(x

) k1

k1 几何意义：正割迭代法是用过两点A(x,f(x))，B(x ,f(x ))的直线与x k k k1 k1的横坐标x 来逐步逼近曲线f(x)与x轴交点的横坐标x*，因此正割迭代法又叫割线法。k1简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。解牛顿迭代法在计算时只需要一个初值x在计算x 只用到前一步的值但要0 k1计算f(xk

)；而正割法在计算时需要两个初值x0

x，在计算

k

时要用到前两次的迭代值x ，x，但不用计算导数。k1 k30．使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法：艾特肯加速公式：

1

0,1,2,2

211

2 斯蒂芬森方法：

1 2迭代：

,

0,1,2,;

22

0,1,2,.第三章 线性方程组的数值解法答：线性方程组的数值解法有两大类：方程组精确解的算法。即先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。高斯消去法的基本思想是什么？AXb同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的？答：用高斯消去法解线性方程组AXb0序消去法的程序。2xx2x

5 3xx4x7（1）5x1x2x38 ； （2）12

1。x1 2 3

x 2x 2x 1 2 3 3x4x4 2x3x2x01 2 3 1 2 31）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：212 5 21 25 2125 x1 15-11 8 0-7-8-90789x1； 1-3-4-4 0-7-10-13 002 3利用完全主元素消去法得：212 5 5-1 18 5-1 18 5 1 -18 5-1182 1 250 7 890 8 791-3-4-4 1-3-4 -4 0 2 34 0 3 24 5 1 -18 x10 8 79x12； 0 0 5-5

x31 2利用列主元素消去法得：212 5 5-1 18 5-1 18 5-1 18 x15-118

2 1 250 7 890 7 8

x11 21-3-4-4 1-3-4 -4 0 2 34 0 0 510 x2

3（2）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：3 -1 4 7 3 -1 4 7 3 -1 4 7 x2 1-1 2-2 0 5 -2 40 5 -2 4x1； -1 22 -3-2 0 0 1 2 2 0 0 2 1 1

x3 2利用完全主元素消去法得：3-1 47 4 -1374-1374-137-12-2-1-22-1-1031503152 -3-2 0 -

-3 2 0 0 -1 1 1 0 -1 1 1 x14 -1 3 7 3 20 3 1 5x1； 0 0 4 8

x22 1利用列主元素消去法得：-147 3-147-147 3-1475-20 5-2

x2-1 2-2

-1

x11。2 -3-2 0 0 1 2 2 0 0 2 1

2 1

x3 2用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。-2

8x

5

2 3 x

2（1）-418-1618； （2）2

5 2 1。2 x2

x

33-6 2 -20x33

7

3

1 5 x

201）对系数矩阵A作如下的三角分解：21316 2 -2031根据矩阵的乘法可得：

00-248-248 00uu12u13-418-16l 111uu32

。22 230 u331u112u112，1u124u124，1u138u138；l21u114l212，l21u121u2218u2210，l21u131u2316u2332；l31u116l313，l31u12l32u222l321，l31u13l32u231u3320u3376。0 02 4 8于是有A21 00 10 -32LU，则原方程组可表示为 3 -10 0 -760 02

8x

5

0 0

521 00

10 -32

18。解方程组Lyb，即

18，得23 x223

1 0y

-1

0

0 -76x

7

-1

y

7329131905 2

8x 5

21

1

，得 y2。解方程组Uxy，即0

10 -32x

2

x95。10

0

0 -76x

10 5232（2）对系数矩阵A作如下的三角分解：

3821 22 2 3 00u u u 21 22 2 5 2

11 12 13。

1 00 u u 3

1 5 l

l 1032

0 u33根据矩阵的乘法可得：， ， 1u 1u 1 1u 2u 2 1u 3u ， ， 11 11 12 12 13 13， l u 2l 2 l u 1u 5u ， 21 11 21 21 12 22 22； l u 1u 2u 4 l u 3l ； 21 13 23 23 31 11 31， l u l u 1l 5 l u l u 1u 5u ， 31 12 32 22 32 31 13 32 23 33 330 01 2 3于是有A21 00 1 -4LU，则原方程组可表示为 3 -50 0-240 0

2 3x

0 0

21 00 1 -41。解方程组Lyb，即21 01，得33 x2 y2 33-

0

0-24x

20

-

y

20

3x 14

1

1

，得 y10。解方程组Uxy，即0

1 -

x2

10

x2。3723

0

0-24x

3-10-1003-10-24-0-35-1002-10-12-10-12-1002-10-12-10-12

2 x 6 1

1 （1）-1

x20；

-1

x21。0 x

0

0 x

240 3 04

0 3 14 x 41）由ALU得：

x 2 -1 0 0

0 0 0

0 0 -1 2 -1

0

0 00

0 2 2 2 。0-12-10-12-100-12

00 0 1 3 3 0 0 4 4

0 0 0 1于是有1

2,1

11

1,2

1,2 1

22

3,22

12

2,3

1,3 2

23

4,3

3

13,3 4 4 3

24

5。42 0 0 0

13 3 -1 0 0

21 2

1 从而Lyf为

4 y20y3。Uxy为0 -1

0

1 3

3 4 54

40 -1 4

15 1

1

4- 0 0

2

5 2 x

1 3 2 1

0 1 - 0 x 3 53 2 ，解得x 。 x

1

20 0 1 -33

4x

4 5 4 1 10 0 0 1 5 5ALU得：

2 -1 0 0

0 0 0

0 0 -13 -1

0

0 00

0 2 2 2 。0 -2 4 -3 0

00 0 1 3 3 0 0 -

0 0 4 4

0 0 0 1于是有1

2,1

11

1,2

1,2 1

32

5,22

12

2,5

2,3 2

43

16,5

3,3

315,3 16 4 3

54

35。162 0 0 0 35 y 65

8-1 0 0

1 5 2 y 1 从而Lyf为16

2 y3。Uxy为0 -2

0y 2 5

3 1

8 35y4

340 - 1

163

142

35- 0 0

35 2 x

8 74 2

1 5 0 1 - 0 x 355 23，解得x 。 x

9 0 0 1 -15

3 8 16x 34

7 4

340 0 0 1

35

35设x

x,x1

,,xn

TRn，掌握常用向量数的定义式x

,x ,x1

,x。P解：x1

xx1 2

xn

nx；ii1x xi

maxx1

,x,,x2

（又叫最大数）x2x(P

1nxPPnii1

1x2x2x2x2x21 2 nnii18．已知x，计算x,x ,x,x 。1 2 P解：x1

xx1

xn

nxii1

5；x maxxi

max,xx1 x

,,xn

3；x2x2x2x2x21 2 n2

(ni1

x2)2 ；111i111x(P

xP)Pii1

1(23P)P。9．设A(a) Rnn，掌握常用矩阵数的定义式A,A ,A,A 。ijnn 1 2 F解：A1

maxna ；iji1x maxna ； ijj1A (ATA)；2 maxn 1A F

i,j

a2)2。ij10．已知A2 -1，计算A,A

,A,A 。解：A1x

30 30maxnaiji1maxnaijj1

5；3；

1 2 F (ATA)max72 (ATA)max72102n 1 A F

i,j

a2)ij

14。1）雅可比迭代法Jacob）超松弛迭代法5x设有方程组

2xx2 4

1220x2

x 2x2 3x3x10x31 2 3写出用JacobiJacobix0.4x0.2x2.4解：该方程组可化为：10.25x20.5x35 ，从而得到Jacobi迭代法的公式：xx20.2

1x0.3

3x0.33 1 2x(k1)0.4x(k)0.2x(k)2.41 2 3

X D U LX Dbx(k0.25x(k)0.5x(k)5

(k 1( ) (k) 1，2 1 3x(k1)0.2x(k)0.3x(k)0.33 1 25 0 0 0 21

0 0 0

12 其中：D0 4 0，U0 0 2，L-1 0 0，b200 0 10 0 0 0 2 -3 0 3 5 2 1 （2）用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵A-1

是严格对角占优阵，所以Jacobi迭代法收敛。

2 -31020x2x3x

24设有方程组x 1x 28

3121 2 32x3x15x301 2 3写出用G-S（2）G-S迭代法是否收敛？为什么？x0.1x

0.15x1.2解：该方程组可化为：1 2 3x1.5，从而得到G-S迭代法的公式：x 0.125x 0.125x2 1 30.133x0.2x23 1 2x(k1)0.1x(k)0.15x(k)1.21 2 3x(k1)0.125x(k1)0.125x(k)1.5，2 1 3x(k1)0.133x(k1)0.2x(k1)23 1 2

20 2 3 用G-S迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵A1 8 1是严格对角占 2 -315 优阵，所以G-S迭代法收敛。x8x15．设有方程组102

0x739 8x x x 1 2 39xxx71 2 3怎样改变方程的顺序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。9xxx

7 9 -1 -1解：将方程组变化成1

3 7 ，此时系数矩阵 -18 01x 8x01

A 为严2 3 x0x9x8 -1 0 9 1 2 3格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。 1x(k) (bax(k)16．设方程组a

xaxb

(aa

0，迭代公式为

a 1 122111

122 1 11

11ax121

axb222 2

x(k)1(bax(k1))2

a 2 211aa2112aa2112aa1122(kxk

收敛的充要条件是

1。a a

0

0 0 a 证明：由题设知：A

12

12，所以：a a21 22

00aa1221aa1221aa1122

a a22 a -12

0 0 0a 0 1

a a 迭代矩阵B11

12

11，

，所以由迭0 a a22 21

0 Baa21 0a22代法收敛的充要条件(B)1(k)aa2112aa1122是 aa2112aa1122

x 收敛的充要条件简述迭代法的基本定理的容。答：设有方程组 XBXf，对于任意初始解向量 X(0)及任意f，迭代公式X(k1)BX(k)f收敛的充要条件是(B)1。AACondAA1220．已知A-1

-1 03 -1，求A ，Cond(A) (P)和(A)的值 P PlimCond(A)n

0 -1 2。解：A1

5；由(AAT)1,4,16。所以A2A 5。5 1 18 4 8

4； 因为：A11 1 1，所以Cond(A) 4 2 4 1 1

Cond(A)2

16,Cond(A)

5。8 4 8(A)1,2,4(A)4。121．设A

1 1 n

A1(A

Cond(A

(n)。1nn 1 1nn

为正整数n n n1n

n Cond

n

( )

)解：A1n

-n

( ) 4

CondA n 。n n n1.000

1.001

2.00122．分析方程组1.000

1.000

12.000的性态，并求其精确解；当右端项扰动2 x 2为(2.000,2.000)T时，求其精确解，并计算解的相对误差。解：由Cond(A)20001，所以该方程组为病态方程组。其精确解为(1,1)T；当右端项扰动为(2.000,2.000)T时，其精确解为(2,0)Te(X)AA1e(b)2000e(b)。

，解的相对误差为r r r

第四章 插值法yf(x在区间[abax0

x x1

b上的yyyP(xP(x)y(in成立，则称0 1, n i iP(x)为f(x)的插值函数，点x，x,，x0 1 n

称为插值节点，区间[a,b]称为插值区间，满足的条件P(x)y(i0,1,,n)称为插值条件，求插值函数P(x)的方法称为插值方法。i i（简称插值法。3P(x使之满足插值条件：2, P(2)4, P(3)12, P3.P(x)aaxax2ax3，则根据条件得：0 1 2 3aaaa0 1 2

2 a0

6a2a4a8a4 a150 1 2 3 ，解得：1 ，a9a27a12 a90 1 2 3 2a4a1 2

12a33

a23所以：P(x)615x9x22x3知数据表x知数据表xi-112f(x)i-304求f(x)的2次插值多项式P(x)。P(x)aaxax2，则根据条件得：0 1 2a7aaa

0 3 a 0 aaa aaa

3 ，0 1 2

1 2a2a4a40 1 2

a52 67 3 5所以：P(x)

x x23 2 6已知数据表x已知数据表xi0235f(x)i1-3-42写出f(x3Lx；3写出f(x3N(x。3）L(x)yl(x)yl(x)yl(x)yl(x)，其中3 00 11 22 33l(x)0 1 2xl(x)0 1 2xx)(xx)(3 ；l(x)xx) 1 0xx)(0 1 0 20 31 0

)(xx

) (x

)(xx2

)(xx)3 ；xx1

)(x1

x)3(xx

)(xx)(xx

) (x

)(xx)(xx)l(x)2

(xx2

0)(x0

1x)(x1

3x3

；l(x)3

(xx3

0)(x0

1x)(x1

2x)2。所以：L(x)1x32x222x1。3（2）

5 3 15N(x)f(0)f0,2(x0)3f0,2,3(x0)(x2)f0,2,3,5(x0)(x2)(x3)1 1 1 1 12x x(x2) x(x2)(x x3 x2 x3 5 5 3 151 1 1 1 xixif(x)i0123415112553列出差分表；写出f(xN4(x0th；x0.5的值；xf(x)yxf(x)y2y3y4yiiiiii011542116232514864453281460（2）f(x)的牛顿向前插值多项式N(x4 0

th)y0

ty0

t(t2

2y0

t(t1)(t2) y

t(t1)(t2)(t3) y014tt(t1)t(t1)(t2)t32t25t1；（3）x0.5，t0.5，代入上式中得：N(0.5)t32t25t13.125；4（4）Rn

(x)t(t1)(t2)(t3)(t4)h5f(n1)(),(0,4)。5!已知数据表x已知数据表xi01234f(x)i15112553列出差分表；写出f(xN(xth；4 4x3.5的值；写出其余项。）xxy2y3y4yif(x)i53251151iiii432102814641482660（2）f(x)的牛顿向后插值多项式N(xth)ytyt(t1)t(t2)3yt(t2)(t4y4 443223!14!05328t7t(t1)t(t1)(t2)t310t237t53；3x5t.5N(3.)t310t237t5336.875；4（4）Rn

(x)t(t1)(t2)(t3)(t4)h5f(n1)(),(0,4)。5!熟练掌握n1个节点的n次拉格朗日插值多项式Ln有的规律性）及其插值余项的形式。

(x)的表达形式（其中的基函数所具解：设函数yf(x)在n1个点x0yf(x)(k0,1,2,...,n)。k k

x...x1

处的函数值为作一个次数不超过n的插值多项式Ln(x)使得Ln(x)在这些点xi处满足插值条件Ln(xk)yk(k0,1,2,...,n)。首先构造n次插值基函数l(x)(k0,1,2,...,n)。n次插值基函数kl(x)(k0,1,2,...,n)k(xx

)(xx)...(xx

)(xx

)...(xx) nn

0,1,2,...,)l(x)k (xk

0x)(x

1x)...(x

k1xk

)(xk

k1xk

)...(xk

x)k n。nL(x)nnk0

y(x使之满足插值条件L(x)y(knL(xn次拉kk n k k n格朗日插值多项式。其余项为：Rn

(x)

f(n1)()(x)。(n1)!n1个节点的n次牛顿插值多项式N(x)的表达形式及其插值余项的形式。nf[x

]f(x

为函数f(xxf[x

,x]

f(x)f(x)1 0i i

0 1 xx1 0为函数f(xxx的一阶差商。0 1f[x

,x,x]

f[x,x1

]f[x0

,x1

为函数f(x

,x,

的二阶差商。0 1 2

xx2 0

0 1 2用 n1

差 商 的 差 商 来 定

n 阶 差 商f[x

,x,...,x]

f[x,x1

,...,xn

]f[x0

,x,...,1

]n10 1 n

xxn 0f(x)f(x0

)f[x0

,x](xx1

)f[x0

,x,x1

](xx0

)(xx)1f[x0

,x,,x1

](xx0

)(xx)(xx1

n1

)Rn

(x)其中Rn

f[x,x0

,x,,x1

](xx0

)(xx)(xx1

n1

)(xx)n就是用牛顿插值多项式Nn式的余项。

(x)近似代替f(x)所产生的截断误差，称R(x)为牛顿差值多项n式的表达形式及相应插值余项的形式。y=f(xxxih上的值yf(x)(i,3h为步长i 0 i i的常数。 称函数f(x)在每一个小区间[x,x ]上的增量y y为函数yf(x)在点x i i1 i1 i i分，记为y，即yy y。i i i1 i，即一阶差分的差分y y称为二阶差分，记为y 2yy y。，即i1 i i i i1 i用n1阶差分的差分来定义n阶差分nyn1y n1yi i1 i牛顿向前插值多项式：xx0

t(t1)2y

t(t1)(tn1)nyN(x0

th)y0

ty0

0 0余项：R(x)t(t1)(tn1)(tn)hn1f(n1)()(n1)!n牛顿向后插值多项式：xxn

tht(t1)2y

t(t1)(tn1)nyN(xn

th)yn

n1

n20余项：R(x)t(t1)(tn1)(tn)hn1f(n1)()(n1)!n已知数据表已知数据表x-101if(x)i-101f(x)i010求满足条件的埃尔米特插值多项式P(x)。解：当x(1,0)时，设P(x)a0a1xa2x2a3x3，则P(x)a12a2x3a3x2，将条件代入得：aaaa0 1 2

1 a00a0 a10

，所以P(x)xx2

x3；12a2a12a113a3

0 a2a23

11同理，可得当x(0,1)时，P(x)1x31x2x；5 5xx2x3, x1所以，P(x) 15x35x2x, x()设f(x)x4为插值节点的三次插值多项式。L(x)l(xyl(xyl(xyl(xy，其中3 0 0 1 1 2 2 3 3x(x1)(x2) (x1)(x1)(x2)l0(x)(10)(11)(12)；l1(x)(01)(01)(02)；(x1)(x0)(x2) (x1)(x0)(xl(x)2

2)

； l(x) ；3 (20)(2y1,y0,y1,y16。0 1 2 3则：P(x)2x32x24x，其余项为3 3R(x)n

f(4)()(x1)x(x1)(x2)(x1)x(x1)(x2)。4!12S(x)x3x2,2x3bx2cx

0x1是以0,1,2为节点的三次样条函数，求b1x2和c的值。解：由三次样条函数的定义可得：f(10)f(10),f(10)f(10)。即：3262bc，解得：b2。6212c3第五章 曲线拟合的最小二乘法简述曲线拟合的概念。答：所谓的曲线拟合就是从给定的数据集(x,y)(i1,2,，m)中找出总体规律性，并i i构造一条能反映这种规律的曲线P(x)P(x)P(xP(xy(i1,2,m按某种标准达i i i到最小。 Px 2答：通常采用

( 2)2

(m[( ) ])1

min既根据“是偏差的平方和m 2 i i i1 im 最小”的原则(称为最小二乘原则)来选取拟合曲线P(x),称根据最小二乘原则来选择拟合曲线P(x)的方法为曲线拟合的最小二乘法。知数据表：x知数据表：xi1234f(x)i1.952.402.833.30试求最小二乘一次拟合多项式p(x)abx。解：根据给定的数据表，建立法方程组：S Sa 0 101 1S Sb 1 1其中：S0

x04；Si 1

x110，Si

x230，ii1 i1 i1T0

y10.48，Ti

xy28.44。iii1 i1解得：a1.5 ，所以P(x)1.50.448x。b0.448已知数据表：xx01234if(x)i15112553试求次数不高于4的最小二乘拟合多项式P(x)。解：根据给定的数据表，建立法方程组：S Sa 0 101 1S Sb 1 1其中：S0

4i0

x05；Si 1

4i0

x110，Si

4i0

x230，iT0

y95，Ti

xy314。iii0 i0解得：a5.8，所以得到最小二乘一次拟合多项式P(x)5.812.4x。b12.4同理可得二次拟合法方程组：S S Sa 0

2

0，其中：213 S1 S2 S3b 213 S2

S Sc TS0

x05；Si 1

x110，Si

x230，Si

x3100，ii0 i0 i0 i0S

x4354，

y95，

4x

314，

x2

1122。4 i 0 i

ii

i ii0 i0 i0 i0a2.2解得：b3.6，所以得到最小二乘二次拟合多项式P(x)2.23.6x4x2。c4

第六章 数值积分答：将f(x)用简单的函数近似代替是构造数值积分算法的基本思想。2．掌握代数精度的概念，掌握证明某个求积公式具有m次代数精度的方法。答：若求积公式bf(x)dxnAakak0

f(xk

)对f(x)xi(i,m)能精确成立，但对f(x)xm1不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。试确定求积公式1f(x)dxf( 3)f(3)的代数精度。3 3解：将f(x)1代入求积公式的两边得：左边=2=右边，所以成立。同理，可将f(x)x,x2,x3代入求积公式两边，公式成立。但将f(x)x4代入其公式不成立。所以，该求积公式具有3次代数精度。证明求积公式hf(x)dx2hf(0hf(hh2

f(0)具有2次代数精度。0 3 3 6证明：将f(x)1代入公式两边得：左边=h=右边；将f(x)xh2=右边；2h3将f(x)x2代入公式两边得：左= =右边；h33将f(x)x3代入公式两边得：左边=所以该公式具有2次代数精度。5．确定一个具有3次代数精度的求积公式

h4右边h4；4 33f(x)dxA

f(0)

f

f(2)

f(3)0 0 1 2 3解：由代数精度的定义，将f(x)1,x,x2,x3分别代入公式得：AAAA3

A30 80 1 2 39 9A2

3A

A1

3 2 解得：1 8，该求积公式为：A4A9A9 91 2 381

A2 8A8A

27A 3431 2 3

A3 83f(x)dx3f(9f9f(3f。) 0 ) 6．熟练掌握插值型求积公式bf(x)dxnAakak0

f(xk

中求积系数k

的求法。

b

(x)dx

b (xx0)(xx)(xxk1)(xxk1)(xxn) dx1k a1

a(xk

x)(x

x)(x

xk

)(xk

xk

)(xk

x)n(k0,1,2,,n)用辛普生公式计算积分1exdx，并估计截断误差。0解：设f(x)ex，a0,b1；f(0)1,f(1)0.6,f(1)0.372由辛普生公式有：S1[f(0)4f(1)f0.6286 2f() ba其截断误差为：[f]b (xa)(x )(xb)dxa 21f)x(x1)(x)dx,(。0 2用定义确定求积公式2f(x)dxA

f(0)

f

f(2)中的待定系数A,A,A，0 0 1 2并指出该公式的代数精度。解：由插值型求积公式可知：

0 1 2Ab

(xdx

(xx)(xx)(xx )(xx )(xx)0 1 kkn dxk ak

a(xk

x)(x

x)(x

xk

)(xk

xk

)(xk

x)n所以：A0

2(x)(x2)dx1；0(02) 3A

x(x

dx4；1 02) 3A

x(x

dx1。2 0(20)(23将f(x)1代入公式两边得：左边=2=右边；将f(x)x代入公式两边得：左边=2=右边；8将f(x)x2代入公式两边得：左边=3

=右边；将f(x)x3代入公式两边得：左边=4=右边；32 20将f(x)x4代入公式两边得：左边=所以该公式具有3次代数精度。

右边 。5 3确定求积公式2h2h

f(x)dxA0

f(h)A1

f(0)A2

f(h)中的代数系数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度。解：将f(x)1,x,x2分别代入公式得：AAA

A8h0 30 1 2 4hAhA0 解得：A h，该求积公式为： 0 2

1 3h2A

h2

3h3 A8h 0 2

2 32h2h

f(x)dx8hf(h)4hf(0)8hf(h)3 3 3该公式对f(x)x3成立，但对f(x